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1、1.3.2函数极值与导数 知识回顾: 如果在某个区间内恒有 ,则 为常数. 用“导数法” 求单调区间的步骤: 注意：函数定义域 求 令 求单调区间 问题：如图表示高台跳水运动员的高度 随时间 变化的函数 的图象 单调递增 单调递减 归纳: 函数 在点 处 ,在 的附近, 当 时,函数h(t)单调递增， ; 当 时,函数h(t)单调递减, 。 （3）在点 附近, 的导数的符号有 什么规律? （1）函数 在点 的函数值与这些点 附近的函数值有什么关系? （2）函数 在点 的导数值是多少? (图一) 问题： (图二) (图一) (图二) 极大值f(b) 点a为函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做
2、函数y=f(x)的极小值. 点b为函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称极值点， 极大值和极小值统称为极值. 极小值 f(a) 思考：极大值一定大于极小值吗？ （1）如图图是函数 的图图象,试试找出函数 的极值值点,并指出哪些是极大值值点,哪些是极小值值点 ？ （2）如果把函数图象改为导函数 的图图象? 答： 1、x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点，其中x1,x5是函 数y=f(x)的极大值点，x3,x6函数y=f(x)的极小值点。 2、x2,x4是函数y=f(x)的极值点,其中x2是函数y=f(x) 的极大值点，x4是函数y=
3、f(x)的极小值点。 下面分两种情况讨论讨论 : （1）当 ，即x2,或x-2时; （2）当 ，即-2 x2时。 例4：求函数 的极值. 解: 当x变化时， 的变化情况如下表： 当x=-2时时, f(x)的极大值为值为 令 解得x=2,或x=-2. 当x=2时, f(x)的极小值为 n探索: x =0是否为函数f(x)=x3的极值点? x y O f (x)x3 v 若寻找可导函数极值点,可 否只由f(x)=0求得即可? f(x)=3x 2 当f(x)=0时，x =0， 而x =0不是该函数的极值点. f(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点 x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)
4、的极值点 f(x0) =0 注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件 （2）如果在 附近的左侧侧 ，右侧侧 ， 那么 是极小值值 归纳归纳 ：求函数y=f(x)极值值的方法是: （1）如果在 附近的左侧侧 ，右侧侧 ， 那么 是极大值值； 解方程 ，当 时时： 练习： 下列结论中正确的是（ ）。 A、导数为零的点一定是极值点。 B、如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0, 那么 f(x0)是极大值。 C、如果在x0附近的左侧f(x)0, 那么f(x0)是极大值。 、极大值一定大于极小值。 B 0 x y (最好通过列表法) 巩固练习： 求函数 的极值 当 时, 有极大值，
5、并且极大值为 当 时时, 有极小值值，并且极小值为值为 解: 令 ，得 ，或 下面分两种情况讨论： （1）当 ，即 时； （2）当 ，即 ，或 时。 当 变化时， 的变化情况如下表： 思考：已知函数 在 处取得 极值。 （1）求函数 的解析式（2）求函数 的单调区间 解：（1） 在 取得极值, 即 解得 （2） ， 由 得 的单调增区间为 由 得 的单调减区间为 * 函数 在 时时有极值值10，则则 a，b的值为值为 （ ） A、 或 B、 或 C、 D、 以上都不对 C ， 解:由题设题设 条件得： 解之得 注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件 注意代 入检验 课堂小结: 一
6、、方法: (1)确定函数的定义域 (2)求导数f(x) (3)求方程f(x) =0的全部解 (4)检查f(x)在f(x) =0的根左.右两边值的符号,如果左正 右负(或左负右正),那么f(x)在这个根取得极大值或极小值 二、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数 的极值，并能应用函数的极值解决函数的一些问题 作业： P32 5 今天我们学习函数的极值,并利用导数求函数的极值 * （2006年天津卷)函数 的定义域为开区间 导导函数 在 内的图图像如图图所示，则则函数 在开区间间 内有（ ）个极小值值点。 A.1 B.2 C.3 D. 4 A f(x) 0 f(x) =0 注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别 2.(2006年北京卷)已知函数 在点 处取得极大值5,其导函数 的图像( 如图)过点（1,0）,（2,0）, 求： （1） 的值；（2）a,b,c的值； . 略解： (1)由图像可知： (2) 注意：数形结合以及函数与方程思想的应用
