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1、圆周角和圆心角 的关系 九年级数学九年级数学( (下下) ) 第三章第三章 圆圆 3.3 学有所思、思有所疑、疑有所问、问有所悟， 学思疑问才会感悟生活的乐趣、数学学习的快乐！ 类比圆心角探知圆周角 l在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等. l在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？ n 为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周 角和圆心角之间的关系. 演示 圆周角与圆心角有何关系? 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半。 条件：圆周角与圆心角对同一条弧。 结论：圆周角是圆心角的一半。 演示 n老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视. 思考与巩固
2、 1.如图,在O中,BOC=50,求A的大小. O B A C 解: A= BOC=25. 、在下列各图中， ， ， 15060 ， . 120140 拓展 n1.如图(2),在O中,B,D,E的大小有 什么关系?为什么? OO C A B D B A C D E O AB C (1) (2) (3) 推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 演示 推论1中， “同弧或等弧”能否改为“同弦或等弦”？ “同圆或等圆”这一条件能否省去？ 不能 不能 演示返回 拓展 OO C A B D B A C D E O AB C (1) (2) (3) n2.如图(
3、3),AB是直径,你能确定C的度数吗? 推论2： 直径所对的圆周角是直角； 反过来，90的圆周角所对的弦是直径。 演示 拓展 l1.如图(1),在O中,BAD=50,求C的大小. OO C A B D B A C D E O AB C (1) (2) (3) 推论3： 圆内接四边形对角互补。 对角互补的四边形内接于圆。 演示 O BA C D 1、如图，A、B、C、D四点共圆，找出四边形 ABCD的对角线把4个角分成的8个角中，哪些是 相等的角？图中有几对相似三角形？ 基础： 演示返回 O A D B C 解答下列各题： 基础： 演示返回 O D A BC 3.如图,AB是O的直径，BD是弦,
4、延长BD 到C,使DC=BD,AC与AB的大小有什么关系? 为什么? 返回 1.如图，的弦AC、BD相交于 内一点. 求证： E 四、思考下列各题,并记住结论： ( 的度数+ 的度数) AB CD 演示 返回 2.如图，的弦AC、BD相交于 外一点. 求证： 四、思考下列各题,并记住结论： ( 的度数 的度数) AB CD 演示返回 三.小结 1、本课时学习了圆周角定理（包括三种情形） 定理也可理解成: 一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的 倍； 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半. 2、角与弧有着密切的关系，因此在证明角的关 系时，可考虑证明角所对的弧的关系。 3、圆周角定理的证明应用了
5、数学中的分类思想 推论3： 圆内接四边形对角互补。 对角互补的四边形内接于圆。 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半. 总结： 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90度的圆周角所对的弦是直径。 推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 结束寄语 要养成用数学的语言去说明 道理,用数学的思维去解读 世界的习惯. 1、探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？ 2、90的圆周角所对的弦是否是直径？ 线段AB是O的直径，点C是 O上任意一点（除点A、B）， 那么，ACB就是直径AB所对的圆 周角.想想看，ACB会是怎么样 的角？为
6、什么呢？ 探究：直径或半圆所对的探究：直径或半圆所对的圆周角的度数圆周角的度数 证明： 因为OAOBOC， 所以AOC、BOC都是等腰三角形， 所以OACOCA， OBCOCB. 又 OACOBCACB180 所以 ACBOCAOCB90 因此，不管点C在O上何处（除点A、B ），ACB总等于90， 7.5 圆周角 （一） 教学目的： 1、使学生理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及三 个推论，并能运用这些知识进行有关的计算和证明； 2、使学生掌握利用直径所对的圆周角是直角作辅助 线的方法； 3、使学生认识到圆周角定理及其推论是证明和圆有 关的角相等的重要定理，培养学生分析问题、解决问 题以及综合
7、运用知识的能力。 教学重点： 圆周角定理及三个推论的理解与掌握。 教学难点： 圆周角定理及三个推论的灵活运用及辅助 线的添加。 一. 图中的AOB叫什么角？它与所对的弧 AB的度数有何关系？ AOB叫圆心角 AOB的度数=弧AB的度数 演示 二.新课 圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角 叫做圆周角. P就是圆周角 定义满足两个条件： 顶点在圆上； 两边与圆相交（两边是弦） 演示 ： 1.判断：所有顶点在圆上的角都叫圆周角.（ ） 2.下列图形中的角是否圆周角？ 3.判断下列命题是否正确？ 圆周角的顶点一定在圆上。（ ） 顶点在圆上的角是圆周角。（ ） 圆周角的两边都和圆相交。（ ） 两边都和
8、圆相交的角是圆周角。（ ） 圆内角：顶点在圆内，两边与圆相交 的角叫做圆内角； P O B A P O B A 圆外角：顶点在圆外，两边与圆相交 的角叫做圆外角. 演示 A BC O A B CC O O A B . D D O OO A B C A B C A B C n一条弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系. l如图,观察圆周角ABC与圆心角AOC,它们的 大小有什么关系? 演示 圆周角和圆心角的关系 l1.首先考虑一种特殊情况： l当圆心(O)在圆周角(ABC)的一边(BC)上时,圆 周角ABC与圆心角AOC的大小关系. nAOC是ABO的外角， nAOC=B+A. nOA=OB， O
9、A B C nA=B. AOC=2B. 即 ABC = AOC. 你能写出这个命题吗? 一条弧所对的圆周角等于 它所对的圆心角的一半. 老师期望: 你可要理 解并掌握 这个模型. 演示 l如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? l2.当圆心(O)在圆周角(ABC)的内部时,圆周角 ABC与圆心角AOC的大小关系会怎样? n老师提示:能否转化为1的情况? n过点B作直径BD.由1可得: O ABC= AOC. 你能写出这个命题吗? 一条弧所对的圆周角等于 它所对的圆心角的一半. A B C D nABD= AOD,CBD= COD, 圆周角和圆心角的关系 演示 l如果圆心不在圆周角的一边上,结
10、果会怎样? l3.当圆心(O)在圆周角(ABC)的外部时,圆周角 ABC与圆心角AOC的大小关系会怎样? n老师提示:能否也转化为1的情况? n过点B作直径BD.由1可得: O ABC= AOC. 你能写出这个命题吗? 一条弧所对的圆周角等于 它所对的圆心角的一半. D nABD= AOD,CBD= COD, A B C 圆周角和圆心角的关系 演示 A B C O A B CC O O A BD D 圆周角和圆心角的关系概括为: 演示 圆周角定理 l综上所述,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关 系是: l圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半. n老师提示:圆周角定理是承上启
11、下的知识点,要予以重视. 即ABC= AOC. O OO A B C A B C A B C 演示 1.如图：OA、OB、OC都是O的半径 AOB=2BOC. 求证：ACB=2BAC. 证明：ACB= AOB 1 2 BAC= BOC 2 AOB=2BOC A O B C ACB=2BAC 1 规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对 的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理 分析:AB所对圆周角是ACB, 圆心角是AOB. 则ACB= AOB. BC所对圆周角是 BAC , 圆心角是BOC, 则 BAC= BOC 2 1 _ 2 1 _ 圆周角 l在射门游戏中(如图),
12、球员 射中球门的难易程度与他 所处的位置B对球门AC的张 角(ABC)有关. 读一读P101 n圆周角：顶点在圆上 ,它的两边分别与圆还 有交点,像这样的角, 叫做圆周角. O B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A C n圆周角：顶点在圆上 ,它的两边分别与圆还 有交点,像这样的角, 叫做圆周角. l当球员在B,D,E处射门时, 他所处的位置对球门AC分 别形成三个张角ABC, ADC,AEC.这三个角的 大小有什么关系?. 想一想P101 O B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A C D E D E 圆周角 推论3： 圆内接四边形对角互补。 对角互补的四边形内接于圆。 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半. 总结： 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90度的圆周角所对的弦是直径。 推论4 如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形。 推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
