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1、2015新人教版八年级上册 期末总复习 第第1111章章 三角形三角形 第十二章 全等三角形 地十三章 轴对称 地十四章 整式的乘法与因式 分解 第十五章 分式 第第1111章章 三角形中的边角关系三角形中的边角关系 1三角形的概念 三角形有三条边，三个内角，三个顶点. 组成三角形的线段叫做三角形的边; 相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角 ; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC用符号表示为ABC， 三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写 字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示. 不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的 图形叫做三角形 1三角形的概念 不在
2、同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的 图形叫做三角形 注意： 1:三条线段要不在同一直线上，且首尾顺 次相接； 2:三角形是一个封闭的图形； 3:ABC是三角形ABC的符号标记，单独 的没有意义 2三角形的三边关系 注意： 1：三边关系的依据是：两点之间线段是短 2:判断三条线段能否构成三角形的方法：只要满足较小 的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形; 若不满足，则不能构成三角形. 3:三角形第三边的取值范围是: 两边之差1) C C 考点二：三角形三边关系 例3ABC的三边长分别为4、9、x, 求x的取值范围； 求ABC周长的取值范围； 当x为偶数时，求x； 当ABC的周长为偶数时
3、，求x； 若ABC为等腰三角形，求x 考点三：三角形的三线 例4：下列说法错误的是（ ） A:三角形的三条中线都在三角形内。 B:直角三角形的高线只有一条。 C:三角形的三条角平分线都在三角形内。 D:钝角三角形内只有一条高线。 例5：在三条边都不相等的三角形中，同一条边上的中 线，高和这边所对角的角平分线，最短的是（ ） A:中线。 B:高线。 C:角平分线。 D:不能确定。 B B 6三角形的内角和定理：三角形 的内角和等于180 (2) 从剪拼可以看出：A+B+C=180 （1）从折叠可以看出：A+B+C=180 (3) 由推理证明可知：A+B+C=180 证明三角形内角和定理的方法 添
4、加辅助线思路：1、构造平角 2 1 E D C B A 图1 A BC 图2 D E 12 E D F A BC 图3 12 添加辅助线思路:2、构造同旁内角 E A BC 图1 （ E D F （ （ 1 2 3 4 （ A B C 图2 7三角形的外角 三角形的外角的定义: 三角形一边与另一边的延长线 组成的角，叫做三角形的外角. 三角形的外角与内角的关系： 2:三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和； 1:三角形的一个外角与它相邻的内角互补； 3:三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 4:三角形的外角和为360。 考点四：三角形内角和定理： 解：设B=x ，则A=3x，C=
5、4x ， 从而:x+3x+4x=180，解得x=22.5 即：B=22.5，A=67.5，C=90 例3 ABC中，B= A= C，求 ABC的三个内角度数. 例4 如图，点O是ABC内一点，A=80， 1=15，2=40，则BOC等于（ ） A. 95 B. 120 C. 135 D. 650 分析与解： O=180-（OBC+OCB） =180-（180-（1+2+A） =1+2+A=135 考点四：三角形内角和定理 ： 巩固练习 1.在ABC中，三边长a,b,c都是整数， 且满足abc,a=8,那么满足条件的三角 形共有多少个？ a888 b567 c45,4,37,6,5,4,3 变式
6、：1.已知小明家距离学校10千米,而 小蓉家距离小明家3千米.如果小蓉家到 学校的距离是d千米,则d满足 ？ 2.如图，在ABC中， BAC=4ABC=4C，BDAC于点 D，求ABD的度数。 答案ABD=30 变式2.用三条绳子打结成三角形(不考虑 结头长)，已知其中两条长分别是3米和7 米，问这个等腰三角形的周长是多少？ 2.如图，在ABC中， BAC=4ABC=4C，BDAC于点 D，求ABD的度数。 答案ABD=30 变式2.用三条绳子打结成三角形(不考虑 结头长)，已知其中两条长分别是3米和7 米，问这个等腰三角形的周长是多少？ 3.如图，草原上有四口油井，位于四边形 ABCD的四个
7、顶点上，现在要建立一个维修 站H，试问H建在何处，才能使它到四口油井 的距离之和HA+HB+HC+HD最小，说明理由 . 4.如图，ACBD，AE平 分BAC交BD于点E，若 1=64，则2= . 5.如图所示的正方形网格中，网格线的交点 称为格点已知A、B是两格点，如果C也是 图中的格点，且使得ABC为等腰三角形， 则点C的个数是（ ） A6 B7 C8 D9 6.已知：如图，ABCD， 直线EF分别交AB、CD于点 E、F，BEF的平分线与 DFE的平分线相交于点P 求证：P=90 8.如图1，求证： BOC=A+B+C 如图2，ABC=100，DEF=130， 求A+C+D+F的度数 7
8、.求证：三角形内角之和等于180 10.已知如图所示,在ABC 中,DE/BC,F是AB上的一点 ,FE的延长线交BC的延长线 于点G,求证EGHADE. 9.如图，已知，直线 ABCD，证明： A+C=AEC. 例2、 如图，已知AD是 ABD和ACD的公共 边. A B C D 1 2 34 证法：延长AD BDE=B+3 CDEC+4 （三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两内角 之和） BDC =BDE + CDE B+C+3+4. 又 BAC 3+4, BDC B+C+ BAC E 证明：BDC=BAC+B+C 附加： 证明： 等腰三角形两底角的平分线相等。 已知：如图，在ABC中A
9、B=AC，BD， CE是ABC的角平分线。 求证：BD=CE. 第十二章 全等三角形 一.全等三角形： 1：什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化 可以得到它的全等形？ 2：全等三角形有哪些性质？ 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角 形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。 （1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。 （2）：全等三角形的周长相等、面积相等。 （3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分 线、高线分别相等。 知识回顾： 一般三角形 全等的条件： 1.定义（重合）法； 2.SSS； 3.SAS； 4.ASA； 5.AAS. 直角三角形 全等特有的条件：HL.
10、 包括直角三角形 不包括其它形 状的三角形 解题 中常 用的 4种 方法 回顾知识点： 边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成 “SSS”) 边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（ 可简写成“SAS”) 角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 （可简写成“ASA”) 角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形 全等（可简写成“AAS”) 斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角 三角形全等（可简写成“HL”) 方法指引 证明两个三角形全等的基本思路： （1）已知两边- 找第三边 (SSS) 找夹角（SAS) (2)已知一边一角- 已知一边和它的邻角 找
11、是否有直角 (HL ) 已知一边和它的对角 找这边的另一个邻角(ASA) 找这个角的另一个边(SAS) 找这边的对角 (AAS) 找一角(AAS) 已知角是直角，找一边(HL) (3)已知两角- 找两角的夹边(ASA) 找夹边外的任意边(AAS) 角的内部到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。 用法：用法： QDOA，QEOB，QDQE 点Q在AOB的平分线上 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 用法：用法： QDOA,QEOB, 点Q在AOB的平分线上 QDQE 二.角的平分线： 1.角平分线的性质： 2.角平分线的判定： 总结提高 学习全等三角形应注意以下几个问题： （1)要正确区
12、分“对应边”与“对边”，“对应角”与 “对角”的不同含义； （2）表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母 要写在对应的位置上； （3）要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一 边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等； （4）时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“ 公共边”、“对顶角” 练习1：如图，AB=AD,CB=CD. 求证: AC 平分BAD A D C B 证明：在ABC和ADC中 AC=AC AB=AD CB=CD ABCADC （SSS） BAC= DAC AC平分BAD 2、如图，D在AB上，E在AC上，AB=AC ,B=C, 试问AD=AE吗？为什么？ ED C
13、B A 解： AD=AE 理由： 在ACD和ABE中 B=C AB=AC A=A ACDABE （ASA） AD=AE 3、如图，OBAB,OCAC,垂足为B,C,OB=OC AO平分BAC吗？为什么？ O C B A 答： AO平分BAC 理由： OBAB,OCAC B=C=90 在RtABO和RtACO中 OB=OC AO=AO RtABORtACO （HL） BAO=CAO AO平分BAC 4、如图，AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD 求证：DCAB 证明：在ABO和CDO中 OA=OC AOB= COD OB=OD ABOCDO （SAS） A= C DCAB A O D B
14、 C 练习5： 如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为 两块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就 能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带 那块去合适？为什么？ B A F E D C B A 6、如图，已知ACEF,DEBA,若使ABCEDF,还需要补 充的条件可以是 或或 或 AB=ED AC=EFBC=DF DC=BF 7：已知 AC=DB, 1=2. 求证: A=D 21 D CB A 证明：在ABC和DCB中 AC=DB 1=2 BC=CB ABCDCB （SAS） A=D 8、如图，已知，ABDE，AB=DE，AF=DC 。请问图中有那几对全等三角形？请任选一 对给予证明
15、。 F E D C B A ABFDEC CBFFEC ABCDEF 答： 9、如图，已知E在AB上，1=2， 3=4，那么AC等于AD吗？为什么？ 4 3 2 1E D C BA 解：AC=AD 理由：在EBC和EBD中 1=2 3=4 EB=EB EBCEBD (AAS) BC=BD 在ABC和ABD中 AB=AB 1=2 BC=BD ABCABD (SAS) AC=AD 10、已知，ABC和ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一 条直线上求证：BE=AD E D C A B 变式：以上条件不变，将ABC绕 点C旋转一定角度（大于零度而小于六 十度），以上的结论还成立吗？ 证明： ABC和ECD都是等边三角形 AC=BC DC=EC BCA=DCE=60 BCA+ACE=DCE+ ACE 即BCE=DCA 在ACD和BCE中 AC=BC BCE=DCA
