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1、恒高教育1对1学科教师辅导学案 学员姓名： 年 级：高三 辅导科目：数学 授课类型函数与方程思想教学目标复习函数的重要思想方法函数与方程授课日期及时段 2016年3月19教学内容知识梳理 1函数与方程思想的含义函数与方程是中学数学的重要概念，它们之间有着密切的练习。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，主要依据题意构造恰当的函数或建立相应的方程来解决问题，是历来高考的重点和热点（1）函数思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题，即善于利用函数知识或函数
2、观点观察、分析和解决问题（2）方程思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察、处理问题（3）方程的思想与函数的思想密切相关：方程的解就是函数的图像与轴的交点的横坐标（零点）；函数也可以看作二元方程；通过方程进行研究，方程有解，当且仅当属于函数的值域；与的图像的交点问题，就是研究方程的实数解的问题，函数与方程的这种相互转化关系十分重要2函数与方程的思想在解题中的应用（1）函数与不等式的相互转化，对函数，当时，就化为不等式，借助于
3、函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式；（2）数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要；（3）解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数的有关理论；（4）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切题型一：方程、不等式的有解与恒成立问题1、方程/等式（1）方程的恒成立问题：通常由式子的特点来决定，首先我们需要把具有任意性的变量尽量提到一起，然后让变量定下来即可比如，式子的值即定下来了；，式子的值即定下来
4、了，对于整多项式，只能让使式子的值定下来举例：1、（嘉定）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分 已知函数（）（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）设，问函数的图像是否关于某直线成轴对称图形，如果是，求出的值；如果不是，请说明理由；（可利用真命题：“函数的图像关于某直线成轴对称图形”的充要条件为“函数是偶函数”）2、函数图像的对称中心是_巩固：函数图像的对称中心是_3、设（为实常数）（1）当时，证明：不是奇函数；（2）设是奇函数，求与的值；（2）方程/等式的有解问题：方法：分离变量法；函数法（若是二次方程，可结合根的分布法或韦达定理法）；数
5、形结合图像法例1、关于的方程恒有解，求的取值范围（3）方程/等式的有几解问题（对解的个数有要求）：一般数形结合画图；若是一个解/一个根/一个零点的问题，可联想零点存在定理的证明手段；一元二次方程的问题，可联系根的分布或韦达定理例2、已知函数f(x)=logm(1)若f(x)的定义域为，（0），判断f(x)在定义域上的增减性，并加以说明；(2)当0m1时，使f(x)的值域为logmm(1)，logmm(1)的定义域区间为,(0)是否存在？请说明理由.解：（1）x3或x3. f(x)定义域为,3设x1x2，有当0m1时，f(x)为减函数，当m1时，f(x)为增函数.（2）若f(x)在,上的值域为l
6、ogmm(1),logmm(1)0m1, f(x)为减函数.即即,为方程mx2+(2m1)x3(m1)=0的大于3的两个根 0m故当0m时，满足题意条件的m存在.例3、（找根的关系）已知函数f(x)cos x，x，若方程f(x)a有三个不同的根，且从小到大依次成等比数列，则a_解析设方程的3个根分别是x1、x2、x3，如图因为ycos x的图象是轴对称图形，所以x1x22，x2x34，又因为x1、x2、x3成等比数列，解得x1，故acos .答案例4已知关于的方程有唯一解，求的值解析：令，的图像关于轴对称，而题设方程由唯一解，从而此解必为（否则必有另一解）类题巩固1、方程|x|(x1)k0有三
7、个不相等的实根，则 k的取值范围是 ()A. B.C. D.答案A类题巩固2、（2014年嘉定区一模理科13文科14）已知函数是偶函数，直线与函数的图像自左至右依次交于四个不同点、，若，则实数的值为_答案：详解：由函数是偶函数可知即，故，则，由函数图像可知:当时，解得，故C点坐标为当时，解得.因为可知，得. 第5题图教法指导：本题主要考查了函数奇偶性以及方程求解能力,如果刻意去用韦达定理求解会陷入死胡同.类题巩固3：设方程上有实根，则的取值范围 例5、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分在平面直角坐标系中，对于直线和点，记若，则称点被直线分隔
8、若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线（1）求证；点被直线分隔；（2）若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；（3）动点到点的距离与到轴的距离之积为1，设点的轨迹为曲线 求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分隔线【参考答案】（1）略；（2）的取值范围是（3）曲线的方程为，证明略【解题思路】与文科仅在第三问的设问方式上存在差异下证仅存在直线轴与曲线没有交点：法一：当直线斜率不存在，即为轴时，证明同文科当斜率存在，设直线为，由 得，令，因为，所以方程有实数解，不满足题意法二：数形结合，由可得，可看作二次函数与幂函数的交点问题，二次函数开口向上无限延伸，
9、而幂函数向上无限靠近轴，则必定有公共点，所以不满足题意（4）根的分步法（适合一元二次方程根的问题或二次函数与x轴交点问题）：例1、（1）若一元二次方程的两实根都小于2，求的取值范围。 （2）已知方程有一根大于2，另一根比2小，求的取值范围。 （3）若方程的两实根均在区间（、1）内，求的取值范围。 （4）若方程的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求的取值范围。 （5）设二次函数在区间有且只有一个零点，写出满足的条件2、不等式（1）不等式的有解与恒成立问题方法：最值法：一般要分离变量，分离后求含自变量式子的最值即可/若已知函数的单调性，毋须分离变量；例1、已知函数在区间上递增，则实数的
10、取值范围是_巩固：若函数在区间上是增函数，则的取值范围是 。例2、设为实常数，是定义在R上的奇函数，当时，若对一切成立，则的取值范围为_【解答】，故；当时，即，又，故例3、 对任意，都有不等式恒成立，求的取值范围； 对任意，都有不等式恒成立，求的取值范围；分析：当变量是整个实数集时，恒成立问题适用判别式法，当变量的范围是区间，也可以选用一元二次方程根的判别式，但计算相对繁琐。常用分离参数法。要特别注意关键点上的取值情况，看能否取到。解： 分离不等式中的参数，得，对任意，在上单调递增，故所以，。 分离不等式中的参数，得，对任意，在上单调递增，故所以，。类题1：对任意，不等式恒成立，求的取值范围解
11、：令，则原问题转化为恒成立（）。 当时，可得，不合题意。当时，应有解之得。故的取值范围为。类题2：三位同学合作学习，对问题“已知不等式，对于恒成立，求的取值范围”提出了各自的解题思路甲说：“可视为变量，为常量来分析” 乙说：“寻找与的关系，再作分析”丙说：“把字母单独放在一边，再作分析”参考上述思路，或自己的其他解法，可求出实数的取值范围是_解：原式 在上恒成立，令，则函数在的最大值为，则类题3：已知函数（1）若，求的值；（2）若对于恒成立，求实数的取值范围。解：（1）时，；当时，由条件可知，即则，因为，所以，。（2）当时，即，因，所以令.因，所以，故的取值范围是。函数法（若是二次方程，可结合
12、根的分布法或韦达定理法）；例1、对于满足的一切实数，不等式恒成立，试求的取值范围分析：习惯上把当作自变量，记函数，于是问题转化为： 当时，恒成立，求的取值范围解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的解：设函数，显然，则是的一次函数，要使恒成立，当且仅当，且时，解得的取值范围是数形结合图像法例1、已知对任意都有意义，则的范围是（ ）； ； ； 答案：3、多变量问题的处理例1、 当时，若对于任意，不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围， -7分所以不等式对任意恒成立，-8分 -10分当时，不等式成立， -11分当时， -12分当时， -13分 综合得-14分例2、已知定义在区间上的两个函数和，其中（），（1）求函数的最小值；（2）若对任意，恒成立，求的取值范围解：（1）由，得 （2），当时，又在区间上单调递增（证明略），故 由题设，得，故或 解得为所求的范围 14分4、利用函数的性质解决恒成立问题例1、已知函数，求使不等式恒成立的的取值范围；类题巩固：（10闵行三模）函数，若，则实数的取值范围是_.答案：例2、已知。存在,使得,对任意上恒成立。求b的范围 提示：令 g(x)的最大值为g(a)例3、已知数列是首项为、公差为1的等差数列，数列满足.若对任意的,都有成立,则实数的取值范围是 . 10
