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1、第第5 5章章 回溯法回溯法 1 学习要点 理解回溯法的深度优先搜索策略。 掌握用回溯法解题的算法框架 （1）递归回溯 （2）迭代回溯 （3）子集树算法框架 （4）排列树算法框架 2 通过应用范例学习回溯法的设计策略。 （1）装载问题； （2）批处理作业调度； （3）符号三角形问题 （4）n后问题； （5）0-1背包问题； （6）最大团问题； （7）图的m着色问题 （8）旅行售货员问题 （9）圆排列问题 （10）电路板排列问题 （11）连续邮资问题 3 n有许多问题，当需要找出它的解集或者要求回答什么 解是满足某些约束条件的最佳解时，往往要使用回溯 法。 n回溯法的基本做法是搜索，或是一种组织
2、得井井有条 的，能避免不必要搜索的穷举式搜索法。这种方法适 用于解一些组合数相当大的问题。 n回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根 结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任意 一点时，先判断该结点是否包含问题的解。如果肯定 不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向 其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优 先策略搜索。 回溯法回溯法 4 问题的解空间问题的解空间 问题的解向量：回溯法希望一个问题的解能够表示成一个n 元式(x1,x2,xn)的形式。 显约束：对分量xi的取值限定。 隐约束：为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。 解空间：对于问题的一个实例，解向量满
3、足显式约束条件的 所有多元组，构成了该实例的一个解空间。 注意：同一个问题可以有多种表示，有些表示方法更简单， 所需表示的状态空间更小（存储量少，搜索方法简单）。 n=3时的0-1背包问题用完全二叉树表示的解空间 5 生成问题状态的基本方法生成问题状态的基本方法 n扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点 n活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称 做活结点 n死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点 n深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R，一旦 产生了它的一个儿子C，就把C当做新的扩展结点。在完成 对子树C（以C为根的子树）的穷尽搜索之后，将R重新变 成扩展结点
4、，继续生成R的下一个儿子（如果存在） n宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结点 之前，它一直是扩展结点 n回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态 ，要不断地利用限界函数(bounding function)来处死那些实 际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。 具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法 6 回溯法的基本思想回溯法的基本思想 (1)针对所给问题，定义问题的解空间； (2)确定易于搜索的解空间结构； (3)以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用 剪枝函数避免无效搜索。 常用剪枝函数： 用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树； 用限界函数剪去得
5、不到最优解的子树。 用回溯法解题的一个显著特征是在搜索过程中动态产生问题的 解空间。在任何时刻，算法只保存从根结点到当前扩展结点的 路径。如果解空间树中从根结点到叶结点的最长路径的长度为 h(n)，则回溯法所需的计算空间通常为O(h(n)。而显式地存储 整个解空间则需要O(2h(n)或O(h(n)!)内存空间。 7 递归回溯递归回溯 回溯法对解空间作深度优先搜索，因此，在一般情况下用递 归方法实现回溯法。 void backtrack (int t) if (tn) output(x); else for (int i=f(n,t);i0) if (f(n,t) n) for (int j =
6、 1; j half) return; if (tn) sum+; else for (int i=0;i2;i+) p1t=i; count+=i; for (int j=2;j=t;j+) pjt-j+1=pj-1t-j+1pj-1t-j+2; count+=pjt-j+1; Backtrack(t+1); for (int j=2;j=t;j+) count-=pjt-j+1; count-=i; + + - + - + + + - - - - + - + + + - - + + - - + - - - + 复杂度分析 计算可行性约束需要O(n)时间，在最坏情况下有 O(2n)个结点需要
7、计算可行性约束，故解符号三角 形问题的回溯算法所需的计算时间为 O(n2n)。 16 n n后问题后问题 在nn格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际象棋 的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上 的棋子。n后问题等价于在nn格的棋盘上放置n个皇后，任何 2个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上。 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 Q Q Q Q Q Q Q Q 17 解向量：(x1, x2, , xn) 显约束：xi=1,2, ,n 隐约束： 1)不同列：xixj 2)不处于同一正、反对角线：|i-j|xi-xj| n n后问题后问题 bo
8、ol Queen:Place(int k) for (int j=1;jn) sum+; else for (int i=1;i=n;i+) xt=i; if (Place(t) Backtrack(t+1); 18 0-10-1背包问题背包问题 解空间：子集树 可行性约束函数： 上界函数： template Typep Knap:Bound(int i) / 计算上界 Typew cleft = c - cw; / 剩余容量 Typep b = cp; / 以物品单位重量价值递减序装入物品 while (i = n b += pi; i+; / 装满背包 if (i n) / 到达叶结点 f
9、or (int j = 1; j = n; j+) bestxj = xj; bestn = cn; return; / 检查顶点 i 与当前团的连接 int OK = 1; for (int j = 1; j bestn) / 进入右子树 xi = 0; Backtrack(i+1); 复杂度分析 最大团问题的回溯算法backtrack所需的计算时间 显然为O(n2n)。 12 45 3 21 进一步改进进一步改进 选择合适的搜索顺序，可以使得上界函数更有效的 发挥作用。例如在搜索之前可以将顶点按度从小到 大排序。这在某种意义上相当于给回溯法加入了启 发性。 定义Si=vi,vi+1,.,v
10、n，依次求出Sn,Sn-1,.,S1的解。 从而得到一个更精确的上界函数，若cn+Sin) sum+; for (int i=1; i=n; i+) cout xi ; cout endl; else for (int i=1;i=m;i+) xt=i; if (Ok(t) Backtrack(t+1); bool Color:Ok(int k) / 检查颜色可用性 for (int j=1;j=n;j+) if (akj=1) return true; 复杂度分析 图m可着色问题的解空间树中内结点个数是 对于每一个内结点，在最坏情况下，用ok检查当 前扩展结点的每一个儿子所相应的颜色可用性需
11、 耗时O(mn)。因此，回溯法总的时间耗费是 24 旅行售货员问题旅行售货员问题 解空间：排列树 template void Traveling:Backtrack(int i) if (i = n) if (axn-1xn != NoEdge j = n; j+) bestxj = xj; bestc = cc + axn-1xn + axn1; else for (int j = i; j = n; j+) / 是否可进入xj子树? if (axi-1xj != NoEdge cc += axi-1xi; Backtrack(i+1); cc -= axi-1xi; Swap(xi, xj
12、); 复杂度分析 算法backtrack在最坏情况下可能需要更新当前 最优解O(n-1)!)次，每次更新bestx需计算时间 O(n)，从而整个算法的计算时间复杂性为O(n!)。 25 圆排列问题圆排列问题 给定n个大小不等的圆c1,c2,cn，现要将这n个圆排进一个矩 形框中，且要求各圆与矩形框的底边相切。圆排列问题要求从n 个圆的所有排列中找出有最小长度的圆排列。例如，当n=3，且 所给的3个圆的半径分别为1，1，2时，这3个圆的最小长度的圆 排列如图所示。其最小长度为 26 圆排列问题圆排列问题 float Circle:Center(int t) / 计算当前所选择圆的圆心横坐标 fl
13、oat temp=0; for (int j=1;jtemp) temp=valuex; return temp; void Circle:Compute(void) / 计算当前圆排列的长度 float low=0, high=0; for (int i=1;i=n;i+) if (xi-rihigh) high=xi+ri; if (high-lown) Compute(); else for (int j = t; j = n; j+) Swap(rt, rj); float centerx=Center(t); if (centerx+rt+r1min) /下界约束 xt=center
14、x; Backtrack(t+1); Swap(rt, rj); 复杂度分析 由于算法backtrack在最坏情况下可能需要计算 O(n!)次当前圆排列长度，每次计算需O(n)计算时 间，从而整个算法的计算时间复杂性为O(n+1)!) 上述算法尚有许多改进的余地。例如，象1,2,n-1,n和n,n- 1, ,2,1这种互为镜像的排列具有相同的圆排列长度，只计 算一个就够了，可减少约一半的计算量。另一方面，如果所 给的n个圆中有k个圆有相同的半径，则这k个圆产生的k!个完 全相同的圆排列，只计算一个就够了。 27 连续邮资问题连续邮资问题 假设国家发行了n种不同面值的邮票，并且规定每张信 封上最
15、多只允许贴m张邮票。连续邮资问题要求对于给 定的n和m的值，给出邮票面值的最佳设计，在1张信封 上可贴出从邮资1开始，增量为1的最大连续邮资区间 。 例如，当n=5和m=4时，面值为(1,3,11,15,32)的5种 邮票可以贴出邮资的最大连续邮资区间是1到70。 28 连续邮资问题连续邮资问题 解向量：用n元组x1:n表示n种不同的邮票面值，并约定它 们从小到大排列。x1=1是唯一的选择。 可行性约束函数：已选定x1:i-1，最大连续邮资区间是1:r ，接下来xi的可取值范围是xi-1+1:r+1。 如何确定r的值？ 计算X1:i的最大连续邮资区间在本算法中被频繁使用到，因此 势必要找到一个高效的方法。考虑到直接递归的求解复杂度太 高，我们不妨尝试计算用不超过m张面值为x1:i的邮票贴出邮 资k所需的最少邮票数yk。通过yk可以很快推出r的值。事实 上，yk可以通过递推在O(n)时间内解决： for (int j=0; j= xi-2*(m-1);j+) if (yj
