第八节傅里叶级数

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1、08 第八节 傅里叶级数 第八节 傅里叶级数 分布图示 引 言 引 例 三角函数系的正交性 傅里叶级数的概念 狄利克雷收敛定理 例1 例2 例3 非周期函数的周期延拓 例4 利用傅氏展开式求数项级数的和 正弦级数与余弦级数 例5 例6 函数的奇延拓与偶延拓 例7 例8 内容小结 课堂练习 习题12-8 返回 内容要点 一、三角级数 三角函数系的正交性 早在18世纪中叶，丹尼尔. 伯努利在解决弦振动问题时就提出了这样的见解：任何复杂的振动都可以分解成一系列谐振动之和. 这一事实用数学语言来描述即为：在一定的条件下，任何周期为T(?2?/?)的函数f(t)，都可用一系列以T为周期的正弦函数所组成的

2、级数来表示，即 f(t)?A0?Ansin(n?t?n) (8.1) n?1? 其中A0,An,?n(n?1,2,3,?)都是常数. 十九世纪初，法国数学家傅里叶曾大胆地断言：“任意”函数都可以展成三角级数. 虽然他没有给出明确的条件和严格的证明，但是毕竟由此开创了“傅里叶分析”这一重要的数学分支，拓广了传统的函数概念. 傅里叶的工作被认为是十九世纪科学迈出的极为重要的第一个大步，它对数学的发展产生的影响是他本人及同时代的其他人都难以预料的. 而且，这种影响至今还在发展之中. 这里所介绍的知识主要是由傅里叶以及与他同时代的德国数学家狄利克雷等人的研究结果. 二、函数展开成傅里叶级数 1?a?f

3、(x)cosnxdx,(n?0,1,2,?),?n?傅里叶系数 ? (8.5) ?1?b?f(x)sinnxdx,(n?1,2,3,?).n? 将这些系数代入(8.4)式的右端，所得的三角级数 a0? ?(ancosnx?bnsinnx) (8.6) 2n?1 称为函数f(x)的傅里叶级数. 定理1（收敛定理，狄利克雷充分条件） 设f(x)是周期为2?的周期函数. 如果f(x)满足在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点. 则f(x)的傅里叶级数收敛，并且 (1) 当x是f(x)的连续点时, 级数收敛于f(x)； f(x?0)?f(x?0). 2 狄利克雷收敛定理告诉

4、我们：只要函数f(x)在区间?,?上至多只有有限个的第一类间断点，并且不作无限次振动，则函数f(x)的傅里叶级数在函数的连续点处收敛于到该点(2) 当x是f(x)的间断点时, 收敛于的函数值，在函数的间断点处收敛于该点处的函数的左极限与右极限的算术平均值. 由此可见，函数展开成傅里叶级数的条件要比函数展开成幂级数的条件低得多. 三、周期延拓：在区间?,?)或(?,?外补充f(x)的定义，使它拓广成一个周期为2?的周期函数F(x)，这种拓广函数定义域的方法称为周期延拓. 四、正弦级数与余弦级数：一般地, 一个函数的傅里叶级数既含有正弦项, 又含有余弦项（例2），但是, 也有一些函数的傅里叶级数只

5、含有正弦项（例1）或者只含有常数项和余弦项（例4），导致这种现象的原因与所给函数的奇偶性有关。即： 奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数. 偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数. 五、奇延拓与偶延拓 奇延拓 令 ?f(x),0?x?F(x)?0,x?0 ?f(?x),?x?0? 则F(x)是定义在(?,?上的奇函数，将F(x)在(?,?上展开成傅里叶级数，所得级数必是正弦级数. 再限制x在(0,?上，就得到f(x)的正弦级数展开式. 偶延拓 令 ?f(x),0?x?F(x)? f(?x),?x?0? 则F(x)是定义在(?,?上的偶函数，将F(x)在(?,?上展开成傅里叶级数，所得

6、级数必是余弦级数. 再限制x在(0,?上，就得到f(x)的余弦级数展开式. 例题选讲 函数展开成傅里叶级数 ?1,?t?0,例1（E01）将以2?为周期的函数 u(t)? 展开成傅里叶级数. 0?t?,?1, 解 an?1?u(t)constd?t?10(?1)constd?t1?constd?t0(n?0,1,2,?), ?01? bn?1 ?u(t)sinntdt?1?0(?1)sinntdt?1? 01?sinntdt?22(1?cosn?)?1?(?1)n n?n?4?,n?1,3,5,? ?n?0,n?2,4,6,? 所以函数u(t)的傅里叶级数展开式为 4?11?sint?sin3

7、t?sin(2n?1)t?. ?32n?1? 注意到函数u(t)满足狄利克雷收敛定理的条件.它在点x?k?(k?0,?1,?2,?)处有第一类间断，在其它点处连续.因此, u(t)的傅里叶级数收敛，并且当x?k?时收敛于(?1)?1/2?0或 1?(?1)/2?0.当x?k?时收敛于u(t),即u(t)的傅里叶级数的和函数为 ?u(t),x?k?(k?0,?1,?2,?) s(t)?0,x?k? 和函数的图形如图所示.故u(t)的傅里叶级数展开式为 u(t)?1sin(2n?1)t(?x?,x?0,?,?2?). 4n?12n?1? 注：如果将本例中的函数u(t)理解为矩形波的波形函数，则u(

8、t)的展开式表明：矩形波是由一系列不同频率的正弦波的叠加而成的. 例2 设f(x)是周期为2?的周期函数，它在?,?)上的表达式为 ?x,f(x)?0,?x?0,0?x?. 试将函数f(x)展开成傅立叶级数. 解 先求f(x)的傅里叶级数. a0?1 ? 1?1?x2?f(x)dx?xdx?; ?2?21?00an?11?xsinnxcosnx?f(x)cosnxdx?xcosnxdx?(1?cosn?) ?2?2?n?n?n?1?00?1 n?21?(?1)n(n?1,2,3,?). (?1)n1?xcosnxsinnx?(n?1,2,3,?). f(x)sinnxdx?xsinnxdx?2

9、?n?n?n?bn?1?1?00 所以函数f(x)的傅里叶级数为 ?1?1?2?cosx?sinx?sin2x?2cos3x?sin3x?4?23?2?3? 11?2?sin4x?2cos5x?sin5x?. 45?5? f(?0)?f(?0)0?(?)?, 222 在其它点收敛于f(x)本身.即f(x)的傅里叶级数的和函数 并且在上述间断点处级数收敛于 ?f(x),x?(2k?1)?s(x)?(k?0,?1,?2,?), ?/2,x?(2k?1)? 和函数的图形如图. 故f(x)的傅里叶展开式为 f(x)?2?1?cosx?sinx?sin2x 4?2 1?2?1?2cos3x?sin3x?

10、sin4x 3?3?4 1?2?2cos5x?sin5x?5?5? (?x?,x?0,?,?3?,?). 例3（E02）设f(x)是周期为2?为周期函数，它在(?,?的表达式为 ?x?0,?1, f(x)?21?x,0?x?.? 试写出f(x)的傅立叶级数展开式在区间(?,?上的和函数s(x)的表达式. 解 此题只求f(x)的傅里叶级数的和函数，因此不需要求出f(x)的傅里叶级数.因为函数f(x)满足狄利克雷收敛定理的条件,在(?,?上的第一类间断点为x?0,?,在其余点处均连续.故有收敛定理知，在间断点x?0处，和函数 f(0?0)?f(0?0)?1?1?0; ?22 在间断点x?处，和函数

11、 s(x)? 因此, f(?0)?f(?0)(1?2)?(?1)?2?. ?s(x)?222所求和函数 ?x?0?1,?1?x2,0?x?s(x)? 0,x?0?2?x?/2, ?x,?x?0例4（E03）将函数 f(x)? 展开成傅里叶级数. x,0?x? 解 所给函数满足狄利克雷充分条件.拓广的周期函数的傅氏级数展开式在?,?收敛于f(x). a0? an?1?1?f(x)dx?(?x)dx?101?0xdx?, ?f(x)cosnxdx?10(?x)cosnxdx?1? 0xcosnxdx ?4?,n?1,3,5,?2(cosn?1)?2(?1)?1?n2?, n?n?0,n?2,4,6

12、,?22n bn?1?f(x)sinnxdx?10(?x)sinnxdx?1? 0xsinnxdx?0, 所给函数的傅氏展开式 f(x)? 2?1cos(2n?1)x(?x?). ?n?1(2n?1)24? 正弦级数与余弦级数 例5（E04）试将函数f(x)?x(?x?)展开成傅里叶级数. 解 题设函数满足狄利克雷收敛定理的条件，但作周期延拓后的函数F(x)在区间的端点x?和x?处不连续.故F(x)的傅里叶级数在区间(?,?)内收敛于和f(x),在端点收敛于 数, 故其傅里叶系数 an?0(n?0,1,2,?), 2?xconnxsinnx?2?f(x)sinnxdx?xsinnxdx?n?0

13、?0n?0f(?0)?f(?0)(?)?0,和函数的图形如图(见系统演示). 因f(x)是奇函?22bn2?2?2?cosn?n?2(?1)n?1 n (n?1,2,3?). (?1)n?1 于是 f(x)?2sinnx(?x?). nn?1? 例6 将函数f(x)?x2(?x?)展开成傅里叶级数. 解 题设函数满足狄利克雷收敛定理的条件，且作周期延拓后的函数F(x)在区间 ?,?上处处连续.故F(x)的傅里叶级数在区间?,?上收敛于和f(x).和函数的图形如图所示.注意到f(x)?x2是偶函数，故其傅里叶系数 bn?0(n?1,2,3,?). a0? an?2?2?0f(x)dx?2?02x2dx?2, 32 ? 0f(x)cosnxdx? 0x2connxdx?2n?2?(x?sinnx|0? 0?2xsinnxdx)? ?