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1、信号与系 统 20082009学年 第二学期 1 第八章 滤波器和均衡器 中的应用 滤波器是对信号的频率成分进行选择和调整的工具。使滤波器是对信号的频率成分进行选择和调整的工具。使 用滤波器对信号进行选择的前提，是所需要的频率成分与寄用滤波器对信号进行选择的前提，是所需要的频率成分与寄 生信号的频率成分之间是隔离的。生信号的频率成分之间是隔离的。 均衡器是从输出信号中恢复输入信号的工具。均衡器是从输出信号中恢复输入信号的工具。 利用拉普拉斯变换和利用拉普拉斯变换和z z变换，可以实现滤波器和均衡器的变换，可以实现滤波器和均衡器的 设计。设计。 理想滤波器概念是滤波器设计的基础，从理想滤波器概理
2、想滤波器概念是滤波器设计的基础，从理想滤波器概 念出发，可以实现实际滤波器的设计。念出发，可以实现实际滤波器的设计。 以连续时间系统的角度设计的滤波器是模拟滤波器，以以连续时间系统的角度设计的滤波器是模拟滤波器，以 离散时间系统角度设计的滤波器是数字滤波器。离散时间系统角度设计的滤波器是数字滤波器。 8.1 引言 2 8.2 无失真传输条件 如果输出信号如果输出信号y y( (t t) )只是输入信号只是输入信号x x( (t t) )幅度的尺度变换和恒定的时间延幅度的尺度变换和恒定的时间延 迟，则称系统对输入信号进行了无失真的传输。系统无失真传输的条件迟，则称系统对输入信号进行了无失真的传输
3、。系统无失真传输的条件 可以表示为可以表示为 其中其中 C C 和和 t t 0 0 均是常数，分别代表幅度变换程度和传输过程中的时间延迟均是常数，分别代表幅度变换程度和传输过程中的时间延迟 。 LTILTI系统系统 输入信号输入信号x x( (t t) ) 输出信号输出信号y y( (t t) = ) = C C x x( (t t - -t t 0 0 ) ) 无失真传输系统的傅里叶变换为无失真传输系统的傅里叶变换为 线性非时变无失真传输系统的频率响应和时间响应线性非时变无失真传输系统的频率响应和时间响应 3 8.2 无失真传输条件 无失真传输系统的幅度响应为常数：无失真传输系统的幅度响应
4、为常数： 无失真传输系统的相位响应，是以系统延迟时间的负值为斜率、随无失真传输系统的相位响应，是以系统延迟时间的负值为斜率、随 频率变化的直线。无时移系统的相位响应为常数。频率变化的直线。无时移系统的相位响应为常数。 0 |H( j)| C 0 argH( j) 斜率 = - t 离散信号无失真传输系统的频率响应离散信号无失真传输系统的频率响应 4 8.3 理想低通滤波器 实际信号随时间的变化率一般都有一定的上下限，即信号的频谱只实际信号随时间的变化率一般都有一定的上下限，即信号的频谱只 占有有限的频率范围。我们可以通过对系统进行设计，使其具有选择让占有有限的频率范围。我们可以通过对系统进行设
5、计，使其具有选择让 某些频率范围的信号通过，并阻断某些频率范围信号的功能，实现这种某些频率范围的信号通过，并阻断某些频率范围信号的功能，实现这种 功能的方法或工具称为滤波器。实际系统都只能对一定频率范围的信号功能的方法或工具称为滤波器。实际系统都只能对一定频率范围的信号 做出响应，因此从广义上说，实际系统具有滤波器的功能。做出响应，因此从广义上说，实际系统具有滤波器的功能。 滤波器的频率响应通过通带和阻带体现其特性，通带与阻带之间由滤波器的频率响应通过通带和阻带体现其特性，通带与阻带之间由 过渡带（保护带）隔离开，过渡带往往是系统为保证完整而无失真地取过渡带（保护带）隔离开，过渡带往往是系统为
6、保证完整而无失真地取 得有用信号的冗余。得有用信号的冗余。 滤波器有低通、高通、带通和带阻等类型，分别对应系统需要传输滤波器有低通、高通、带通和带阻等类型，分别对应系统需要传输 低频、高频、中频及除中频外频段信号的特性。低频、高频、中频及除中频外频段信号的特性。 低通滤波器是具有让零至某一最大频率范围信号通过，而阻断其他低通滤波器是具有让零至某一最大频率范围信号通过，而阻断其他 高频信号通过的系统。允许所有通带内的低频信号无失真通过，通带外高频信号通过的系统。允许所有通带内的低频信号无失真通过，通带外 的高频信号完全不能通过的滤波器是为理想低通滤波器。的高频信号完全不能通过的滤波器是为理想低通
7、滤波器。 5 8.3 理想低通滤波器 理想低通滤波器的频率响应：理想低通滤波器的频率响应： 0 |H( j)| 1 c-c0 argH( j) 1 c-c 斜率 = - t 6 8.3 理想低通滤波器 理想低通滤波器的冲激响应：理想低通滤波器的冲激响应： 主瓣宽度：2/c 上升时间：/c t 0时，h(t)0 由于由于t 0时，h(t)0，理想低通滤波器不具有因果性。理想低通滤波器不具有因果性。 7 8.3.1 矩形脉冲通过理想低通滤波器后的特矩形脉冲通过理想低通滤波器后的特 性性 输入为矩形脉冲输入为矩形脉冲 通过理想低通滤波器后的输出信号为通过理想低通滤波器后的输出信号为 其中：其中： 8
8、 8.3.1 矩形脉冲通过理想低通滤波器后的特矩形脉冲通过理想低通滤波器后的特 性性 而而称为正弦积分称为正弦积分 正弦积分的基本特点正弦积分的基本特点: : 正弦积分是奇函数；正弦积分是奇函数； 正弦积分在正弦积分在 的整数倍位置上有极大值或极小值；的整数倍位置上有极大值或极小值； 随着随着| |u|u|的增加，正弦积分趋向于极限值的增加，正弦积分趋向于极限值 /2/2。 9 c c = 4= 4/T/T 0 0 c c = 2= 2/T/T 0 0 c c 2 2/T/T 0 0 x x ( (t t) ) 8.3.1 矩形脉冲通过理想低通滤波器后的特矩形脉冲通过理想低通滤波器后的特 性性
9、 矩形脉冲通过理想低通滤波器后的特点矩形脉冲通过理想低通滤波器后的特点 1 1 、 c c 2 2/T/T 0 0 时，输出信号时，输出信号y y ( (t t) )与输入矩形脉冲与输入矩形脉冲x x ( (t t) ) 的持续时间大致相同，但是的持续时间大致相同，但是 ：a a）与输入信号的陡峭与输入信号的陡峭 上升和下降不同，输出信号具有一定的上上升和下降不同，输出信号具有一定的上 上升和下上升和下 降时间，上升和下降时间的长短与截止频率降时间，上升和下降时间的长短与截止频率 c c 成反比，截止频率越大，上升成反比，截止频率越大，上升 和下降时间越短；和下降时间越短；b b）输出信号输出
10、信号y y ( (t t) )在上升和下降沿的前后存在过冲和振荡（在上升和下降沿的前后存在过冲和振荡（ 吉布斯现象）吉布斯现象） ，最大顶部上冲量约为正弦积分极限值的，最大顶部上冲量约为正弦积分极限值的9%9%。 2 2、 c c = 2= 2/T/T 0 0 时，时， 输出响输出响 应应y y ( (t t) )可以看成一个脉可以看成一个脉 冲信号。脉冲的上升冲信号。脉冲的上升 时间和下降时间之和时间和下降时间之和 与输入矩形脉冲的持与输入矩形脉冲的持 续时间几乎是相同的续时间几乎是相同的 ，可以近似反映输入，可以近似反映输入 信号的有无和持续时信号的有无和持续时 间过程。间过程。 3 3、
11、当、当 c c 2 2/T/T 0 0 时，时， 响应响应y y ( (t t) )可以粗略地看作输入可以粗略地看作输入 脉冲的失真模式。脉冲的失真模式。 10 8.3.1 矩形脉冲通过理想低通滤波器后的特矩形脉冲通过理想低通滤波器后的特 性性 矩形脉冲通过理想低通滤波器后的特点矩形脉冲通过理想低通滤波器后的特点 c c T T0 0 = 10= 10 时，矩形脉冲通过理想时，矩形脉冲通过理想 低通滤波器后的输出：低通滤波器后的输出：1 1）上升和下降）上升和下降 时间较时间较 c c T T0 0 = 4= 4 时明显减小；时明显减小；2 2）平均）平均 振荡幅度较振荡幅度较 c c T T
12、0 0 = 4= 4 时明显减小；时明显减小；3 3） 其过冲（最大振荡幅度）基本保持不变其过冲（最大振荡幅度）基本保持不变 ，约为平均极限响应的，约为平均极限响应的9%.9%. c c T T0 0 = 20= 20 时，矩形脉冲通过时，矩形脉冲通过 理想低通滤波器后的输出：理想低通滤波器后的输出： 1 1）上）上 升和下降时间较升和下降时间较 c c T T0 0 = 10= 10 时进一时进一 步减小；步减小； 2 2）平均振荡幅度进一步）平均振荡幅度进一步 减小；减小； 3 3）其过冲（最大振荡幅度）其过冲（最大振荡幅度 ）基本保持不变，约为平均极限响）基本保持不变，约为平均极限响 应
13、的应的9% 9% 。 11 8.4 滤波器设计 理想低通滤波器具有的三项功能：让位于通带内的所有频率成分无理想低通滤波器具有的三项功能：让位于通带内的所有频率成分无 失真通过；滤除所有位于阻带内的频率成分；从通带到阻带的过渡是陡失真通过；滤除所有位于阻带内的频率成分；从通带到阻带的过渡是陡 峭的。但是这三项功能实际上是难以实现的。峭的。但是这三项功能实际上是难以实现的。 实际滤波器是在允许存在一定误差的条件下来实现的。实际滤波器是在允许存在一定误差的条件下来实现的。 实际低通滤波器的设计原则实际低通滤波器的设计原则: : 1 1）滤波器的幅度响应）滤波器的幅度响应的平方的平方控制在控制在1 1
14、与与1 1- -之间，即之间，即 1 1- -|H(|H( j j )|)| 2 2 1 1 对于对于0 0 p p 其中其中 p p 是通带的截止频率，是通带的截止频率， 是容限参数；是容限参数； 2 2）阻带内滤波器的幅度）阻带内滤波器的幅度的平方的平方小于小于 ，即即 |H(|H( j j )|)| 2 2 对于对于| | s s 其中其中 s s 是阻带的截止频率，是阻带的截止频率， 是容限参数；是容限参数； 3 3）过渡带的带宽是有限值，为：）过渡带的带宽是有限值，为： s s - - p p 。 1 1 1 1- - | |H H( (j j )|)| 2 2 s s p p 0
15、0 通带通带阻带阻带过渡带过渡带 12 8.4 滤波器设计 实际低通滤波器的设计步骤实际低通滤波器的设计步骤: : 1 1）通过表示稳定因果系统的有理传递函数，将预定的频率响应）通过表示稳定因果系统的有理传递函数，将预定的频率响应 （包括幅度及相位响应）作近似表示；（包括幅度及相位响应）作近似表示； 2 2）通过实际的物理系统实现以上近似表示的传递函数。）通过实际的物理系统实现以上近似表示的传递函数。 实际低通滤波器的设计方法实际低通滤波器的设计方法: : 1 1）对模拟系统采用模拟方法实现滤波器设计；）对模拟系统采用模拟方法实现滤波器设计； 2 2）在已经知道的模拟滤波器基础上设计数字滤波器，称为模拟）在已经知道的模拟滤波器基础上设计数字滤波器，称为模拟数数 字方法；字方法； 3 3）直接进行数字滤波器的设计方法。直接进行数字滤波器的设计方法。 13 8.5 实现实际滤波器设计的近似 函数 实际滤波器的设计没有固定和唯一的方法，只能根据需要问实际滤波器的设计没有固定和唯一的方法，只能根据需要问 题的要求，从一个优化的原则和技术出发，得到符合一定规范条题的要求，从一个优化的原则和技术出发，得到符合一定规范条 件下的解决方案。滤波器设计中常用的两种优化方案是最大平坦件下的解决方案。滤波器设计中常用的两种优化方案是最大平坦 幅度响应和等纹波幅度响应。幅度响
