信号与系统第2章综述

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1、第2章 线性时不变系统 Linear Time-Invariant Systems LTI系统的框图结构表示。 本章主要内容： 信号的时域分解用 表示离散时间 信号；用 表示连续时间信号。 LTI系统的时域分析卷积积分与卷积和 LTI系统的微分方程及差分方程表示。 奇异函数。 2.0 引言 ( Introduction ) 由于LTI系统满足齐次性和可加性 ，并且具有时不变性的特点，因而为 建立信号与系统分析的理论与方法奠 定了基础。 基本思想：如果能把任意输入信号分解 成基本信号的线性组合，那么只要得到 了LTI系统对基本信号的响应，就可以 利用系统的线性特性，将系统对任意输 入信号产生的响

2、应表示成系统对基本信 号的响应的线性组合。 问题的实质： 1.研究信号的分解：即以什么样 的信号作为构成任意信号的基 本信号单元，如何用基本信号 单元的线性组合来构成任意信 号； 2. 如何得到LTI系统对基本单元 信号的响应。 作为基本单元的信号应满足以下 要求： 1. 本身尽可能简单，并且用它的线性组 合能够表示（构成）尽可能广泛的其它 信号； 2. LTI系统对这种信号响应易于求得。 如果解决了信号分解的问题， 即：若有 则 将信号分解可在时域进行，也可在频域或 变换域进行，相应地就产生了对LTI系统的 时域分析法、频域分析法和变换域分析法。 分析方法： 离散时间信号中,最简单的是 ,可

3、 以由它的线性组合构成 ，即： 2.1 离散时间LTI系统：卷积和 一. 用单位脉冲表示离散时间信号 （Discrete-Time LTI Systems:The Convolution Sum） 对任何离散时间信号 ,如果每次从 其中取出一个点，就可以将信号拆开来 ，每次取出的一个点都可以表示为不同 加权、不同位置的单位脉冲。 于是有： 上式把任意一个序列 表示成一串移 位的单位脉冲序列 的线性组合， 其中 是权因子。 二. 卷积和（Convolution sum） 定义：离散时间LTI系统的单位脉冲响应 ( impulse response ) 根据LTI的移不变性有： 再根据LTI的齐次

4、性和可加性有： 总之，LTI系统对任何输入信号 的 响应有： 上面这种求得系统响应的运算关系称为卷积 和（The convolution sum）。这表明：一个LTI 系统对任意输入的响应都可以由它的单位脉 冲响应和输入来表示。 卷积的意义：单位脉冲响应完 全表征LTI系统的特性系统与 信号的统一。 三. 卷积和的计算 计算方法：有图解法、列表法、解析法（包 括数值解法）。 运算过程： 将一个信号 不动，另一个信号经反转 后成为 ,再随参变量 移位为： 在每个 值的情况下，将 与 对 应点相乘，再把乘积的各点值累加，即得到 时刻的 。 例1： 时， 时， 所以 例2： 时， 时， 时， 时，

5、时， 通过图形帮助确定反转移位信号 的区间表示，对于确定卷积和计算 的区段及各区段求和的上下限是很 有用的。 四. 卷积和运算的性质 1. 交换律： 结论： 一个单位冲激响应是hn的LTI系统 对输入信号xn所产生的响应，与一个单位 冲激响应是xn的LTI系统对输入信号hn所 产生的响应相同。 2. 结合律: 两个LTI系统级联可以等效为一个单一 系统，该系统的单位脉冲响应等于两个级 联系统的单位脉冲响应的卷积。 两个级联的LTI系统总的单位脉冲 响应与其中各部分级联的次序无关。 结论： 3. 分配律： 结论： 两个LTI系统并联可以用一个单 一的LTI系统来等效，该单个系统的 单位脉冲响应等

6、于并联的各个子系统 的单位脉冲响应之和。 4. 卷积运算还有如下性质： 卷积和满足差分、求和特性： 时移特性： 与离散时间信号分解的思想相一致，连续 时间信号应该可以分解成一系列移位加权的 单位冲激信号的线性组合。至少单位阶跃与 单位冲激之间有这种关系： （Continuous-Time LTI Systems:The convolution integral） 一. 用冲激信号表示连续时间信号 2.2 连续时间LTI系统：卷积积分 对一般信号 ，可以将其分成很多 宽度的区段，用一个阶梯信号 近似表示 。当 时，有 引入 ， 即： 则有： 表明： 任何连续时间信号 都可以被分解成移位 加权的单

7、位冲激信号的线性组合。 于是： 二. 卷积积分（The convolution integral） 定义：连续时间LTI系统的单位冲激响应 卷积积分的表示： 又 表明:连续时间LTI系统可以 完全由它的单位冲激 响 应来表征。 卷积积分 三. 卷积积分的计算 卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图 解法、解析法和数值解法。 运算过程的实质也是：参与卷积的两个信 号中，一个不动，另一个反转后随参变量 移动。对每一个 的值，将 和 对 应相乘，再计算相乘后曲线所包围的面积。 通过图形帮助确定积分区间和积分上下限 是很有用的。 例1: 当 时， 当 时， 所以： 例2 : 当 时， 当 时， 当 时，

8、 当 时， 当 时， 四. 卷积积分运算的性质 1. 交换律： 结论：一个单位冲激响应是h(t)的LTI系统对 输入信号x(t)所产生的响应，与一个单位冲激 响应是x(t)的LTI系统对输入信号h(t)所产生 的响应相同。 2. 分配律： 结论：两个LTI系统并联，其总的单位冲激 响应等于各子系统单位冲激响应之和。 3. 结合律: 两个LTI系统级联时，系统总的单位冲 激响应等于各子系统单位冲激响应的卷 积。 由于卷积运算满足交换律，因此， 系统级联的先后次序可以调换。 结论： 4. 卷积运算还有如下性质： 卷积积分满足微分、积分特性： 若 ，则 卷积积分时移特性： 若 ，则 将 微分一次有:

9、 例如：2.2 中的例2 根据微分特性有: * 利用积分 特性即可 得: 2.3 线性时不变系统的性质 LTI 系统可以由它的单位冲激/ 脉冲响应来表征，因而其特性（记 忆性、可逆性、因果性、稳定性） 都应在其单位冲激/脉冲响应中有 所体现。 （ Properties of Linear Time-Invariant Systems） 1. 无记忆性和记忆性： 故必有： 即： 所以，无记忆系统的单位脉冲/冲激响应为： 如果LTI系统的单位冲激/脉冲响应不满足 上述要求，则系统是记忆的。 2. 可逆性： 如果LTI系统是可逆的，一 定存在一个逆系统，且逆系统也是LTI系统 ，它们级联起来构成一个

10、恒等系统。 因此有： 例如：延时器是可逆LTI系统， 其逆系统是 ，显然有： 累加器是可逆的LTI系统，其 其逆系统是 ，显然也有 ： 3. 因果性： 对连续时间系统有: 这是LTI系统具有因果性的充分必要条件。 因此必须有： 即： 根据稳定性的定义，由 若 有界，则 ;若系统稳定， 则要 求 必有界，由 可知，必须有: 对连续时间系统，相应有: 这是LTI系统稳定的充分必要条件。 4. 稳定性： 5. LTI系统的单位阶跃响应： 在工程实际中，也常用单位阶跃响应来描 述LTI系统。单位阶跃响应就是系统对 或 所产生的响应。因此有: LTI的特性也可用单位阶跃响应来描述。 2.4 用微分和差分

11、方程描述的因果LTI系统 在工程实际中有相当普遍的一类系 统，其数学模型可以用线性常系数微 分方程或线性常系数差分方程来描述 。分析这类LTI系统，就是要求解线 性常系数微分方程或差分方程。 ( Causal LTI Systems Described by Differential and Difference Equations ) 求解该微分方程，通常是求出通解 和 一个特解 则 。 一.线性常系数微分方程(LCCDE) （Linear Constant-Coefficient Differential Equation） 为常数 例：已知LTI系统 且系统满足初始松弛条件，即if t0

12、，x(t)0 then t0，y(t)0 一般的线性常系数差分方程可表示为： 可以将其改写为： 若要求 除了要知道所有的输入外，还必 须知道 。由于这种差分方 程可以通过递推求解，因而称为递归方程（ recursive equation）。 二. 线性常系数差分方程(LCCDE): (Linear Constant-Coefficient Difference Equation) 当 时，差分方程变为： 此时,求解方程不再需要迭代运算 ，因而称为非递归方程（non-recursive equation）显然，此时方程就是一个卷积 和的形式，相当于 此时，系统单位脉冲响应 是有限长的 ,因而把这

13、种方程描述的LTI系统称为FIR（ Finite Impulse Response）系统。与此相应 ，将递归方程描述的系统称为IIR（Infinite Impulse Response）系统,此时系统的单位脉 冲响应是一个无限长的序列。 FIR系统与IIR系统是离散时间LTI系统中两 类很重要的系统，它们的特性、结构以及设 计方法都存在很大的差异。 三.由微分和差分方程描述的LTI系统的方框 图表示 Block-Diagram Respresentation of the LTI System described by LCCDE） 1. 离散时间系统的三种基本网络单元： 相加器 乘以系数 单

14、位延迟 例：因果系统 ，建立该 系统的方框图表示 例：因果系统 ，建立该 系统的方框图表示，首先： 2. 连续时间系统的基本网络单元 相加器 乘以系数 微分器 积分器 但由于微分器不仅在工程实现上有困难， 而且对误差及噪声极为灵敏，因此，工程上 通常使用积分器而不用微分器。 例：已知因果系统 ， 确定该系统的方框图表示。 在第一章介绍单位冲激时，采用极限的观 点，将 视为 在 时的极限。这 种定义或描述 的方法在数学上仍然是不 严格的，因为可以有许多不同函数在 时都表现为与 有相同的特性。 2.5 奇异函数（Singularity function） 例如:以下信号的面积都等于1，而且 时，它

15、们的极限都表现为单位冲激。 之所以产生这种现象，是因为 是一个 理想化的非常规函数，被称为奇异函数。通 常采用在卷积或积分运算下函数所表现的特 性来定义奇异函数。 一. 通过卷积定义 定义 为一个信号，对任何 信号有： 根据定义可以得出 的如下性质： 根据上述定义可以得出 的如下性质： 当 时，有 此式即可作为在积分运算下 的 定义式。 采样性： 原点采样公式 二. 通过积分定义 是偶函数，即： 根据积分下的定义有： 三. 单位冲激偶及其他奇异函数 理想微分器的单位冲激响应应该是 的 微分，记为 ，从卷积运算或LTI 系统分析的角度应该有： 称为单位冲激偶（ Unit doublet） 微分器 奇异函数的定义： 由 ， 的各阶导数及 的各 次积分组成的一个函数族。 奇异函数的符号表示： 运算定义： 性质： LTI系统的时域分析卷积和与卷 积积分 2.6 小结（Summary） 本章主要讨论了以