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1、1. 1.广义变分原理及其应用广义变分原理及其应用 1.1 1.1 虚力原理与余能原理虚力原理与余能原理 1.2 1.2 泛函的变换格式泛函的变换格式 1.3 1.3 含可选参数的广义变分原理含可选参数的广义变分原理 1.4 1.4 基于基于ReissnerReissner原理的混合元原理的混合元 1.5 1.5 放松约束的变分原理及杂交元放松约束的变分原理及杂交元 2000.31哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 1.1 1.1 虚力原理与余能原理虚力原理与余能原理 1.1.1 1.1.1 虚位移原理和势能原理（复习）虚位移原理和势能原理（复习） 1 1） 虚位移原理的虚功方程虚位移原理的虚功方
2、程矩阵表达矩阵表达 WW e e = V V F Fb b T T u u d dV V+ + S S F F s s T T u u d dS S = = WW i i = V V T T d dV V 体积力虚功体积力虚功表面力虚功表面力虚功 虚变形功虚变形功 WW e e = V VF Fb bi i uu i i d dV V+ + S S F Fs si i uu i i d dS S = = WW i i = V V ij ij ij ij d dV V 虚功方程虚功方程张量表达张量表达 2000.32哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 2 2） 势能原理的数学表达势能原理的数学表达
3、V V e e = =V V + +V V P P =1/2 =1/2 V V ij ij ij ij d dV V - - V VF Fb bi iu u i i d dV V- - S S F Fs si iu u i i d dS S = = minmin 总势能总势能 应变能应变能 外力势能外力势能 1.1.2 1.1.2 虚力原理虚力原理 1 1）虚力原理的表述虚力原理的表述 给定位移状态协调的充分必要条件为：对给定位移状态协调的充分必要条件为：对 一切自平衡的虚应力，恒有如下虚功方程成一切自平衡的虚应力，恒有如下虚功方程成 立（矩阵）立（矩阵） V V T T d dV V=Su
4、Su( (L L ) )T T u u 0 0 d dS S 虚反力功虚反力功 表面给定位移表面给定位移 虚余变形功虚余变形功 2000.33哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 虚功方程虚功方程张量表达张量表达 V V ij ij ij ij d dV V=Su Su ij ijn n j j u ui i0 0 d dS S 2)2) 必要性证明必要性证明 ij ij =1/2(=1/2(u u i i , ,j j + +u u j j , ,i i ) )=D=D-1 -1ijkl ijkl klkl V V： ij ij , , j j =0 =0 S S ： ： ij ijn n j j
5、 =0=0 已知条件已知条件 ： =A A T T u u = = D D -1 -1 V V： =0 =0 S S ： L L =0=0 需证明的是：需证明的是： V V ij ij ij ij d dV V=Su Su ij ijn n j j u ui i0 0 d dS S 或张量表达形式已知条件：或张量表达形式已知条件： 2000.34哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 V V ( ( A A u u) ) T T d dV V= = S S ( (L L ) )T T u u d dS S- - V V ( (A A ) )T T u u d dV V 1/21/2 V V( (u u
6、i i , ,j j + +u u j j , ,i i ) ) ij ij d dV V= = S S ij ijn n j j u u i i d dS S- - V V ij ij , ,j j u u i i d dV V 证明证明 ：利用格林公式：利用格林公式 或张量形式格林公式或张量形式格林公式 考虑到虚应力的已知自平衡条件，立即可得考虑到虚应力的已知自平衡条件，立即可得 V V ij ij ij ij d dV V=Su Su ij ijn n j j u ui i0 0 d dS S 必要性证毕必要性证毕。 2000.35哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 2)2) 充分性证明充分
7、性证明 V V： ij ij , , j j =0 =0 S S ： ： ij ijn n j j =0=0 已知条件已知条件 ： = = D D -1 -1 需证明的是：应变需证明的是：应变 ij ij 是协调的。是协调的。 或张量表达形式或张量表达形式 ij ij = =D D -1-1ijkl ijkl klkl V V ij ij ij ij d dV V=Su Su ij ijn n j j u ui i0 0 d dS S V V T T d dV V=Su Su( (L L ) )T T u u 0 0 d dS S V V： A A =0 =0 S S ： L L =0=0 证
8、明证明 ：因为：因为V V： A A =0=0，所以所以 对任意对任意 V V ( (A A ) ) T T d dV V=0=0 利用格林公式和已知条件可得利用格林公式和已知条件可得 2000.36哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 设体内三个虚剪应力任意、独立，另三个正应设体内三个虚剪应力任意、独立，另三个正应 力满足力满足 A A =0=0。又因为又因为 完全任意，因此完全任意，因此 可设可设 V V ( ( D D -1 -1 - -A A T T ) ) T T d dV V +Su Su( (L L ) )T T ( ( -u u 0 0 ) )d dS S=0=0 (a) 在此条件下
9、，式在此条件下，式( (a a) )由于虚应力的任意、独立性由于虚应力的任意、独立性 可得可得 V V: : D D -1 -1 - -A A T T =0 =0 S S u u ： -u u 0 0 =0=0 充分性证毕。充分性证毕。 2000.37哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 1.1.3 1.1.3 余能原理余能原理 和由虚位移原理导出势能原理一样，由虚力和由虚位移原理导出势能原理一样，由虚力 原理原理 V V T T d dV V=Su Su( (L L ) )T T u u 0 0 d dS S 可得可得 (1/2(1/2 V V T T d dV V- - Su Su( (L L
10、) )T T u u 0 0 d dS S)=0)=0 记记V V C C 如下所示，并称为如下所示，并称为变形体的总余能变形体的总余能 V VC C = =1/21/2 V V T T d dV V- - Su Su( (L L ) )T T u u 0 0 d dS S 则由则由 V V C C =0=0可得可得 在一切可能的静力平衡状态中，某应力状态在一切可能的静力平衡状态中，某应力状态 为真实应力的充要条件是，变形体的总余能取为真实应力的充要条件是，变形体的总余能取 驻值。对线弹性体，此驻值为最小值。驻值。对线弹性体，此驻值为最小值。 余能原理余能原理 2000.38哈尔滨建筑大学 王
11、焕定教授制作 余能原理等价于协调，表达为余能原理等价于协调，表达为 V VC C = =1/21/2 V V ij ij ij ij d dV V - - SuSu F Fs si iu u0 0 i i d dS = S = minmin 利用格林公式，立即可证明利用格林公式，立即可证明 V V e e + + V VC C =0=0 1.2 1.2 泛函的变换格式（龙驭球提出）泛函的变换格式（龙驭球提出） 简单来说，势能原理等价平衡，表达为简单来说，势能原理等价平衡，表达为 V V e e = =V V + +V V P P =1/2 =1/2 V V ij ij ij ij d dV V
12、 - - V VF Fb bi iu u i i d dV V- - S S F Fs si iu u i i d dS S = = minmin 1.2.1 1.2.1 一些预备知识一些预备知识 1) 1) 变量的分类变量的分类 2000.39哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 除泛函变量外，泛函中的其他变量称为泛函除泛函变量外，泛函中的其他变量称为泛函 的的增广变量增广变量。 在余能泛函在余能泛函 V VC C = =1/21/2 V V ij ij ij ij d dV V - - SuSu F Fs si iu u0 0 i i d dS S 中中 ij ij 是泛函变量，其他是增广变量。
13、 是泛函变量，其他是增广变量。 泛函中所显含的自变函数称为泛函的泛函中所显含的自变函数称为泛函的泛函变泛函变 量量。 在势能泛函在势能泛函 V V e e = =V V + +V V P P =1/2 =1/2 V V ij ij ij ij d dV V - - V VF Fb bi iu u i i d dV V- - S S F Fs si iu u i i d dS S 中中 u ui i 是泛函变量，其他是增广变量。是泛函变量，其他是增广变量。 2000.310哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 泛函中泛函变量事先所需满足的条件，称为泛函中泛函变量事先所需满足的条件，称为 泛函的泛函的强制条件强制条件。 在余能泛函在余能泛函中中 ij ij 所需满足的平衡条件（内部 所需满足的平衡条件（内部 和边界）即为强
