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1、 第三章 机器人运动学 3.1 机器人运动方程的表示 机器人的机械手看作是一系列由关节连接起来的连杆构成的。为机 械手的每一连杆建立一个坐标系，并用齐次变换来描述这些坐标系间 的相对位置和姿态。通常把描述一个连杆与下一个连杆间相对关系的 齐次变换叫做A矩阵。一个A矩阵就是一个描述连杆坐标系间相对移 和旋转的齐次变换。如果A1表示第一个连杆对于基系的位置和姿态， A2表示第二个连杆相对于第一个连杆的位置和姿态，则第二个连杆在 基系中的位置和姿态可由下列矩阵的乘积给出 T2= A1 A2 同理，若A3表示第三个连杆相对于第二个连杆的位置和姿态，则有 T3= A1 A2 A3 称这些A矩阵的乘积为T
2、矩阵，其前置上标若为0，则可省略。对于六 连杆机械手，有下列T矩阵 T6= A1 A2 A3 A4 A5 A6 机械手的运动方向 原点由矢量p表示。 接近矢量a：z轴设在手指接近物体的方向，称为接近矢量 方向矢量o：y轴设在两手指的连线方向，称为方位矢量 法线矢量n：x轴由右手系确定， 即 n = o a ，称为法向矢量 。 手爪坐标系 因此，变换T6具有下列元素。 六连杆机械手的T矩阵（ T6 ）可由指定其16个元素的 数值来决定。在这16个元素中，只有12个元素具有实际 含义。 机械手由一串用转动或移关节连 接的刚体(杆件)组成。每一对关节杆件 构成一个自由度。杆件的编号由手臂的 固定基座
3、开始，固定基座可看成杆件0， 第一个运动体是杆件1，依次类推，最后 一个杆件与工具相连；关节1处于连接杆 件1和基座之间，每个杆件至多与另外两 个杆件相联，而不构成闭环。 杆件i的长度ai，是杆件上两个关节轴线的最短距离； 杆件i的扭转角i ，是两个关节轴线的夹角。 3.1.1 Denavt-Hartenberg(D-H)表示法 Ai Ai+1 任何杆件i都可以用两个尺度表征，如上图所示， Ai Ai-1 两个杆件的相对位置由两个参数决定： 两杆间的距离di：关节轴上两个法线的距离 夹角i：关节轴上两个法线的夹角 为描述相邻杆件间移和转动的关系。 Denavt和 Hartenberg (195
4、5)提出了一种为关节链中的每一杆件建立 附体坐标系的矩阵方法。D-H方法是为每个关节处的杆件坐 标系建立4 4齐次变换矩阵，表示它与前一杆件坐标系的关 系。这样逐次变换，用“手部坐标”表示的末端执行器可被 变换并用机座坐标表示。 坐标系的建立有两种方式： 固联坐标系后置 固联坐标系前置 3.1.1 Denavt-Hartenberg(D-H)表示法 n关节机器人需建立n+1个坐标 系，其中参考(机座)坐标系为 O0x0y0z0 ，机械手末端的坐标系为 Onxnynzn，第i关节上的坐标系为Oi- 1x i-1y i-1z i-1。坐标系Si置于连杆 Li的远离基座的关节上，故称固联 坐标系后置
5、。 确定和建立每个坐标系应根据 下面3条规则: z i-1轴沿着第i关节的运动轴； x i轴垂直于z i-1轴和z i轴并指向 离开z i-1轴的方向 y i轴按右手坐标系的要求建立。 按照这些规则，第0号坐标系在机座上的位置和方向可任选，只要z0轴沿 着第i关节运动轴。第n坐标系可放在手的任何部位、只要xn轴与zn-1轴垂直。 固联坐标系后置 转动关节连杆四参数示意图 9 机器人机械手上坐标系的配置取决于机械手连杆连接的类型。有两种连接 转动关节和棱柱联轴节。现在来考虑棱柱联轴节（动关节）的情况。下图示 出其特征参数 。 棱柱关节连杆四参数示意图 3.1.2 几何参数定义 i：绕z i-1轴
6、（右手规则）由x i-1轴向x i轴的关节角； di：从第i1坐标系的原点到z i -1轴和x i轴的交点沿z i-1轴的距离 ； ai：从z i-1和x i轴的交点到第i 根据上述对杆件参数及坐标 系的定义，描述串联机器人相邻 坐标系之间的关节关系可归结如 下4个参数： 坐标系原点沿x i轴的偏移距离(是z i-1轴和zi两轴间的最小距离） i ：绕x i轴（右手规则）由z i-1轴转向zi轴的偏角。 对于转动关节，di、ai、i是关节参数，i是关节变量。 移动关节的关节参数是i、 ai、i， di是关节变量。 3.1.2 几何参数定义 将第i个坐标系表示的点ri在i -1坐标系表示，需建立
7、i坐标系 和i1坐标系的齐次变换矩阵 ，需经过以下交换： (1)将坐标系Oi-1-1yi-1zi-1绕zi-1轴 转i角，使-1轴与行并指向 同一方向； (2)将坐标系Oi-1-1yi-1zi-1沿zi-1轴 移距离di ，使-1轴与Oiyizi 的轴重合； (3)将坐标系Oi-1-1yi-1zi-1沿轴移 距离ai ，使两坐标系的原点重合； (4)将坐标系Oi-1-1yi-1zi-1绕轴转i 角，使两坐标系完全重合。 3.1.3 建立i坐标系和i-1 坐标系的齐次变换矩阵 i坐标系和il坐标系的 齐次变换矩阵i-1Ai可以根据矩 阵的合成规则得到，i-1Ai称为 相邻坐标系i和i1的D-H变
8、换 矩阵。即 固联坐标系后置（zi位于 i+1关节轴上），变换公式 对于在第i坐标系中的点ri在第i1坐标系中表示为: 确定第i坐标系相对于机座坐标系的位置的齐次变换矩阵i-1Ti是 各齐次变换矩阵Ai的连乘积，可表示成 固联坐标系前置 连杆Li的固联坐标系Si的zi轴 置于i关节的旋转（或移动）轴 上，即坐标系Si置于连杆Li的靠 近基座的关节上，故称固联坐 标系前置。 zi-1与zi的公垂线为-1, zi与zi+1的公垂线为轴, i-1:为zi-1与zi的交错角； i:绕x i轴（右手规则）由z i轴转向zi+1轴的偏角； ai-1：从第i-1坐标系原点到x i-1轴和z i的交点沿x i
9、-1 轴的偏移距离 ai：从第i坐标系原点到x i轴和z i+1的交点沿x i轴的 偏移距离 i :绕z i轴由x i-1轴向x i轴的关节角； di：从x i-1 轴和z i轴的交点到第i坐标系的原点沿z i 轴的距离 固联坐标系前置（zi位于i关节轴上），变换公式 例 建立右图所示机器人相邻坐标 系间的转换矩阵 解：建立的坐标系如右图，这是二维坐 标系(在三维空间中，各坐标系的z轴垂 直于纸面)，其相邻坐标系的变换矩阵 为 式中，c12=cos(1+ 2)， s12=sin(1+ 2) 容易验证上式的正确性，即：末端位置为 ； T , 姿态为1+ 2 ； 例 建立下图所示PUMA机器人相邻
10、坐标系间的转换矩阵 。 第三章 机器人运动学 PUMA 560是属于关节式机器人，6个关节都是转动关节。前3个关节确定手腕 参考点的位置，后3个关节确定手腕的方位。 PUMA机器人的连杆及关节参数表 第三章 机器人运动学 连杆ii i-1 ai-1 di 11(90)000 22(0)-900d2 33(-90)0a20 44(0)-90a3d4 55(0)9000 66(0)-9000 式中 ：ci=cosi si=sini 例确定下图所示机器人的位置和姿态 解：用DH法建立坐标系转换矩阵，首先 列出各连轩及关节参数，如下表所示。 斯坦福机器人及其坐标系图 斯坦福机器人的连杆及关节参数表 机
11、器人运动学正问题是已知机器人各关节、各连杆 参数及各关节变量，求机器人手端坐标在基础坐标中的 位置和姿态。 3.2 机器人运动学正问题 将表中的参数分别代入i坐标系和il坐标系的齐次变换矩阵i-1Ai 可得如下变换矩阵： 由手端坐标逐一向基础坐标变换，其过程如下 nx=c1c2(c4c5c6-s4s6)-s2s5c6-s1(s4c5c6+c4s6) ny=s1c2(c4c5c6-s4s6)-s2s5c6+c1(s4c5c6+c4s6) nz=-s2(c4c5c6-s4s6)-c2s5c6 ox=c1-c2(c4c5s6+s4c6)+s2s5s6-s1(-s4c5s6+c4c6) oy=c1-c
12、2(c4c5s6+s4c6)+s2s5s6-s1(-s4c5s6+c4c6) oz=s2(c4c5s6+s4c6)+c2s5s6 ax=c1(c2c4s5+s2c5)-s1s4s5 ay=s1(c2c4s5+s2c5)+c1s4s5 az=-s2c4s5+c2c5 px=-c1s2d3-s1d2 py=s1s2d3+c1d2 pz=c2d3 3.2 机器人运动学正问题 机器人运动学逆问题，是已知满足某工作要求时末端执行 器的位置和姿态，以及各连杆的结构参数，求关节变量。对 于通用机器人，求解各关节相应位置的工作由机器人系统程 序完成。 目前，已经能够对一般结构的六自由度串联机器人进行 逆运动学
13、求解。但是，要获得显式解，只有满足下列两个充 分条件之一： (1)3个相邻关节轴交于一点； (2)3个相邻关节轴行。 3.3机器人运动学逆问题 nx=c1c2(c4c5c6-s4s6)-s2s5c6-s1(s4c5c6+c4s6) ny=s1c2(c4c5c6-s4s6)-s2s5c6+c1(s4c5c6+c4s6) nz=-s2(c4c5c6-s4s6)-c2s5c6 ox=c1-c2(c4c5s6+s4c6)+s2s5s6-s1(-s4c5s6+c4c6) oy=c1-c2(c4c5s6+s4c6)+s2s5s6-s1(-s4c5s6+c4c6) oz=s2(c4c5s6+s4c6)+c2
14、s5s6 ax=c1(c2c4s5+s2c5)-s1s4s5 ay=s1(c2c4s5+s2c5)+c1s4s5 az=-s2c4s5+c2c5 px=-c1s2d3-s1d2 py=s1s2d3+c1d2 pz=c2d3 （1） 例 已知上图所示机器人位置和姿 态，即已知式矩阵中各元素的值，试 确定机器人各关节变量。 解：用 左乘式（1）得 （2） 方程式（2）的左端为 （3） 将它表示为 其中 （4） （4）中3行4列元素为常数，利用式（3）对应元素的相等关系可得 即 为了解此类方程，作如下三角代换 式中 （5） 将（5）代入（4）得 即简化为 由于 0d2/r1，说明角度（-1）在0-范
15、围内： 0 （-1） 求出1 ： 式中，正负号对应于1的两个可能解。 根据机器人运动连续性及回避障碍的需要，确定一个1 ，从而式 (2)左边已知。由式(3)的1行4列及2行4列和式(2)对应元素相等，列出 由于d30，可求出2 可求出d3 解：用 依次左乘式（2）得以下4个方程式： （6） （9） （8） （7） 计算式(8)得 （10） 式中 由式(10)第3行3列为0，可得： 即 可求出 由式(10)第1行3列和第2行3列，可得： 可求出5 由式(9) 可得： 类似有： 可求出6 右图为三自由度机械手 (1)用DH方法建立各附体坐标系； (2)列出连杆的DH参数表； (3)建立运动学方程； 作 业
