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1、*第三章 自动控制系统的时域分析 第三章 自动控制系统的时域分析自动控制系统的时域分析 (12学时) 信息学院 二一五年十月 *第三章 自动控制系统的时域分析 3.5 自动控制系统的代数稳定判据 1、稳定的基本概念 定义：如果线性定常系统受到扰动的作用，偏离 了原来的平衡状态，而当扰动消失后，系统又能够 逐渐恢复到原来的平衡状态（或达到新的平衡状态 ），则称该系统是稳定的。否则，称该系统是不稳 定的。 注意：稳定性是系统的一种固有特性，这种特性只 取决于系统的结构和参数，与外作用无关。 *第三章 自动控制系统的时域分析 稳定与不稳定系统的示例 图a 摆运动示意图 （稳定系统） A A f f
2、图b 不稳定系统图c 小范围稳定系统 d f c A A 物理意义上的稳定概念 *第三章 自动控制系统的时域分析 设线性定常系统在初始条件为零时，输 入一个理想单位脉冲 ，这相当于系统在 零平衡状态下，受到一个扰动信号的作用， 如果当t趋于时，系统的输出响应xc(t)收 敛到原来的零平衡状态，即 该系统就是稳定的。 数学意义上的稳定概念 *第三章 自动控制系统的时域分析 j 0 j 0 j 0 j 0 j 0 五种运动状态（脉冲输入时） *第三章 自动控制系统的时域分析 系统特征方程的根（即系统闭环传递函数的极 点）全部负实数或具有负实部的共轭复数，也就 是所有的闭环特征根 分布在S平面虚轴的
3、左侧 （不包括虚轴），即 2、稳定的充分必要条件 *第三章 自动控制系统的时域分析 3. 劳斯稳定判据(Rouths stability criterion) 由以上讨论可知：判稳先求根。但是，对高 阶系统，在求根时将会遇到较大的困难。人们希 望寻求一种不需要求根而能判别系统稳定性的间间 接方法，例如接方法，例如: :直接用系数就可以判断系统的稳定直接用系数就可以判断系统的稳定 性性。而劳斯判据就是其中的一种。 代数判据 *第三章 自动控制系统的时域分析 （1）列劳斯表 劳斯表： 特征方程式： 原始数据 计算数据 *第三章 自动控制系统的时域分析 系统特征方程的全部根都在S左半平面（系 统稳定
4、）的充分必要条件是劳斯表的第1列系 数全部是正数。方程在右半平面根的个数等于 劳斯表中第1列各元改变符号的次数。 （2）劳斯判据(三种情况）： 注意：a00 a a. .劳劳斯表第一列所有系数均不为零斯表第一列所有系数均不为零 劳斯判据给出了系统特征根分布的情况，而并 不能给出具体的特征根的值。 *第三章 自动控制系统的时域分析 例3-4 系统的特征方程为 解：列劳斯表 劳斯表第一列的系数变号两次，系统不稳定，有2右半面的根。 *第三章 自动控制系统的时域分析 例3-5 系统的特征方程如下,试用劳斯判据判断系统的稳定性。 处理方法：可以用一个小的正数 代替它，而继续计算其余 各元，再用劳斯判据
5、。 解：列劳斯表 第一列元素变号两次，系统不稳定，有两个根具有正实部 。 b.b.劳斯表某行的第一项等于零，而本行中其余项不全为零劳斯表某行的第一项等于零，而本行中其余项不全为零 系统闭环极点： -1.8832 0.2071 + 0.9783i 0.2071 - 0.9783i -0.5310 *第三章 自动控制系统的时域分析 例3-6 系统的特征方程如下, 判断系统的稳定性。 解：列劳斯表 第1列各元中的上面和下面的系数符号 不变，故有一对虚轴上的根。临界稳定 将特征方程式分解，有 解得根为 劳斯表第一列劳斯表第一列 出现零元素系出现零元素系 统统一定一定不稳定不稳定 *第三章 自动控制系统
6、的时域分析 处理方法处理方法：利用全 0 行的上一行各元构造一个辅 助方程，以辅助方程的导函数的系数代替劳斯表 中的这个全 0 行，然后继续计算下去。这些大小 相等而关于原点对称的根可以通过求解这个辅助 方程得出。 c c. . 劳斯表的某一行所有元全为零劳斯表的某一行所有元全为零 这表明方程有一些大小相等且对称于原点的根。 例如 显然，系统是不稳定不稳定的。 *第三章 自动控制系统的时域分析 解：列劳斯表 用为零行的上一行构造辅助方程： 例3-7 系统的特征方程如下,试用劳斯判据判断系统 的稳定性。 劳斯表出现劳斯表出现 零行系统零行系统一一 定定不稳定不稳定！ *第三章 自动控制系统的时域
7、分析 用导函数的系数代替行为零元继续算下去，得劳斯表 结论：劳斯表第1列元素没变号，可 确定在S右半平面没有特征根。但由 于有为零行，表示在虚轴上有根。系 统临界稳定状态。 对辅助方程求导得：导函数为 系统极点： 0.0000 + 2.0000i 0.0000 - 2.0000i -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i 0.0000 + 1.4142i 0.0000 - 1.4142i *第三章 自动控制系统的时域分析 对称于原点的根还对称于原点的根还可以由辅助方程式求出。可以由辅助方程式求出。 辅助方程式为： 由之求得特征方程式虚根为 *第三章 自动控制系统的
8、时域分析 4. 胡尔维茨判据 系统的特征方程式的标准形式： 构造胡尔维茨行列式D *第三章 自动控制系统的时域分析 胡尔维茨稳定判据：特征方程式的全部根都在左半复 平面的充分必要条件是上述行列式D的各阶主子式均 大于0，即 与劳斯表中第1列的系数比较，存在如下关系： 若 均为正，则D1，D2，Dn自然也都为 正，反之亦然。可见劳斯稳定判据和胡尔维茨稳定判 据实质是一致的。 *第三章 自动控制系统的时域分析 胡尔维茨稳定判据的特点： 1、不必计算可直接写出D阵 、只能给出系统稳定与否的信息，而不能给出 系统特征根分布情况。 、当n 较大时，胡尔维茨判据计算量急剧增加， 所以它通常只用于 的系统。
9、 *第三章 自动控制系统的时域分析 系统的特征方程式： 上式根全部具有负实部的必要条件为 其根全部具有负实部的充分条件为 1976年中国学者聂义勇进一步证明，可将此充分条 件放宽为 此判据被称为谢绪恺判据。 谢绪恺判据完全避免了除法，且节省了计算量。 . 谢绪恺判据 *第三章 自动控制系统的时域分析 . 参数对稳定性的影响 应用代数稳定判椐可以用来判定系统是否 稳定，还可以方便地用于分析系统参数变化对 系统稳定性的影响，从而给出使系统稳定的参 数范围。 *第三章 自动控制系统的时域分析 例3-8 系统的闭环传递函数为。 式中，Kk为系统的开环放大系数。试求使得系 统闭环稳定时 Kk 的取值范围
10、 。 解：系统特征方程为 *第三章 自动控制系统的时域分析 列劳斯表，整理得系统稳定的充要条件是： 结论：将各时间常数的数值错开，可以允许较大的 开环放大系数。错开原则 *第三章 自动控制系统的时域分析 *第三章 自动控制系统的时域分析 7. 相对稳定性和稳定裕量 代数稳定判据只能给出 绝对稳定性 稳定还是不稳定 实际的系统希望知道距离稳定边界有多少余量 相对稳定性或稳定裕量的问题。 *第三章 自动控制系统的时域分析 利用代数稳定判据，以 代入系统特征 方程式，写出z 的多项 式，然后用代数判据判 定z 的多项式的根是否 都在新的虚轴的左侧。 方法： SZ *第三章 自动控制系统的时域分析 例
11、3-9 系统特征方程式为 可以看出，第一列中各项符号没有改变，所以 没有根在S平面的右侧，系统是稳定的。 劳斯表为 *第三章 自动控制系统的时域分析 新的特征方程为 列出劳斯表 由于第一列元素符号相同，表明在右半 平面没有根，但由于 z1 行的系数为零， 故有一对虚轴上的根。这说明，新系统 临界稳定，即原系统刚好有 的稳 定裕量。 检查上述系统是否有 裕量。 将 代入原特征方程式，得 *第三章 自动控制系统的时域分析 3.6 稳 态 误 差 什么是稳态误差？ 稳态误差是描述系统稳态性能的性能指标。 对于稳定的系统，暂态响应随时间的推移而衰减 ，若时间趋于无穷时，系统的输出量不等于输入 量或输入
12、量确定的函数，则系统存在稳态误差。 稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度 量。 给定稳态误差(由给定输入引起的稳态误差) 扰动稳态误差(由扰动输入引起的稳态误差) *第三章 自动控制系统的时域分析 （1）系统的控制目标系统的控制目标：输出跟踪输入、对扰动具有抗干扰能力。 （2）讨论系统稳态误差的前提讨论系统稳态误差的前提：系统是稳定的。 随动系统要求系统输出量以一定的精度跟随输入量的变化， 因而用给定稳态误差来衡量系统的稳态性能。系统的跟踪能力跟踪能力。 恒值系统需要分析输出量在扰动作用下所受到的影响，因而 用扰动稳态误差来衡量系统的稳态性能。系统的抗干扰能力。 *第三章 自动控制系统的
13、时域分析 扰动误差的拉氏变换： 扰动误差的传递函数： 扰动误差即为扰动产生的输出！1. 扰动稳态误差 -1 *第三章 自动控制系统的时域分析 根据终值定理，扰动作用下的稳态误差为： 可见扰动误差与 有关。 结论：扰动误差即为扰动产生的输出！ *第三章 自动控制系统的时域分析 当给定量 时， 以扰动量为输入量的系 统结构图如下图所示 ： 速度调节器 试分析扰动作用下，系统的稳态误差。 例3-10 速度负反馈系统 *第三章 自动控制系统的时域分析 在负载电流作用下转速误差的拉氏变换为 式中： 系统开环放大系数。 当负载为阶跃函数时， ，则转速的稳态误差为 由于系统在负载扰动下存在稳态误差，所以称为
14、有差系统。 *第三章 自动控制系统的时域分析 则速度误差的拉氏变换为 将上述调速系统中的 比例调节器换成积分调 节器，构成下图所示系 统。 式中: 结论：在开环传递函数中，串联积分环节，可以 消除阶跃扰动的稳定误差。 无差系 统 *第三章 自动控制系统的时域分析 2. 给定稳定误差和误差系数 从输入端定义 这个误差是可量测的，容易计算。 但是这个误差并不一定反映输出量 的实际值与期望值之间的偏差。 （1）误差的两种定义 *第三章 自动控制系统的时域分析 这种误差定义物理意义清楚，但 在实际系统中有时无法测量(主要 指理想输出) ，且不易计算。因 此只具有数学意义。 对于单位反馈系统，两种误差定
15、 义是相同的。 从输出端定义 非单位反馈系统两种定义误差之间的关系 请同学回去推导该结论！ *第三章 自动控制系统的时域分析 结论：系统稳态误差由开环传函和输入决定。 误差计算公式： （2）给定误差的计算 *第三章 自动控制系统的时域分析 式中： N开环传递函数中串联的积分环节的 阶次，或称系统的无差阶数。 W0 S=0时， W0必为 N = 0， 0型系统； N = 1，型系统； N = 2 ，型系统。 注意：N 越高，系统的稳定性 愈差。一般采用的是0 型、型和型系统。 开环传递函数可以表示为时间常数（尾）形式: *第三章 自动控制系统的时域分析 （3）典型输入情况下系统的给定稳态误差分析 稳态误差为 位置误差系数 单位阶跃函数输入 *第三章 自动控制系统的时域分析 0型系统，N = 0，则位置稳态误差系数 0型系统的位置稳态误差为 型以上系统， *第三章 自动控制系统的时域分析 单位斜坡函数输入 速度误差系数。 *第三章 自动控制系统的时域分析 各型系统在斜坡输入时的稳态误差为 *第三章 自动控制系统的时域分析 单位抛物线函数输入 加速度误差系数。 *第三章 自动控制系统的时域分析 单位抛物线函数输入 由此得各型系统在抛物线输入时的稳态误差为 加速度误差系数。 *第三章 自动控制系统的时域分析 误差系数与稳态误差之间的关系 1(t)t
