金融计量学 异方差和自相关解析

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1、1 第三章 异方差和自相关 2 本章要点 异方差的定义、产生原因及后果 异方差的检验方法 异方差的修正方法 自相关的产生原因 忽略自相关的严重后果 自相关的检验 自相关的修正 3 在前面的章节里我们已经完成了对经典正态线性 回归模型的讨论。但在实际中，经典线性回归模 型的基本假定经常是不能得到满足的，而若在此 状况下仍应用OLS进行回归，就会产生一系列的 问题，因此我们就需要采取不同的方法对基本假 定不满足的情况予以处理。 在本章中，我们将着重考虑假定2和假定3得不到 满足，即存在异方差和自相关情况下的处理办法 。 4 第一节 异方差的介绍 一、异方差的定义及产生原因 异方差(heterosc

2、edasticy)就是对同方差假设 (assumption of homoscedasticity)的违反。经典 回归中同方差是指随着样本观察点X的变化，线 性模型中随机误差项 的方差并不改变，保持为 常数，即 i=1,2,n (3.1) 如果的数值对不同的样本观察值各不相同，则称 随机误差项具有异方差，即 常数 i=1,2,n (3.2) 5 图3-1 异方差直观图 6 为什么会产生这种异方差性呢？ 一方面是因为随机误差项包括了测量误差和模型 中被省略的一些因素对因变量的影响，另一方面 来自不同抽样单元的因变量观察值之间可能差别 很大。因此，异方差性多出现在横截面样本之中 。至于时间序列，则

3、由于因变量观察值来自不同 时期的同一样本单元，通常因变量的不同观察值 之间的差别不是很大，所以异方差性一般不明显 。 7 二、异方差的后果 一旦随机误差项违反同方差假设，即具有异方差 性，如果仍然用OLS进行参数估计，将会产生什 么样的后果呢？ 结论就是，OLS估计量的线性和无偏性都不会受 到影响，但不再具备最优性，即在所有线性无偏 估计值中我们得出的估计值的方差并非是最小的 。 所以，当回归模型中随机项具有异方差性时， OLS法已不再适用。 8 第二节 异方差的检验 由于异方差的存在会导致OLS估计量的最佳性丧 失，降低精确度。所以，对所取得的样本数据（ 尤其是横截面数据）判断是否存在异方差

4、，是我 们在进行正确回归分析之前要考虑的事情。异方 差的检验主要有图示法和解析法，下面我们将介 绍几种常用的检验方法。 9 一、图示法 图示法是检验异方差的一种直观方法，通常有下 列两种思路： （一）因变量y与解释变量x的散点图：若随着x 的增加，图中散点分布的区域逐渐变宽或变窄， 或出现了偏离带状区域的复杂变化，则随机项可 能出现了异方差。 （二）残差图。残差图即残差平方 （ 的估计值 ）与x的散点图，或者在有多个解释变量时可作 残差 与y的散点图或残差 和可能与异方差有关 的x的散点图。具体做法：先在同方差的假设下 对原模型应用OLS法，求出和残差平方 ，再绘 制残差图（ ， ）。 10

5、二、解析法 检验异方差的解析方法的共同思想是，由于不同 的观察值随机误差项具有不同的方差，因此检验 异方差的主要问题是判断随机误差项的方差与解 释变量之间的相关性，下列这些方法都是围绕这 个思路，通过建立不同的模型和验判标准来检验 异方差。 11 （一）Goldfeld-Quandt检验法 Goldfeld-Quandt检验法是由S.M.Goldfeld和 R.E.Quandt于1965年提出的。这种检验方法以F检 验为基础，适用于大样本情形（n30），并且要求 满足条件：观测值的数目至少是参数的二倍；随机 项没有自相关并且服从正态分布。 统计假设：零假设 ： 是同方差（i=1,2,n） 备择

6、假设 ： 具有异方差 12 Goldfeld-Quandt检验法涉及对两个最小二乘回归 直线的计算，一个回归直线采用我们认为随机项 方差较小的数据，另一个采用我们认为随机项方 差较大的数据。如果各回归直线残差的方差大致 相等，则不能拒绝同方差的原假设，但是如果残 差的方差增加很多，就可能拒绝原假设。步骤为 ： 13 第一步，处理观测值。 将某个解释变量的观测值按由小到大的 顺序排列，然后将居中的d项观测数据除 去，其中d的大小可以选择，比如取样本 容量的1/4。再将剩余的（n-d）个数据 分为数目相等的二组。 14 第二步，建立回归方程求残差平方和。 拟合两个回归模型，第一个是关于较小x值 的

7、那部分数据，第二个是关于较大x值的那 部分数据。每一个回归模型都有(n-d)/2个 数据以及(n-d)/2-2的自由度。d必须足够 小以保证有足够的自由度，从而能够对每 一个回归模型进行适当的估计。 对每一个回归模型，计算残差平方和：记 值较小的一组子样本的残差平方和为 = ， 值较大的一组子样本的残差平 方和为 = 。 15 第三步，建立统计量。 用所得出的两个子样本的残差平方和构成F统 计量： 若零假设为真，则上式中n为样本容量（观测值 总数），d为被去掉的观测值数目，k为模型中自 变量的个数。 16 第四步，得出结论。 假设随机项服从正态分布（并且不存在序列相 关），则统计量 / 将服从

8、分子自由度和分 母自由度均为（ ）的F分布。 对于给定的显著性水平，如果统计量的值大于上 述F分布的临界值，我们就拒绝原假设,认为残差 具有异方差性。否则，就不能拒绝原假设。 17 （二）Spearman rank correlation 检验法 首先引入定义Spearman的等级检验系数： 其中 表示第i个单元或现象的两种不同特性所处 的等级之差，而n表示带有级别的单元或现象的 个数。 在这里，我们假设模型为： 18 第一步，运用OLS法对原方程进行回归，计算残 差 ，i=1，2n。 第二步，计算Spearman等级相关系数。将 和解 释变量观察值 按从小到大或从大到小的顺序分 成等级。等级

9、的大小可以人为规定，一般取大小 顺序中的序号。如有两个值相等，则规定这个值 的等级取相继等级的算术平均值。 然后，计算 与 的等级差 ， 的等级 的 等级。最后根据公式计算Spearman等级相关系数 。 19 第三步，对总体等级相关系数 进行显著性检验 ： 0， ： 0。样本 的显著性可通过t检验 按下述方法加以检验： t 对给定的显著水平 ，查t分布表得 的值 ，若 ，表明样本数据异方差性显著， 否则，认为不存在异方差性。 对于多元回归模型，可分别计算 与每个解释变 量的等级相关系数，再分别进行上述检验。 20 （三）Park检验法 Park检验法就是将残差图法公式化，提出 是解 释变量

10、的某个函数，然后通过检验这个函数形 式是否显著，来判定是否具有异方差性及其异方 差性的函数结构。该方法的主要步骤如下： 第一步，建立被解释变量y对所有解释变量x的回 归方程，然后计算残差 （i=1,2,n） 第二步，取异方差结构的函数形式为 ，其中， 和 是两个未知参数， 是随机变量。 写成对数形式则为： 。 21 第三步，建立方差结构回归模型，同时用 来代 替 ，即 。对此模型运 用OLS法。对 进行t检验，如果不显著，则没 有异方差性。否则表明存在异方差。 Park检验法的优点是不但能确定有无异方差性 ，而且还能给出异方差性的具体函数形式。但也 有质疑，认为 仍可能有异方差性，因而结果的

11、真实性要受到影响。 22 （四）Glejser检验法 这种方法类似于Park检验。首先从OLS回归取得 残差 之后，用 的绝对值对被认为与 密切 相关的X变量作回归。 有如下几种函数形式（其中 是误差项）： 23 Glejser检验方法的优点是允许在更大的范围内寻 找异方差性的结构函数。缺点是难于确定 的适 当的幂次，这往往需要进行大量的计算。从实际 方面考虑，该方法可用于大样本，而在小样本中 ，则仅可作为异方差摸索的一种定性技巧。 24 （五）Breusch-Pagan检验法 该方法的基本思想是构造残差平方序列与解释变 量之间的辅助函数，得到回归平方和ESS，从而 判断异方差性存在的显著性。

12、 设模型为： （3.7） 并且 （3.8） 在式（3.8）中 表示是某个解释变量或全部 。 25 提出原假设为 ， 具体步骤如下： 第一步，用OLS方法估计式（3.7）中的未知参数 ，得 （3.9） 和 （n为样本容量） （3.10） 第二步，构造辅助回归函数 （3.11） 式中 为随机误差项。 26 第三步，用OLS方法估计式（3.11）中的未知参 数，计算解释的平方和ESS，可以证明当有同方 差性，且n无限增大时有 第四步，对于给定显著性水平 ，查 分 布表得 ，比较 与 ，如果 ，则拒绝原假设，表明模型中存 在异方差。 27 （六）White检验 White检验的提出避免了Breusch

13、-Pagan检验一 定要已知随机误差的方差产生的原因，并且要求 随机误差服从正态分布。White检验与Breusch- Pagan检验很相似，但它不需要关于异方差的任 何先验知识，只要求在大样本的情况下。 下面是White检验的基本步骤： 设二元线性回归模型为 （3.12） 28 异方差与解释变量的一般线性关系为 第一步，用OLS法估计式3.3的参数 。 第二步，计算残差序列 和 。 第三步，求 对 ， ， ， ， 的线性回 归估计式，即构造辅助回归函数。 第四步，计算统计量 ，其中n为样本容量， 为辅助回归函数中的决定系数。 29 第五步，在的 原假设下， 服从自由度为5的 分布，给定显著性

14、水平 ， 查分布表得临界值 ，比较 与 ，如 果前者大于后者，则拒绝原假设，表明式（3.12 ）中随机误差存在异方差。 此外，由于金融问题研究中经常需要处理时间序 列数据，当存在异方差性的时候，可考虑用 ARCH方法检验。检验异方差的方法多种多样， 可以根据所研究问题的需要加以选择，也可以同 时选择不同的方法，对检验结果进行分析比较， 以求得出更准确的结论。 30 第三节 异方差的修正 异方差性虽然不损坏OLS估计量的无偏性和一致 性，但却使它们不再是有效的，甚至不是渐近（ 即在大样本中）有效的。参数的显著性检验失效 ，降低了预测精度。故而直接运用普通最小二乘 法进行估计不再是恰当的，需要采取相应的修正 补救办法以克服异方差的不利影响。 其基本思路是变异方差为同方差，或者尽量缓解 方差变异的程度。 在这里，我们将会遇到的情形分为两种：当误差 项方差为已知和当为未知。 31 一、当为 已知：加权最小二乘法 （weighted least squares,WLS 在同方差的假定下，对不同的 ， 偏离均 值的程度相同，取相同权数的做法是合理的。 但在异方差情况下，则是显而易见的错误，因 为的 方差在不同的 上是不同的。比如在 递增异方差中，对应于较大的x值的估计值的 偏差就比较大，残差所反映的信息应打折扣； 而对于较小的x值，偏差较小，应给予重视。 32 所以在这里我们的