《高中数学知识要点重温（二十一）排列组合及二项式定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学知识要点重温（二十一）排列组合及二项式定理（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高中数学知识要点重温（21）排列组合及二项式定理1. 熟悉排列数、组合数的计算公式；了解排列数、组合数的一些性质：，由此可得：，为相应的数列求和创造了条件；，由此得：；举例 =_解析：原式=；记，数列的前19项和即为所求。记数列的前项和为；该数列的求和办法有很多种，但都比较烦琐，这里介绍用组合数性质求解：注意到=，=1330；巩固1设且，则等于（）（A）（B）（C）（D）巩固2 已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则n=_2解排列组合应用题首先要明确需要完成的事件是什么；其次要辨析完成该事件的过程：分类相加（每一类方法都能独立地完成这件事），分步相乘（每一步都不能完
2、成事件，只有各个步骤都完成了，才能完成事件）；较为复杂的事件往往既要分类，又要分步（每一类办法又都需分步实施）；分类讨论是研究排列组合问题的重要思想方法之一，分类时要选定讨论对象、确保不重不漏。举例 设集合I=1,2,3,4,5，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中的最大数，则不同的选择方法共有：（ ）种A50种 B49种 C48种 D47种解析：本题要完成的事件是：构造集合I的两个非空子集；要求：B中最小的数大于A中的最大数；显然B中的最小数不可能是1，以下分类： B中的最小数是2，B中可以有2，3，4，5中的1个元素、2个元素、3个元素或4个元素，所有可能的情况有：=8种，
3、此时A只有1这1种；集合A、B都确定了，才算完成事件，完成事件有81=8中方法； B中的最小数是3，B中可以有3，4，5中的1个元素、2个元素或3个元素，所有可能的情况有：=4种，此时A中可以有1，2中的有1个元素或2个元素，有=3种，完成事件有43=12种方法； B中的最小数是4，B中可以有4，5中的1个元素或2个元素，所有可能的情况有2种，此时A中可以有1，2，3中的有1个元素、2个元素或3个元素，有=7种，完成事件有27=14种方法； B中的最小数是5，只有5这1种，此时A中可以有1，2，3，4中的有1个元素、2个元素、3个元素或4个元素，有=15种，完成事件有115=15种方法；故完成
4、事件的方法总数为：8+12+14+15=49，选B。巩固从集合O，P，Q，R，S与0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中各任选2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)每排中字母O，Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_(用数字作答)3对“按某种要求将个元素排到个位置”的问题，首先要确定研究的“抓手”：抓住元素还是抓住位置研究；再按特殊元素（特殊位置）优先的原则进行。举例 从5位同学中选派4位同学在星期四到星期日参加公益活动，每人一天，其中甲不能安排在星期六，乙不能安排在星期天，则不同的选派方法共有 种。解析：本题要完成的事件是：从5个不同的元素中选出4个元素，并按要求排在四个不同的位置
5、。本题不宜抓住元素研究，因为每一个元素都不一定被选到，而每一个位置上都一定要有一个元素，故应该抓住位置研究。先看星期六（特殊位置，优先）：不能安排甲，可以安排乙（特殊元素，优先）或除甲乙之外的一个同学，安排乙：其它位置可任意安排，有种，不安排乙：可以安排其他三位同学，星期日可以安排甲或另外两个同学，星期四、五可任意安排，有 种，故不同的选派方法共有：+=78种。巩固四个不同的小球全部放入编号为1、2、3、4的四个盒中。（1）恰有两个空盒的放法有 种；（2）甲球只能放入2号或3好盒，而乙球不能放入4号盒的不同放法有 种。4解决排列组合问题还要遵循“先选后排”、“正难则反”（即去杂法）等原则；举例
6、某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“”到“”共个号码公司规定：凡卡号的后四位带有数字“”或“”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ）（福建文科第12题）解析：直接考虑带有数字“”或“”的情况太多，逐一讨论非常麻烦；考虑事件的反面：后四位不带有数字“”或“”的，有84个，故“优惠卡”的个数为104-84=。巩固四位同学乘坐一列有6节车厢的动车组，则他们至少有两人在同一节车厢的的情况共有 种？(用数字作答)5熟悉几个排列组合问题的基本模型：部分元素“相邻”（捆绑法），部分元素“不相邻”（用要求“不相邻”的元素插空），部分元素有顺序（个元素全排，其中个元素要求
7、按给定顺序排列的方法数为=），平均分组（个元素平均分成组的方法数为），相同元素分组（用“挡板法”）等。举例1某校安排6个班到3个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有种。解析：先将6个班分成3组，在将3个组分到3个工厂。6个班分成3组，从每组的人数看有3类：4，1，1，有种；3，2，1，有种，2，2，2，有种；故不同的安排方法共有：（+）=540种。举例2某文艺小分队到一个敬老院演出，原定6个节目，后应老人们的要求决定增加3个节目，但原来六个节目的顺序不变，且新增的3个既不在开头也不在结尾，则这台演出共有 种不同的演出顺序。解析：思路一：着眼于“位置”。
8、从9个“位置”中选出6个，安排原来的6个节目，且第1和第9两个位置必须选，而他们的顺序是既定的，无需排列，所以有种方法，剩下的3个位置安排新增的3个节目，有种方法；故所有不同的演出顺序有：=210种。思路二：在原有6个节目的基础上“插空”。原来6个节目形成7个“空”，但前后两“空”不能安排，共有3类情况：新增的3个节目互不相邻，有种方法；新增的3个节目恰有两个相邻，有种方法；新增的3个节目相邻，有5种方法，故所有不同的演出顺序有：+5=210种。巩固1记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（） （07高考北京理科第5题）1440种96
9、0种720种480种巩固2学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩89，90，91，92，93（=1，2，3，4）且满足，则这四为同学考试成绩所有可能的情况有 种。巩固3现有10个市级“三好生”名额分配给高三八个班级，每班至少1个，则有 种不同的分配方案。6“抽象化归”是解决排列组合问题的“太极拳”，“逐一列举”是解决排列组合问题的“撒手锏”；有时，画“树状图”能使“逐一列举”变得更加简明、直观。举例1已知两个实数集合A=a1,a2,a100,B=b1,b2, ,b50,若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f( a1)f(a2)f(a100),这样的映射共有 个。(用符号作答)。解析
10、：本题直接考虑集合A中每一个元素在B中的象的情况非常困难。注意到集合B中每个元素都有原象，即A中有50“组”元素分别与B中的50个元素对应；现将集合A中的100个元素按原有的顺序分成50组，每组至少一个元素；将集合B中的元素按从小到大的顺序排列为B=b1/,b2/, ,b50/；f( a1)f(a2)f(a100)，A中的“第1组”元素的象为b1/，“第2组”元素的象为b2/，“第50组”元素的象为b50/，此处没有排列的问题，即只要A中元素的分组确定了，映射也就随之确定了；而A中元素的分组可视为在由这100个元素所形成的99个“空”中插上49块“挡板”，所以有种分法，即映射共有个。a1a2a
11、3a4a5举例2一个同心圆形花坛分为两个部分，如右图，中间小圆部分种植草坪，周围的圆环分成5等份为a1,a2,a3,a4,a5,种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，则不同的种植的方法为 种。红黄蓝红蓝黄蓝红黄蓝黄蓝黄蓝a1a2a3a4a5解析：本题解法甚多，这里介绍画“树状图”列举法。在右图中，区域a1种红花，a2种黄花时共有5种不同的种植方法；而区域a2种蓝花与种黄花情况相同，区域a1种蓝花、黄花与种红花情况相同；故所有不同的种植的方法为：325=30种巩固1显示屏有一排7个小孔，每个小孔可显示0或1，若每次显示其中3个孔，但相邻的两孔不能同时显示，则该显示屏能显示信
12、号的种数共有（ ）种A10 B48 C60 D80巩固2 函数f:1,2,31,2,3满足f(f(x)= f(x)，则这样的函数个数共有（ ）(A)1个 (B)4个 (C)8个 (D)10个7二项式定理的核心是展开式的通项，Tr+1=an-rbr(通项是展开式的第r+1项), r=0,1,2n ，二项展开式共有n+1项。展开式的通项中根式宜用分数指数表示。审题是要注意所求的是“项”还是“第几项”还是“项的系数”。举例的展开式中常数项为 （07高考全国卷理科第13题）解析：先求的展开式中常数项以及含x -2的项；=由8-2r=0得r=4, 由8-2r=-2得r=5；即的展开式中常数项为，含x -
13、2的项为；的展开式中常数项为-2=巩固 若的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于 。(07高考安徽理科第12题)迁移f(x)=(x+1)n，且f (x)展成关于x的多项式后x2的系数为60，则n= （ ）A7 B6 C5 D48注意辨析“系数”与“二项式系数”的区别；二项式系数和=2n，其中奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和=2n-1，二项式系数先增后减，并关于中间项“对称”，二项展开式中，中间项二项式系数最大；求二项展开式中系数绝对值最大的项，用“夹逼法”。举例若展开式中奇数二项式系数和为8192，则展开式中系数最大的项为 。解析：=8192得=14，则，由于展开式中各项系数正负
14、相间，故先求其展开式中系数绝对值最大的项，记为第+1项，于是有： ， ；由解得：45；又=5时系数为负，=4，即展开式中系数最大的项为。巩固若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）（07高考重庆理科第4题）A10 B20 C30 D1209.研究多项式的“系数和”一般用“赋值法”。若多项式=a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn，则展开式中所有项的系数和=f(1)，其中奇数项的系数和=，偶数项的系数和=；展开式中的常数项=f(0)。举例设(1+2x)2(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a7x7,则a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7= .解析：令x=1得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=0 令x= -1得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=32 由解得：a0 +a2 +a4 +a6=16，a1+ a3+ a5+a7= -16，在令x=0
