信号参数与估计讲解

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1、信号处理的根本任务是要提取有用的信息，有 用信息是通过检测、估计的方法对信号进行处 理后提取出来的，所以、检测、估计的信号处 理方法是信号处理技术的理论基础，它的应用 领域十分广泛。 声纳系统-利用声波信号确定船只的位置 图象处理-使用红外检测是否有飞机出现 图象分析-根据照相机的图象估计目标的位置 和方向，用机器人抓目标时是必须的 生物医学-估计胎儿的心率 控制-估计汽艇的位置，以便采用正确的导航 行为，如Loran系统 地震学-检测地下是否有油田，并根据油层和 岩层的密度，根据声反射来估计油田的地下距离。 所有这些问题都有一个共同的特点，那就是从含 有噪声的数据集中去提取我们所需要的有用信

2、息 ，这些有用信息可能是“目标出现与否”、“数 字源发射的是0还是1”或者“目标的距离”、“ 目标的方位”，或”目标的速度”等，由于噪声 固有的随机性，因此，有用信息的提取必须采用 统计的方法，这些统计方法的基础就是检测理论 与估计理论，就是本课程后续章节学习的内容。 5.1 估计的基本概念 5.2 贝叶斯估计：已知代价函数及先验概率，使估计付出的平均代价最小 5.3 最大似然估计：使似然函数最大 5.4 估计量的性能 5.5 线性最小均方估计：已知估计量的一、二阶矩,使均方误差最小的 线性估计 5.6 最小二乘估计：观测与估计偏差的平方和最小 5.7 波形估计 估计问题通常是以下三种情况：

3、n 根据观测样本直接对观测样本的各类统计特性作出估计； n 根据观测样本，对观测样本中的信号中的未知的待定参量 作出估计，称为信号的参量估计问题，又分为点估计和区间 估计； n 根据观测样本对随时间变化的信号作出波形估计，又称为 过程估计。 信源s() P() 混合 P(n) n 估计规则 估计 () z 观测空间 信号参量估计的统计推断模型 估计问题基本要素 概率传递机制 估计准则 1、贝叶斯估计 在已知代价函数及先验概率基础上，使估计付出的平均 代价最小。 设观测值为z，待估参量为。 估计误差： 设代价函数： 贝叶斯估计准则： 条件平均代价 统计平均代价： 等价于使下式最小： 2、典型代价

4、函数及贝叶斯估计 平方代价 ： 绝对值代价 ： 均匀代价： 最小均方估计(Minimal Square) 对 求导数，并使其等于零： 得： 即 ，也称为条件均值估计。 平方代价 ： 条件中位数估计(Median) 对 求导数，并使其等于零，得： 可见，估计为条件概率密度 的中位数。 绝对值代价 ： 最大后验概率估计(maximal posterior probability) 应当选择 ，使它处在后验概率 的最大处。 最大后验概率方程： 或 均匀代价： 由关系式： 两边取对数并对求导，得最大后验概率方程的另一形式： 例1设观测为 ，其中被估计量A在-A0,A0上均匀分布, 测量噪声vN(0,

5、)，求A的最大后验概率估计和最小均方估计 。 例2 高斯白噪声中的直流电平估计-高斯先验分布。设有N次独立 观测zi=A+vi,i=1,2,.N，其中vN(0, )，A ，求 A的估计。 习题：7.3、7.6 由最大后验概率估计 若先验概率密度函数 未知，则由左边第一项求解 参量，即最大似然估计，用 表示。最大似然方程为 ： 1、最大似然估计 (Maximum Likelihood Estimate) 例1、高斯白噪声中的直流电平估计-未知参数。设有N次 独立观测zi=A+vi ，i=1,2,.N，其中viN(0,2)，A为未知 参数，2已知，求A的最大似然估计。 例2、设有N次独立观测zi=

6、vi ，i=1,2,.N，其中 viN(0,2)，求2 的最大似然估计。 例3、高斯白噪声中的直流电平估计-未知参数与未知方 差。设有N次独立观测zi=A+vi ，i=1,2,.N，其中 vN(0,2)，2、A均为未知参数，求A和2的最大似然估 计。 =A 2T 1、估计量的性能标准 无偏性 如果估计量的均值等于非随机参量或等于随机参量的均 值，则称估计量具有无偏性。即满足： 对于确定量，有： 对于随机量，有： 有效性 对于无偏估计，如果估计的方差越小，表明估计量的取 值越集中于真值附近，估计的性能越好。 对于有偏估计，尽管估计的方差很小，但估 计的误差可能仍然很大。 有效性 对于无偏估计，如

7、果估计的方差越小，表明估计量的取 值越集中于真值附近，估计的性能越好。 用估计的方差还不能准确地描述估计的性能，所以我们可 以用均方误差作为评价估计量性能的一个指标。 一致性 即对于任意小数，若有： 则估计量 为一致估计量。 若满足 则称 为均方一致估计量。 例1、高斯白噪声中的直流电平估计-未知参数。设有N次 独立观测zi=A+vi ，i=1,2,.N，其中viN(0,2)，2已知 。 2、克拉美罗限(Cramer-Rao Low bound) 无偏估计量的估计方差的最小值 非随机参量 任何无偏估计量的方差满足 等号成立的条件 ： 克拉美-罗限 2、克拉美罗限(Cramer-Rao boun

8、d) 如果一个无偏估计，它的方差达到CRLB，那么，这个估计必 定是最大似然估计。这时最大似然估计是最好的。但如果不 存在达到CRLB的估计，最大似然估计就不一定是最好的估计 。 例2、高斯白噪声中的DC电平。DC电平的最大似然估计的方 差是否达到CRLB？它的估计方差是多少？ 2、克拉美罗限(Cramer-Rao Low bound) 无偏估计量的估计方差的最小值 随机参量 任何无偏估计量的均方误差满足 等号成立的条件 ： 克拉美-罗限 2、克拉美罗限(Cramer-Rao Low bound) 无偏估计量的估计方差的最小值 随机参量 如果有某个无偏估计达到CRLB,那么该估计必定是最大后验

9、概率 估计.而最小均方估计的均方误差也是最小的,所以这时最小均 方估计与最大后验概率估计等价. 例2 高斯白噪声中的直流电平估计-高斯先验分布。设有N次独立 观测zi=A+vi,i=1,2,.N，其中vN(0, )，A ，求 A的估计的CRLB。 1、线性最小均方估计(linear minimum mean square error estimation) 前提：不知道 ，知道 的一、二阶矩特性 准则：使均方误差最小的线性估计 实现： 选择适当的系数ai及b，使估计均方误差最小。 正交条件 正交条件是信号最佳线性滤波和估计算法的基础，在随机 信号处理中占有十分重要的地位。 性能分析： 线性最小

10、均方估计为无偏估计，即有： 线性最小均方估计的均方误差等于误差与被估计量乘 积的统计均值，即： 其中： 例1、设观测模型为zi=s+vi ，i=1,2,，其中随机参量s以等 概率取-2,-1,0,1,2诸值，噪声干扰vi以等概率取-1,0,1诸 值，且Esvi=0， ，试根据一次、二次、三 次观测数据求参量s的线性最小均方估计。 1、最小二乘估计（Least square estimation） 前提：适用于线性观测模型； 不规定估计的概率或统计描述； 需要关于被估计量的观测信号模型 ; 准则：使观测与估计偏差的平方和最小。 假定观测模型为线性，即观测数据zk与参量1， 2， M之间服从： 其

11、中hk1，hk2，hkM为已知常系数。 将观测方程用矢量及矩阵表示： 最小二乘估计是使观测与估计偏差的平方和最小，即： 最小二乘估计为： 加权最小二乘估计为： 性能分析： 对于线性观测模型，最小二乘估计是线性估计，对测量 噪声的统计特性无任何假设，应用十分广泛； 若噪声均值为零，最小二乘估计为无偏估计，即有： 性能分析： 最小二乘估计的均方误差为： 对于加权最小二乘估计，如果有一些模型的知识，如 E(v)=0， ，当 时，估计误差的方 差阵达到最小，这个最小的方差阵为： 例1、观测数据为： 其中a为待估参量，nk为观测噪声，求a的最小二乘估计 。 例2、根据以下对二维矢量 的两次观测， 求 的

12、线性最小二乘估计。 最小二乘估计在目标跟踪中的应用 匀速直线运动的观测模型： 习题：7.26,7.31 1、波形估计 参量估计适用于非时变参量，无法解决时变参量估计问 题。 关于时变参量甚至时变信号本身的估计称为时变信号估 计或波形估计，因此波形估计又称过程估计。 波形估计其实质就是给定有用信号和加性噪声的混合波 形，寻求一种线性运算作用于此混合波形，使信号与噪声 实现最佳分离，最佳的含义是使估计的均方误差最小，故 又称为最佳线性滤波理论。 波形估计通常分为滤波、平滑、预测三种基本估计。 滤波： 根据当前和过去的观测值z(k),k= n0, n0+1,.,n对 信号s(n)进行估计(Filte

13、ring)； 预测: 根据当前和过去的观测值z(k),k= n0, n0+1,.,nf对未 来时刻n(nnf)的信号s(n)进行估计，预测也称为外推； (Prediction) 根据某一区间的观测数据z(k),k= n0,n0+1,.,nf对区间内的 某一个时刻n(n0nnf)的信号进行估计，内插也称为平滑。 (Smoothing)。 2、维纳滤波 线性最小均方估计是观测的线性函数，它可以看作为 观测序列通过离散时间线性系统，即 Wiener-Hopf方程 滤波器系数的选择： 正交原理 假定信号和观测过程是平稳随机序列，并且是联合平稳随机序列 ，系统为因果的线性时不变离散时间线性系统 维纳滤波

14、器 信号s(n)与观测噪声统计独立时，维纳滤波器为： 观测为白噪声时，维纳滤波器为： 维纳滤波和卡尔曼滤波是实现从噪声中提取信号，完成信 号波形估计的两种线性最佳估计方法。 维纳滤波需要设计维纳滤波器，它的求解要求知道随机信 号的统计特性，即相关函数或功率谱密度。当信号的功率谱为有 理谱时，采用谱分解的方法求解滤波器的系统函数，简单易行， 物理概念清楚，具有一定的工程实用价值，但当功率谱变化时， 却不能进行实时处理。维纳滤波的限制是：它仅实用于一维平稳 随机信号。 20世纪50年代，为了解决多输入、多输出非平稳随机信 号的估计问题，卡尔曼于60年采用状态方程和观测方程描述系统 的信号模型，提出离散状态估计的一组递推公式，即卡尔曼滤波 器公式。由于卡尔曼滤波采用的递推算法非常适合计算机处理， 广泛应用于许多领域。