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1、数学模型与数学建模主要内容n1.什么是数学模型？1.1基本概念1.2特点和分类n2.如何数学建模？2.1方法和步骤2.2示例n3.为什么数学建模？3.1现实意义3.2个人收获21.什么是数学模型？n数学n模型n数学模型3自然离不开数学1、圆形蜘蛛网是一个简单漂亮的数学创造2、蜂巢消耗最少的材料和最少的“工时”巴黎科学院院士、瑞士数学家克尼格3、在矿物结构中，可以找到许多更为奇妙的空间图形4问题应用来自数学的贡献核磁共振成像技术(MRI)计算机辅助成像(CAT)积分几何空中交通管制控制论期权定价Black-Scholes期权模型和MonteCarlo模拟全局勘察、信号处理、图象处理、数据采掘应急
2、用储备物资的管理运筹学、最优化理论复杂网络的稳定性逻辑、计算机科学、组合学机密和完整性数论、密码学组合学大气和海洋的建模小波、统计学、数值分析敏捷制造、自动制造、可视化、机器人过程质量控制中的几何学、控制论设计和训练模拟、建模、离散数学人类基因组分析数据采掘、模式识别、算法合理的药物设计数据采掘、组合学、统计学Seiberg-Witten方程(弦论)几何学宇宙数据的解释数据采掘、建模、奇点理论复合材料的设计系统控制论、计算、偏微分方程地震的分析和预测过程控制中的统计学动力系统湍流建模社会离不开数学5宇宙之大，粒子之微，火箭之速，华工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在，凡是有“量”
3、和“形”的地方就少不了用数学，研究量（或形）的关系、量（或形）的变化、量（或形）的变化关系、量（或形）的关系的变化等问题都离不开数学作为语言工具。著名数学家华罗庚任何应用问题，一旦建立起了数学的模型，就会立即显现出解决问题的清晰途径和通向胜利的一线曙光。马克思教导我们：一门学科只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步！6玩具、照片、飞机、火箭模型实物模型我们常见的模型7玩具、照片、飞机、火箭模型实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机物理模型我们常见的模型地图、电路图、分子结构图符号模型8玩具、照片、飞机、火箭模型实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机物理模型地图、电路图、分子结构图符号模型模型是为了
4、一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物，集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。我们常见的模型9模型物质模型（形象模型）理想模型（抽象模型）直观模型物理模型思维模型符号模型数学模型模型的分类10“1”是最简单的数学模型。那些我们所熟知的数学模型设水池的总容量为1。两台抽水机同时工作所需要时间为例两台不同功率的抽水机向一个大水池中注水。如果第一台抽水机单独工作，4小时可以将水池注满；如果第二台抽水机单独工作，6小时可以将水池注满。现在由两台抽水机同时工作，需要多长时间注满水池？（小时）11弧度制是对对角大小的另一种度量方式，弧度制的基本原理与平面相似形有关。1扇形相似
5、于扇形因此，可以用扇形弧长与半径之比来确定圆心角。比如，当扇形的弧长长与半径之比为为时时，对应对应的圆圆心角是直角；时时，对应对应的圆圆心角是平角（扇形刚刚好是半圆圆）.当扇形的弧长长与半径之比为为弧度制的主要特点是只用数就可以表示角的大小，并不需要在弧度值的后面再加量纲（名数）。引入角的弧度制实际上是数学建模的过程，这种数学模型恰是关于几何图形的数学模型。12方程是表现等量关系的数学模型那些我们所熟知的数学模型例一百匹马，一百块瓦，大马驮仨，小马驮俩，马仔俩驮一块。问大马、小马、马仔各几何。解设大马，小马，马仔分别为匹，应有分别消去和可得这是一个不完全方程组的求整数解问题丢番图问题。13“点
6、”、“面”、“线”抽象化的数学模型那些我们所熟知的数学模型1726年，瑞士数学家欧拉（17011783）受聘于沙俄科学院，后来出任数学部主任。1736年秋天，欧拉收到来自东普鲁士首都哥尼斯堡（今属奥地利）的一封信，哥尼斯堡大学的学生在来信中向他请教的是下面一个问题。布勒格尔河横穿市区，哥尼斯堡大学的校园就坐落于新旧河道交汇处。校园附近有一个小岛，七座小桥分别连通着河岸、小岛和半岛。傍晚前后，学生们三三两两地散步于小岛上与河岸边。有人突发奇想，能不能在一个晚上走遍这七座桥而每座桥又都只通过一次呢？哥尼斯堡七桥问题14店主桥铁匠桥木桥绿桥“馋嘴”吉布莱茨桥高桥蜜桥内福夫岛普雷盖尔河新河道旧河道哥尼
7、斯堡是条顿骑士在1380年建立的，作为日耳曼势力最东端的前哨达四百年之久。第二次世界大战以后，他被更名为加里宁格勒，成为前苏联最大的海军基地。今天，哥尼斯堡位于立陶宛与波兰之间，加里宁格勒现仍属俄罗斯。15CDBA作为一笔画过程，应该只有一个起点和一个终点，并且起点和终点应该是奇节点，而其它点都是通过点，并只能是偶节点欧拉在草纸纸上勾画出示意图图。在他看来，问题问题是否有可行的方案，与岛岛、半岛岛的大小无关，也与河岸上桥头的间隔及小桥的长度无关。因而不妨将半岛、两侧河岸和小岛都缩为一点，将各个小桥代之以线。现在的问题是，能否用一只铅笔从“结点”A、B、C、D之中的某一点开始，不抬笔地连续描完每
8、一条线而不出现线路重复呢？类似这样的问题，后来被统称为“一笔画”问题。图中四个节点A、B、C、D都是奇节点。所以，这是一个不可行的一笔画问题。16什么是数学模型、数学建模n一般地说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学模型数学建模建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）17数学模型的分类数学模型的分类分类标准分类标准具体类别具体类别对某个实际问题了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中变量的特征连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机型模型等建模中所用的数学
9、方法初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型等研究课题的实际范畴人口模型、生态系统模型、交通流模型、经济模型、基因模型等182.如何数学建模？19你碰到过的数学模型“航行问题”用x表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小时20千米小时.甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少x=20y=5求解20航行问题建立数学模型的基本步骤作出必要的简化假设（船速、水速为常数）；用符号表示有关量（xy表示船速和水速）；用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；求解得到数学解答（x=20y=5）；回答原问题（船
10、速每小时20千米小时）；21验证上述结果（用实际现象进行验证）。几个数学建模示例22例1椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析模型假设通常三只脚着地放稳四只脚着地四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形地面高度连续变化，任何方向都不会出现间断，即地面可视为数学上的连续曲面地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。23椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性xBADCODCBA用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置四只脚着地距离是的函数四个距离(四只脚)AC两脚与地面距离之和f()BD两脚与地面距离之和g()两个距离椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转正方形对称性用数学语言把椅子位
11、置和四只脚着地的关系表示出来模型构成24用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f()g()是连续函数对任意f()g()至少一个为0数学问题已知：f()g()是连续函数对任意，f()g()=0且g(0)=0，f(0)0.证明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型构成地面为连续曲面椅子在任意位置至少三只脚着地25模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)0，知f(2)=0g(2)0.令h()=f()g()则h(0)0和h(2)0.由fg的连续性知h为连续函数据连续函数的基本性质必存在0使h(0)=0即f(0)=g(0).因为f()
12、g()=0所以f(0)=g(0)=0.评注和思考建模的关键假设条件的本质与非本质考察四脚呈长方形的椅子和f()g()的确定26数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用模型准备了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的问题27模型假设针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设抓本质，在合理与简化之间作出折中模型构成用数学的语言、符号描述问题内在规律发挥想像力使用类比法尽量采用简单的数学工具数学建模的一般步骤28模型求解各种数学方法、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型分析模型检验与实际现象、数据比较，检
13、验模型的合理性、适用性模型应用数学建模的一般步骤29例2商人们怎样安全过河问题(智力游戏)3名商人3名随从河小船(至多2人)随从们密约在河的任一岸一旦随从的人数比商人多就杀人越货.但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河问题分析多步决策过程决策每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员要求在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多)经有限步使全体人员过河30模型构成xk第k次渡河前此岸的商人数yk第k次渡河前此岸的随从数xkyk=0123k=12sk=(xkyk)状态S=(xy)x=0y=0123x=3y=0123x=y=12S允许状态集合uk第k次渡船上的商人数vk第k次渡船上的随从
14、数dk=(ukvk)决策D=(uv)u+v=12允许决策集合ukvk=012k=12sk+1=skdk+(-1)k状态转移律求dkD(k=12n)使skS按转移律由s1=(33)到达sn+1=(00).多步决策问题31模型求解xy3322110穷举法编程上机图解法状态s=(xy)16个格点10个点允许决策D移动1或2格k奇左下移k偶右上移.s1sn+1d1d11给出安全渡河方案评注和思考规格化方法易于推广考虑4名商人各带一随从的情况d1d11允许状态SS=(xy)x=0y=0123x=3y=0123x=y=12D=(uv)u+v=1232适当地设置状态和决策，确定状态转移律，建立多步决策模型，
15、是有效解决此类问题的方法。数学建模的全过程现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)表述求解解释验证根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答实践现实世界数学世界理论实践33思考与练习34交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多久。设想一下黄灯的作用是什么，不难看出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。停车是需要时间的，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离L。这就是说，在离街口
16、距离为L处存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），见图1-4。对于那些黄灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍能穿过马路。马路的宽度D是容易测得的，问题的关键在于L的确定。为确定L，还应当将L划分为两段：L1和L2，其中L1是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应时间内驶过的路程，L2为刹车制动后车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对司机的平均反应时间t1早有测算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道的行驶速度v也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，从而L1=vt1。刹车距离L2既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来（留作习题）。黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第一步，先计算出L应多大才能使看见黄灯的司机停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线的车顺利穿
