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1、信号与系统 南 阳 理 工 学 院 第4-1页 电子教案 第四章 连续系统的频域分析 4.1 信号分解为正交函数 4.2 傅里叶级数 4.3 周期信号的频谱 4.4 非周期信号的频谱傅里叶变换 4.5 傅里叶变换的性质 4.6 周期信号的傅里叶变换 4.7 LTI系统的频域分析 4.8 取样定理 点击目录 ，进入相关章节 信号与系统 南 阳 理 工 学 院 第4-2页 电子教案 2.3 卷积积分 (2) 任意信号分解 “0”号脉冲高度f(0) ,宽度为 ，用p(t)表示为：f(0) p(t) “1”号脉冲高度f() ,宽度为 ，用p(t - )表示为： f() p(t - ) “-1”号脉冲高
2、度f(-) 、宽度为，用p(t +)表示为 ： f ( - ) p(t + ) 信号与系统 南 阳 理 工 学 院 第4-3页 电子教案 第四章 连续系统的频域分析 4.1 信号分解为正交函数 一、矢量正交与正交分解 时域分析，以冲激函数为基本信号，任意输入信号 可分解为一系列冲激函数；而yf(t) = h(t)*f(t)。 本章将以正弦信号和虚指数信号ejt为基本信号，任 意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指 数信号之和。 这里用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析 。 矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义：
3、其内积为0。即 信号与系统 南 阳 理 工 学 院 第4-4页 电子教案4.1 信号分解为正交函数 由两两正交的矢量组成的矢量集合-称为正交矢量集 如三维空间中，以矢量 vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2) 所组成的集合就是一个正交矢量集。 例如对于一个三维空间的矢量A =(2，5，8)，可以 用一个三维正交矢量集 vx，vy，vz分量的线性组合 表示。即 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间， 在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号 ，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组 合。 信号与系统 南 阳 理 工
4、学 院 第4-5页 电子教案4.1 信号分解为正交函数 二、信号正交与正交函数集 1. 定义： 定义在(t1，t2)区间的两个函数 1(t)和 2(t),若满足 (两函数的内积为0) 则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。 2. 正交函数集： 若n个函数 1(t)， 2(t)， n(t)构成一个函数集 ，当这些函数在区间(t1，t2)内满足 则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。 信号与系统 南 阳 理 工 学 院 第4-6页 电子教案4.1 信号分解为正交函数 3. 完备正交函数集： 如果在正交函数集1(t)， 2(t)， n(t)之外 ，不存在函数(t)(0）满
5、足 则称此函数集为完备正交函数集。 例如：三角函数集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 和 虚指数函数集ejnt，n=0，1，2，是两组典型的在 区间(t0，t0+T)(T=2/)上的完备正交函数集。 ( i =1，2，n) 信号与系统 南 阳 理 工 学 院 第4-7页 电子教案4.1 信号分解为正交函数 三、信号的正交分解 设有n个函数 1(t)， 2(t)， n(t)在区间(t1，t2) 构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交 函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)C11+ C22+ Cnn 如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在 区间(t1，t2
6、)内为最小。 通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差为 信号与系统 南 阳 理 工 学 院 第4-8页 电子教案4.1 信号分解为正交函数 为使上式最小 展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不 为0，写为 即 所以系数 信号与系统 南 阳 理 工 学 院 第4-9页 电子教案4.1 信号分解为正交函数 代入，得最小均方误差（推导过程见教材） 在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越 大，则均方误差越小。当n时（为完备正交函数集 ），均方误差为零。此时有 上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间(t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函
7、数集中分解的各正 交分量能量的总和。 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和 信号与系统 南 阳 理 工 学 院 第4-10页 电子教案4.2 傅里叶级数 4.2 傅里叶级数 一、傅里叶级数的三角形式 设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足 狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数 称为f(t)的傅里叶级数 系数an , bn称为傅里叶系数 可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。 信号与系统 南 阳 理 工 学 院 第4-11页 电子教案4.2 傅里叶级数 式中，A0 = a0 上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中， A0/2为直
8、流分量； A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周 期信号相同； A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。 可见An是n的偶函数， n是n的奇函数。 an = Ancosn， bn = Ansin n，n=1,2, 将上式同频率项合并，可写为 信号与系统 南 阳 理 工 学 院 第4-12页 电子教案4.2 傅里叶级数 二、波形的对称性与谐波特性 1 .f(t)为偶函数对称纵坐标 bn =0，展开为余弦级数。 2 .f(t)为奇函数对称于原点 an =0，展开为正弦级数。 实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数
9、和偶函数两部 分，即 f(t) = fod(t) + fev(t) 由于f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以 信号与系统 南 阳 理 工 学 院 第4-13页 电子教案4.2 傅里叶级数 3 .f(t)为奇谐函数f(t) = f(tT/2) 此时 其傅里叶级数中只含奇次 谐波分量，而不含偶次谐波分 量即 a0=a2=b2=b4=0 三、傅里叶级数的指数形式 三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感 不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三 角形式推出：利用 cosx=(ejx + ejx)/2 信号与系统 南 阳 理 工 学
10、 院 第4-14页 电子教案4.2 傅里叶级数 上式中第三项的n用n代换，A n=An， n= n， 则上式写为 令A0=A0ej0ej0t ，0=0 所以 信号与系统 南 阳 理 工 学 院 第4-15页 电子教案4.2 傅里叶级数 令复数 称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。 n = 0, 1, 2， 表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数 信号之和。 F0 = A0/2为直流分量。 信号与系统 南 阳 理 工 学 院 第4-16页 电子教案4.2 傅里叶级数 四、周期信号的功率Parseval等式 直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和 。 n0时， |Fn| =
11、 An/2。 周期信号一般是功率信号，其平均功率为 信号与系统 南 阳 理 工 学 院 第4-17页 电子教案4.3 周期信号的频谱 4.3 周期信号的频谱及特点 一、信号频谱的概念 从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化 的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的 频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、 相位随频率的变化关系，即将An和n的关系分别 画在以为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅 频谱图和相位频谱图。图中每条竖线代表该频率分量 的幅度，称为谱线。连接各谱线顶点的曲线称为包络 线。因为n0，所以称这种频谱为单边谱。也可画|Fn|和 n的关系，称为双边谱。若
12、Fn为实数，也可直接画Fn 。 信号与系统 南 阳 理 工 学 院 第4-18页 电子教案4.3 周期信号的频谱 例：周期信号 f(t) = 试求该周期信号的基波周期T，基波角频率，画 出它的单边频谱图，并求f(t) 的平均功率。 解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即 显然1是该信号的直流分量。 的周期T1 = 8 的周期T2 = 6 所以f(t)的周期T = 24，基波角频率=2/T = /12 根据帕斯瓦尔等式，其功率为 P= 信号与系统 南 阳 理 工 学 院 第4-19页 电子教案4.3 周期信号的频谱 是f(t)的/4/12 =3次谐波分量； 是f(t)的/3/12 =4次谐
13、波分量； 画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图 信号与系统 南 阳 理 工 学 院 第4-20页 电子教案4.3 周期信号的频谱 二、周期信号频谱的特点 举例：有一幅度为1，脉冲宽 度为的周期矩形脉冲，其周 期为T，如图所示。求频谱。 令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数） 信号与系统 南 阳 理 工 学 院 第4-21页 电子教案4.3 周期信号的频谱 , n = 0 ,1，2， Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设T = 4画图。 零点为 所以，m为整数。 特点： (1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置 是基频的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。 信号与系统
14、 南 阳 理 工 学 院 第4-22页 电子教案4.3 周期信号的频谱 谱线的结构与波形参数的关系： (a) T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之 间的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/ 增多。 (b) 一定，T增大，间隔减小，频谱变密。幅度减小 。 如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号）， 那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过 渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近 于无穷小。 信号与系统 南 阳 理 工 学 院 第4-23页 电子教案4.3周期信号的功率 三、周期信号的功率Parseval等式 直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和 。 n
15、0时， |Fn| = An/2。 周期信号一般是功率信号，其平均功率为 信号与系统 南 阳 理 工 学 院 第4-24页 电子教案 4.4 傅里叶变换 4.4 非周期信号的频谱傅里叶变换 一、傅里叶变换 非周期信号f(t)可看成是周期T时的周期信号。 前已指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔趋 近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率 分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之 间仍有差别。 为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的 概念。令 (单位频率上的频谱） 称F(j)为频谱密度函数。 信号与系统 南 阳 理 工 学 院 第4-25页 电子教案 4.4 傅里叶变换 考虑到：T，无穷小，记为d； n （由离散量变为连续量），而 同时， 于是， 傅里叶变换式“-” 傅里叶反变换式 F(j)称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。 f(t)称为F(j)的傅里叶反变换或原函数。 根据傅里叶级数 信号与系统 南 阳 理 工 学 院 第4-26页 电子教案 4.4 傅里叶变换 也可简记为 F(j) = F f(t) f(t) = F 1F(j) 或 f(t)
