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1、解析几何第一章 矢量与坐标在中学数学的学习中我们已经知道，解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何的.最根本的方法就是设法把空间的几何结构有系统的数量化、代数化（即在平面上通过坐标系的引进，建立起平面上点与实数对，曲线与方程的对应关系，即以一对有序实数表示点，以方程表示曲线）.从而将研究问题的代数方法引入到集合中来.在这里我们首先在空间中引进矢量以及它的运算，并通过矢量来建立坐标系.这是本章的主要课题，它也是解析几何的基础.利用矢量，有时可使某些集合问题更简捷地得到解决.矢量在力学、物理学和工程技术中也是解决问题的有力工具.1.1 矢量的概念数量：只有大小的量.如长度、面积、体积、时间、质量
2、、温度等.而位移、力、速度、加速度、功、力矩等，这些量除了有大小，而且还有方向，这种量就是矢量.定义1.1.1（p.1）既有大小，又有方向的量称为矢量或向量.简称矢.由矢量的定义，对于向量我们只考虑它的大小及方向，因此就可以用有向线段（有方向的线段）来表示矢量.有向线段的始点和终点分别叫做矢量的始点和终点，其长度表示矢量的大小，其方向表示矢量的方向.始点为A，终点为B的矢量记做：.有时也用来表示，为了方便，印刷时常用黑体a，b，c，来表示矢量.模：矢量的大小称为矢量的模，也称矢量的长度.矢量和的模分别记作：和.显然，矢量的模是一个非负实数.单位矢量：模等于1的矢量称为单位矢量；与矢量具有同一方
3、向的单位矢量称为矢量的单位矢量，记为： .零矢量：模等于0的矢量称为零矢量，记作：.零矢量是始点与终点重合的矢量，其方向不确定，也即零矢量的方向可看作是任意的.（非零矢量）.矢量与互相平行：是指它们所在的直线互相平行（或重合），记作：.类似可定义矢量与一条直线或一个平面平行.同向与反向：将两个互相平行的矢量与中的一个矢量平行移动，使其始点与矢量的始点O重合，这时两矢量的终点A和B必与O点三点共线.如果终点A和B分布在始点O的同一侧，则称与同向；如果终点A和B分布在始点O的两侧，则称与反向.定义1.1.2（P.2）：如果两个矢量的模相等且方向相同，则称两个矢量相等.矢量与相等，记作：.特别地，所
4、有的零矢量都相等.结论：对于不在同一直线上的两个相等的非零矢量与，如果用两线段分别的一对始点，一对终点，则得到一个平行四边形；反过来，如果对两矢量采用上述作图法得到一个平行四边形，则这两个矢量相等.（P.2）另外，由定义可知：两矢量是否相等与它们的起点无关，只由它们的模和方向决定.自由矢量：与起点无关，而只由模和方向决定的矢量称为自由矢量，在自由矢量的意义下，相等的两矢量都看作是同一矢量.我们以后研究的是自由矢量.注意：矢量不仅有大小，而且还有方向.模相等的两非零矢量未必相等，因为它们的方向可能不同，如下图：，但.对于自由矢量的始点的任意性，按需要我们可以将一些矢量平移到同一始点，称为把这些矢
5、量归结到共同始点.定义1.1.3（P.3）：模相等，方向相反的两个矢量叫做互为反矢量.矢量的反矢量记作：.由定义知：与互为反矢量；即：，.显然，.结论：如果把彼此平行的一组矢量归结到共同的始点，这组矢量必共线；如果把平行于同一平面的一组矢量归结到公共的始点，这组矢量必共线.定义1.1.4（P.3）：平行于同一直线的一组矢量叫做共线矢量.零矢量与任何共线矢量组共线.定义1.1.5（P.3）：平行于同一平面的一组矢量叫做共面矢量.零矢量与任何共面矢量组共面.结论：一组共线矢量组一定是共面矢量组；三矢量中如果有两矢量共线，则三矢量必定共面.练习：P.3 Ex.1 Ex.2 Ex.4 Ex.5作业：P
6、.3 Ex.31.2 矢量的加法我们知道，力和位移都是矢量，在物理学中，求作用于同一点的两个不共线的力的合力是用“平行四边形法则”.如图：两个力，的合力是以，为邻边的平行四边形的对角线.又如位移：一质点从O点出发到达A点的位移为再从A点到B点作位移，那么其两次位移，的结果，相当于作位移，即两个位移的合成可用“三角形”法则求出.如图所示.如果不考虑矢量的具体含义，只研究几何学中的自由矢量，那么非共线的两矢量合成的平行四边形法则与三角形法则是一致的.即在自由矢量的意义下，平行四边形法则可以归结为三角形法则.定义1.2.1（P.5）：由定义1.2.1有：.这种求矢量的方法称为三角形法则.如图：由此可
7、得下面定理：定理1.2.1 如果把两个矢量，为邻边作一平行四边形OABC.那么对角线矢量.这种求矢量的方法称为称为平行四边形法则.特别地：；.定理1.2.2（P.5） 矢量的加法满足下列运算规律：1） 交换律：2） 结合律：3）4）证：1）设已知矢量与不共线，作及，在以，为邻边的平行四边形OABC 中（如图），因为 ，.一方面，另一方面，.如果与共线，分、同向或反向两情形，证与的方向和模相同即可.2）作，（如图），由矢量加法定义有：.3）4） 由矢量的加法定义及零矢量的定义可知成立.由矢量的加法满足交换律及结合律，三个矢量、与相加，不论它们的先后顺序及结合顺序如何，它们的和总相同.于是可简写为
8、：.推广到任意有限个矢量的和，就可以简记为：.多次应用公式：，可得任意有限个矢量的求和公式：.此方法叫做矢量加法的多边形法则.多边形法则的作图法：从任意点O点出发，依次引，则矢量就是个矢量的和.即：.特别地，当与重合时，它们的和矢量为零矢量.在代数中，数量减法是加法的逆运算.类似地，向量的减法定义为加法的逆运算.定义1.2.2（P.7） 如果矢量与矢量的和等于，即，那么矢量称为矢量与的差.记作：.由矢量与求差称为矢量的减法.由有（求差公式），从上述公式可得矢量减法的几何作图法：自空间任意点O引矢量及，则矢量.（如图）如果以，为邻边作一平行四边形OACB，那么显然它的一条对角线矢量是，而另一条对
9、角线矢量是.（如图） 利用反矢量可将矢量减法化为矢量的加法运算，于是有：定理： 减去一个矢量等于加上它的反矢量，即有：.证： 设，由定义1.2.2知，两边加上得： ， 即： 从而有：.由此定理有：.另外，由此定理还可得矢量的移项法则：在矢量等式中，将某一矢量从等号的一端移到另一端，只须改变它的符号.如：.另外，对于任意两个矢量与，利用矢量的作图法，可得下列不等式： （三角不等式）推广到任意有限个矢量的情况：例1（P.8）设三个矢量、与互不共线，证明顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是：.证：作，.那么、与可以构成三角形的充要条件是，重合.即，而.所以，三矢量、与可以构成三角形的
10、充要条件是.例2（P.9）如图，在平行六面体中，试用、与表示对角线矢量，.解：1）.2）.例3（P.9）用矢量法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形（提示：证对边平行且相等）.证：设四边形的对角线与互相平分于（如图），则：，从而 .所以 且，即四边形为平行四边形.练习：1 证明：四边形为平行四边形的充要条件是：对任一点有 .1.3 数量乘矢量在物理学中我们知道：力质量加速度，其中力、加速度是矢量，质量是数量，如果用，及m分别代表力、加速度及质量，那么上式可以写成：.这是一种数量于矢量的结合关系.另外在矢量的加法中，个矢量的和仍然是矢量.特别的，个相同的非零矢量相加，显然它们的和矢量的模式的
11、倍，方向与相同.个的和常记为（或）.定义1.3.1（P.10）当或时，所以；反过来，当时，必有或.当时，是的反矢量.任意非零矢量都可以写成：或.即是一个非零矢量乘以它的模的倒数，结果是一个与它同方向的单位矢量.定理1.3.1（P.10）数量与矢量的乘法满足下面的运算规律：1） 2） （结合律）3） （第一分配律）4） （第二分配律）其中、是矢量，为任意实数.证明：1） 由定义1.3.1可知显然成立.2） 如果或，那么与都为零矢量，显然成立.如果且，只要证明等式两边的矢量模相等，方向相同.，.又因为当时，即，同号，由定义1.3.1可知与同向，又由于，同号，显然与同向，即与同向.同理，当时，、都与
12、反向，即与同向.综上所述有：，结合律成立.3） 如果或，中至少有一个为0，那么显然成立.因此只须考虑，的情形.（i） 如果，即，同号，这时与同向，且：即有：所以：.（ii） 如果，即，异号，不妨设，这时以及都与同向，即与同向，且：即有：所以：.当时类似可证.4） 如果或、之中至少有一个为零矢量，等式显然成立.所以只须对，的情形证明.（i） 如果、共线，当、同向时，取；当、反向时，取，这样显然有：，由2），3）两式得：（ii） 如果、不共线，如图.作，则以、为边构成的三角形与由，为两边的三角形相似，其相似比为.因此其对应的第三边矢量满足：.又因为 ，所以 .结论：从矢量的加法与数乘矢量的运算规则
13、知：矢量也可以象多项式那样运算.例如：化简：例1（P.13） 设式的中线，求证：.证：（如图）又因为为的中心，所以 ，得，于是有：.例2（P.13） 用矢量法证明：连结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半.证：设两边，的中点依次为，（如图），则：，所以 且.1.4 矢量的线性关系与矢量的分解矢量的加法和数与矢量的乘法统称为矢量的线性运算.易见：有限个矢量通过线性运算，它的结果仍然是一个矢量.定义1.4.1（P.15）（线性组合、线性表示）定理1.4.1 如果矢量，那么矢量与矢量共线的充要条件是可以用矢量线性表示，或者说是的线性组合，即：，且系数被、惟一确定.这时称为用线性组合来表
14、示共线矢量的基底.证明：（充分性）若，由矢量的数乘定义可知与共线.（必要性）若与共线，由是非零矢量，再由上节数乘第二分配律的证明可知一定存在实数，使.（唯一性）若，则，因为，所以，即：.定理1.4.2 如果矢量、不共线，那么矢量与、共面的充要条件是可以用矢量、线性表示，或者说可以分解成、的线性组合，即：且系数、被、唯一确定.此时叫做平面上矢量的基底.证明：（必要性）因为、不共线，所以，.设与、共面，如果与（或）共线，则由定理1.4.1有：，其中（或）；如果与、都不共线，把它们归结到共同的起点，并设，.那么经过的终点分别作，的平行线依次与直线、交于（如图）.因为，由定理1.4.1可设， ，又，所以.（充分性）设，如果、中有一个为零，显然成立.如果、均不为零，由矢量加法的平行四边形法则知：是以、为邻边的平行四边形的对角线矢量，因此、共面，而，从而与、共面.（唯一性）系数、被、唯一确定.设，则.如果，那么，得，矛盾！所以一定有，从而有：.即系数、被、唯一确定.定理1.4.3（P.17）证明：（类似定理1.4.2）例1（如图）（P.18）已知：，.求.解：因为，而，所以： 又因为 ，不共线，由定理1.4.2及、两式得： 解得： 于是有：，即：.例2（P.19）证明：四面体对边中点的连线交于一点且互相平分.证：（P.19）设
