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1、误差理论与数据处理姓名:*班级：研硕控制 8 班学号：*日期：2015 年 12 月 2 日学校:矿大第 1 页 共 8 页误差理论与数据处理概述：现代科学与技术工作离不开实验，而实验又离不开对具体量值的测量，并且测量总是存在误差的。人们总是希望减少或消除测量中存在的误差来提高测量精度。误差理论正是研究误差的来源、性质、规律，减小误差的措施，评估测量结果精度的办法，如何合理的设计实验去减小甚至消除误差，以及提高实验或测量精度的理论。数据处理泛指对数据，特别是实验观测数据进行的一切加工及运算，包括由测量数据求待测值，估其测量精度，列表或作图表示数据之间的对应关系与数据变化规律，以及通过所得到的数
2、据求取相关未知量、求取相关量之间的未知关系式等等。1、数据处理的几种滤波算法1、高斯滤波高斯函数具有五个重要的性质，这些性质使得它在早期图像处理中特别有用这些性质 表明，高斯平滑滤波器无论在空间域还是在频率域都是十分有效的低通滤波器，且在实际图像处理中得到了工程人员的有效使用。（1）二维高斯函数具有旋转对称性，即滤波器在各个方向上的平滑程度是相同的一般来说，一幅图像的边缘方向是事先不知道的，因此，在滤波前是无法确定一个方向上比另一方向上需要更多的平滑旋转对称性意味着高斯平滑滤波器在后续边缘检测中不会偏向任一方向（2）高斯函数是单值函数这表明，高斯滤波器用像素邻域的加权均值来代替该点的像素值，而
3、每一邻域像素点权值是随该点与中心点的距离单调增减的这一性质是很重要的，因为边缘是一种图像局部特征，如果平滑运算对离算子中心很远的像素点仍然有很大作用，则平滑运算会使图像失真（3）高斯函数的付立叶变换频谱是单瓣的正如下面所示，这一性质是高斯函数付立叶变换等于高斯函数本身这一事实的直接推论图像常被不希望的高频信号所污染(噪声和细纹理)而所希望的图像特征（如边缘），既含有低频分量，又含有高频分量高斯函数付立叶变换的单瓣意味着平滑图像不会被不需要的高频信号所污染，同时保留了大部分所需信号第 2 页 共 8 页（4）高斯滤波器宽度(决定着平滑程度 )是由参数 表征的，而且 和平滑程度的关系是非常简单的
4、越大，高斯滤波器的频带就越宽，平滑程度就越好通过调节平滑程度参数 ，可在图像特征过分模糊(过平滑) 与平滑图像中由于噪声和细纹理所引起的过多的不希望突变量( 欠平滑) 之间取得折衷（5）由于高斯函数的可分离性，大高斯滤波器可以得以有效地实现二维高斯函数卷积可以分两步来进行，首先将图像与一维高斯函数进行卷积，然后将卷积结果与方向垂直的相同一维高斯函数卷积因此，二维高斯滤波的计算量随滤波模板宽度成线性增长而不是成平方增长二维高斯函数： 22),( ryxAeeyxG当 时， ； 时， 一般用宽度小于 的滤波器，即 当 时，由连续 Gaussian 分布求离散模板，需采样、量化，并使模板归一化，举例
5、结果如下：图 1 原图像 lenna 图 2 有噪声的 lenna第 3 页 共 8 页图 3 高斯滤波， 2=1 图 4 高斯滤波， 2=3可以看到高斯滤波虽然能够在一定程度上去掉噪声，但也使得图象变得模糊不清，效果并不能令人满意。Matlab 程序如下：% The main.m file % clc; % Parameters of the Gaussian filter: n1=5;sigma1=3;n2=5;sigma2=3;theta1=0; w,map=imread(lenna.gif); x=ind2gray(w,map); filter1=d2gauss(n1,sigma1,n
6、2,sigma2,theta1); y=imnoise(x,gauss,0.01); f1=conv2(x,filter1,same); rf1=conv2(y,filter1,same); figure(1); subplot(2,2,1);imagesc(x);title(lenna); subplot(2,2,2);imagesc(y);title(noisy lenna); subplot(2,2,3);imagesc(f1);title(smooth); subplot(2,2,4);imagesc(rf1);title(noise cancel); colormap(gray);
7、% End of the main.m file % % Function d2gauss.m: % This function returns a 2D Gaussian filter with size n1*n2; theta is 第 4 页 共 8 页% the angle that the filter rotated counter clockwise; and sigma1 and sigma2 % are the standard deviation of the Gaussian functions. function h = d2gauss(n1,std1,n2,std2
8、,theta) r=cos(theta) -sin(theta); sin(theta) cos(theta); for i = 1 : n2 for j = 1 : n1 u = r * j-(n1+1)/2 i-(n2+1)/2; h(i,j) = gauss(u(1),std1)*gauss(u(2),std2); end end h = h / sqrt(sum(sum(h.*h); % Function gauss.m: function y = gauss(x,std) y = exp(-x2/(2*std2) / (std*sqrt(2*pi); % End of the fun
9、ctions % 2、最小二乘法滤波算法已知在不同的温度 下，测定铜棒的长度 如表 1-1 所示。Tl表 1-1i1 2 3 4 5 6 7 8/iT10 15 20 25 30 35 40 45/cmil2000.36 2000.50 2000.72 2000.80 2001.07 2001.25 2001.48 2001.60Matlab 利用原始数据画折线图如图 5，程序如下：clc,clear;T=10 15 20 25 30 35 40 45;L=2000.36 2000.50 2000.72 2000.80 2001.07 2001.25 2001.48 2001.60;第 5 页
10、 共 8 页plot(T,L,m);grid on;xlabel(T/);ylabel(L /cm);title(T-L Line chart);legend(T-L);图 5 T-L Line Chart由折线图可知，铜棒的长度 随温度 呈线性变化,设 ，用最小二乘法给lTlaTb=+出参数 和 的最小二乘估计值。abMatlab 实现最小二乘参数估计LN=2000.36 2000.50 2000.72 2000.80 2001.07 2001.25 2001.48 2001.60;TN=10,1;15,1;20,1;25,1;30,1;35,1;40,1;45,1；ab=inv(TN*TN
11、)*TN*LN；x=10:1:45；plot(x,y,b,T,L,m);grid on;xlabel(T/);ylabel(L /cm);title(T-L Line chart);legend(L=aT+b,T-L);a=ab(1)第 6 页 共 8 页a =0.0368b=ab(2)b =2.0000e+003原始数据折线图与 l=aT+b 函数图形(图 6)对比：图 6 折线图与直线图对比所以铜棒的长度 与温度 的线性关系式为：l=0.0368T+2000。lT3、双边滤波算法双边滤波（Bilateral filter）是一种可以保边去噪的滤波器。之所以可以达到此去噪效果，是因为滤波器是
12、由两个函数构成。一个函数是由几何空间距离决定滤波器系数。另一个由像素差值决定滤波器系数。Matlab 程序如下:I=imread(einstein.jpg); I=double(I)/255; w =5;sigma = 3 0.1; % bilateral filter standard deviations I1=bfilter2(I,w,sigma);subplot(1,2,1); Imshow(I);第 7 页 共 8 页subplot(1,2,2); Imshow(I1);仿真结果如图 7 所示。图 72、几种算法的优缺点高斯滤波(Gauss filter)实质上是一种信号的滤波器，其
13、用途为信号的平滑处理，数字图像用于后期应用，其噪声是最大的问题，因为误差会累计传递等原因，大多图像处理教材会在很早的时候介绍 Gauss 滤波器，用于得到信噪比 SNR 较高的图像（反应真实信号）。高斯平滑滤波器对于抑制服从正态分布的噪声非常有效。但同时使图像变得模糊，效果不是太好。最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。但它依赖先验公式，当数据无法用先验
14、公式模拟和数据的数量巨大时，就不适宜使用。双边滤波 Bilateral blur 相对于传统的高斯 blur 来说很重要的一个特性即可可以保持边缘（Edge Perseving），这个特点对于一些图像模糊来说很有用。一般的高斯模糊在进行采样时主要考虑了像素间的空间距离关系，但是却并没有考虑像素值之间的相似程度，因此这样我们得到的模糊结果通常是整张图片一团模糊。Bilateral blur 的改进就在于在采样时不仅考虑像素在空间距离上的关系，同时加入了像素间的相似程度考虑，因而可以保持原始图像的大体分块进而保持边缘。在于游戏引擎的第 8 页 共 8 页post blur 算法中，bilateral blur 常常被用到。参考文献：1 费业泰.误差理论与数据处理（第 4 版）M.北京:机械工业出版社,2003.2 冈萨雷斯. 数字图像处理M. 电子工业出版社,2003. 3 张志涌等，MATLAB 与仿真（2010a）,北京航空航天大学出版社,2010（即将出版）.
