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1、课程论文：弹塑性力学广义变分原理 弹塑性力学中的广义变分原理 课程论文 题目：广义变分原理在结构力学中的应用 姓名：储迅易 专业：工程力学 学号：131310040008 老师：邵国建 河海大学力学与材料学院 2014年4月1 日 弹塑性力学中的广义变分原理课程论文 摘要：把一个力学问题用变分法化为求泛函极值的问题，就称为该物理问题的变分原理。如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如果解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。 本文在总结部分课程内容的基础上，运用广义变分原理探讨了结构力学中柱体扭转问
2、题。 关键字：变分法 弹性力学变分原理 柱体的扭转问题 1 概述 变分法的早期思想是Johann Bernoulli在1696年以公开信的方式提出最速降线命题，并在1697年进行了解决。关于变分法的一般理论是Euler于1774年、Lagrange于1762年共同奠基的，我们称之为Euler-Lagrange变分原理。1872年Betti提出了功的互等定理。1876年意大利学者Castigor提出了最小功原理。德国学者Hellinger于1914年发表了有关不完全广义变分原理，后来美国学者Reissner发表了与Hellinger相类似的工作，此工作被称之为Hellinger-Reissner
3、变分原理。 我国学者钱令希于1950年发表“余能原理”论文。我国学者胡海昌于1954年发表了有关广义变分原理的论文，日本学者鹫津久一郎(Washizu)于1955年发表了与有胡海昌相类似的工作，此工作被称之为胡-鹫变分原理。1956年Biot建立了热弹性力学变分原理。1964年钱伟长提出用Lagranger乘子构造广义 分原理的方法。1964年Gurtin提出了线弹性动力学变分原理。1967年意大利学者Tonti提出了四类变量的广义变分原理，在这类变分原理中，-位移、应变、应力及Beltrami应力函数都是变分变量。 2 变分法 变分法是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对
4、。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。 在函数论中，自变量x对应着另一变量 自变函数y(x)对应着另一个函数 函数的广义函数。 自变函数y(x)的变分?y(x)所引起的泛函的增量，即： y，则变量y称为自变量x的函数y(x)。假如?y(x)?，则?y(x)?称为泛函。泛函是函数的函数，是 ?y(x)?y(x)?y(x)? 类似地，其可展开为线性项和非线性项 ?L?y(x),?y(x)?y(x),?y(x)?ymax 1 弹塑性力学中的广义变分原理课程论文 其中L是对?y(x)的线性泛函项，而?是非线性泛函项，是?y(
5、x)的同阶或高阶微量， ?y?0，同时?也趋近于零，这时泛函的增量等于?y(x)的线性部分当?y(x)?0时max L?y(x),?y(x)?，叫做泛函的变分，用?来表示。 ?y?0?y(x)?y(x)?y(x)?L?y(x),?y(x)? 所以泛函的变分是泛函增量的主部，而且这个主部对于函数变分?y(x)来说是线性的。 求泛函 ?F(x,y,y')dx x1x2 在边界条件y(x1)?y1, y(x2)?y2下的极值。 ?=0的条件是： ?Fd?F?()?0 ?ydx?y' 这个方程称为欧拉方程，就是说，泛函极值的积分方程转换成欧拉方程微分方程。 3 弹性力学中的变分原理 3
6、.1广义势能泛函和广义余能泛函 关于位移和应变（两类变量）的广义势能泛函： TTTT?* 2?2?A?d?fud?AE(?)ud? ? ?udB?E(n)A?(u-)dBT B2B1T 在该泛函中位移和应变是独立的自变函数, 不需要满足位移的边界条件和变形协调条件，从而使得与变分原理相对应的数值计算在处理某些特殊问题的时候变得更加简单，更加有效。 关于位移和应力(包括边界B1上的约束力p)的两类变量广义势能泛函： TTTT?* 2(u,?)?2?a?d?fud?a?E(?)ud? ? ?TudB?E(n)?(u-)dB B2B1 TTTTT?E(?)u?a?fud?udB?E(n)?(u-)d
7、B2?B2B1TT 2 弹塑性力学中的广义变分原理课程论文 用位移和应力表示两类变量的广义势能原理（Hellinger-Reissner）：两类变量广义变分原理）弹性力学的精确解，应使上述广义势能的泛函取驻值。 二类变量广义余能泛函： ?2(?,u)?V(?)d?E(?)?fTud? ? ?pTB?E(n)?TudB B1B2 对于线弹性体有 TT1?* 2(?u)?a?d?E(?)?fud? ? ?pTdB?E(n)?TudB B1B2 二类变量的广义余能原理：弹性力学的精确解应该使得上述二类变量的广义余能取驻值。 三类变量的广义势能泛函： ?3(u,?,?)?* ?U(?)d?fTud?T
8、?ET(?)ud? ? ?TudB?E(n)?(u-)dB B2B1T 也称该H-Z泛函，是由胡海昌1954年和鹫津一郎1955年分别提出来。 在三类变量的广义势能中有三类自变函数?,?,u,它们都是独立的。 三类变量的广义势能原理（胡-鹫津变分原理）：弹性力学的精确解应使上述的广义势能?3取驻值。 三类变量的广义余能原理： TT?3?U(?)d?E(?)?+fud? ?E(n)?B?E(n)?-udB B1B2TT 在三类变量的广义余能中有三类自变函数?,?,u,它们都是独立的。三类变量的广义余能原理：弹性力学的精确解应使上述的广义余能取驻值。由三类变量的广义余能原理也可以得到弹性力学的所有
9、方程和边界条件。 3.2各种变分原理综述 3 弹塑性力学中的广义变分原理课程论文 4 待定边界泛函的变分问题 4.1 泛函为?xF(x,y,y?)dx的边界待定的变分原理 1x2 设泛函 ?F(x,y,y?)dx x1x2泛函的积分限x1及x2都可以是待定的，也可以一个x1为已给，而另一个x2为待定的。 在一般情形下，端点(y2,x2)不是独立的，它可以沿某一已给曲线如 y2?f(x2) （4-1） 而移动。于是，有y2?f?(x2)x2 极值条件 ?x1x2?Fd?F?F?F?()ydx?F?y?f?(x)x?x2x2?0 ?ydx?y?y?y? 从上式很容易看到，y(x)满足欧拉方程还不能
10、使?达到零，除非在端点x?x2上还满足补充条件 F?y? 所以，欧拉方程 ?F?F?f?(x)?0 (x?x2) （4-2） ?y?y? ?Fd?F?()?0 （4-3） ?ydx?y? 只有在始点定点条件 y1?y(x1)， （4-4） 终点待定条件（4-1）式和补充条件（4-2）式在一起时，泛函的极值问题，才有充分和必要的条件求解。在这三个条件中，有两个条件可用来决定待定积分常数c1和c2，第三个条件用来决定待定的端点坐标x2。 补充条件（4-2）式是一个函数y(x)的斜率y?(x)和已知端点曲线f(x)的斜率f?(x)之间的关系，我们称（4-2）式为交换条件（或贯截条件）。一般说来，满足
11、定点条件（4-4）式的欧拉方程（4-3）式的解中，尚有一个积分常数未定，或可以写成y?y(x,c1)。在利用了待定端点条件(4-1)式和补充条件（4-2）式之后，总能确定c1与x2这两个待定量，而在这样决定的一条曲线上，泛函必为极值。 如果边界点(x1,y1)也是待定的，也可以假定它能沿着一条曲线y1?g(x1)上移动，则在这一待定始点(x1,y1)上有下面的交接条件 4 弹塑性力学中的广义变分原理课程论文 F?(g?y?)?F?0 (x?x1) ?y 4.2 泛函?xF(x,y,z,y?,z?)dx的边界待定的变分原理问题 1x2 设泛函 ?F(x,y,z,y?,z?)dx x1x2 上限x
12、2是待定的，变分为 ?F?y? x2 x1?F?F?F?F?z?x?x2x2?|x?x2y2?|x?x2z2? ?y?z?y?z?Fd?F?Fd?F?()y?()zdx ?ydx?y?zdx?z? 按x2，y2，z2之间关系不同，有下列各种情况： （1）x2，y2，z2，y，z都是独立的 这是最一般情况，由?0给出欧拉方程 ?Fd?F?Fd?F?()?0 （4-5） ?()?0，?zdx?z?ydx?y? 同时给出x?x2处的边界条件 ?F?F?F?F|x?x2?0 （4-6） ?z?x?x2?0，|x?x2?0，?z?y?z?y? 于是可以利用欧拉方程（4-5）式，和极值曲线通过固定点(x1
13、,y1,z1)的条件和x?x2处的边界条件（4-6）式这三个边界条件，来决定本题的极值曲线和x2的待定值。 （2）边界点(x2,y2,z2)可以沿某一曲线y2?f(x2)，z2?g(x2)任意移动 ?0给出相同的欧拉方程 ?Fd?F?Fd?F?()?0 （4-7） ?()?0，?zdx?z?ydx?y? 同时给出x?x2处的补充边界条件 ?F?FF(f?y?)?(g?z?)x?x2?0 （4-8） ?y?z? 这也代表极值曲线和已给端点曲线y2?f(x2)，z2?g(x2)之间的交接条件。当从欧拉方程（4-7）式求解极值曲线时，它必须满足：在x1处通过固定点(x1,y1,z1)；在x2点满足y2?f(x2)，z2?g(x2)；在x2点满足交接条件（4-8）式。 （3）边界点(x2,
