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1、九年级数学寒假专题函数知识的应用人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：寒假专题初中函数知识的应用学习目标：1. 复习一次函数、二次函数、反比例函数及锐角三角函数的概念，联系实际生活中的问题，抽象为函数，通过计算解决问题。2. 理解方程，不等式等一些重要的数学内容，同函数有极为密切的联系，是函数的特殊情况。3. 学会借助函数的图象和性质解决实际问题。二. 重点、难点重点：初中函数知识的应用难点：把一个数学问题或实际问题归结为函数问题。【典型例题】例 1. 已知矩形的面积是 4，把这个矩形的长 y 表示成宽 x 的函数。点拨：因为矩形的面积为 xy4，则 x是反比例函数，x 表示矩形的宽，应有xy
2、，使 02x，自变量要符合实际。解：函数解析式为 y（ 02）例 2. 分别写出下列函数关系式，并求自变量取值范围（1）设圆柱的底面直径与高 h 相等，求圆柱体积 V 与底面半径 R 的关系（2）等腰三角形的顶角度数 y 与底角的度数 x 的关系解：（1） VRR223（ 0）（2）由三角形内角和定理得yx80， yx180， 2180自变量 x 的取值范围是 9点拨：在应用题中，自变量的取值范围不仅应使函数关系式有意义，也要使实际问题有意义。例 3. 有一个角是 30的直角三角形如图 1，求它的面积 ycm()2与边长 xc()之间的函数关系式。 x 30 图 1解：易知 30角所对的直角边
3、长为 x2，则另一直角边长为 xx23()yx12380()点拨：在解决与直角三角形有关的函数问题时，应充分应用直角三角形的性质。例 4.用砖可砌长 48 米的墙，要盖三间平房如图 2，问怎样砌，才能使房屋的面积最大？ x x x x 图 2解：设每间房长为 x 米，则三间房的总宽为 148()x米（ 012）房屋面积： Sx1248()x当 xba2，即 6时，S 取最大值，此时总宽为 12，因此，每间房长 6 米时，三间房总宽 12 米时，房屋的面积最大。点拨：在本例中求的是面积的最大值，面积就是目标。面积的表达式就是目标函数，解决此类问题的关键就在于求出目标函数，由此就把实际问题化归为求
4、二次函数最值的问题了。例 5. 在一块底边长为 a，高为 h 的三角形铁板 ABC 上，要截出一块矩形铁板EFGH，使它的一边 FG 在 BC 边上，矩形的边 EF 等于多长时，矩形铁板的面积最大？ A E N H B F M G C 图 3解：设内接矩形 EFGH 中， AEH/BC，设 EFx（ 0h）则 ANhEHBCM，即 Eaxx()设矩形 EFGH 的面积为 S则 SEFhx()ax()24当 时， Sa最 大 值 点拨：用“配方法”求最值在函数应用中是很常见的。例 6. 一个圆台形物体的上底面积是下底面积的 14，如图如果放在桌上，对桌面的压强是 200Pa，翻过来放对桌面的压强
5、是多少？ 解：由物理知识可知，压力 F，压强 P 与受力面积 S 之间的关系是 PFS，因为是同一物体，F 的数值不变，所以 P 与 S 成反比例，设上底面积是 a，则下底面积是 4a，由PS，且 a4时， a20有 8是同一物体80是定值， S时PFSaP80()因此当圆台翻过来放对桌面的压强是 800Pa例 7. 有一个附有进出水管的容器，每单位时间内进出水量都是一定的，设从某时刻开始的 4 分种内只进水不出水，在随后的 8 分钟内既进水又出水，得到时间 x（分）与水量y（升）之间的关系，如图 4（1）每分钟进水多少？（2） 12x时，x 与 y 何关系？（3）若 12 分钟后只放水不进水
6、，求 y 的表达式。y 30 20 O 4 12 x 图 4解：（1）由图可见 4 分钟时，进水 20 升，故每分钟进水 5 升（2）当 12x时，y 的图象是线段，所以 y 是 x 的一次函数，故可设 ykxb点（4，20） ， （12，30 ）在直线上03kbb541x 与 y 的关系是 x541， 2x（3）在 04 分钟时，每分钟进水 5 升，在 412 分钟时，既进水又出水，由51可知，每分钟水增加 升实际上每分钟出水量为 41升而在 12 分钟时，有水 yx52530（升）每分钟水放出 1升 x（时间）与 y（水量）的关系是 yxx1542301547()， 12点拨：此题中的三小
7、题层次性很强，且存在着联系，解此类题目要注意每一问之间的联系。例 8. 某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用 y（元）是行李重量 x（公斤）的一次函数，如图 5，求：（1）y 与 x 之间的函数关系式；（2）旅客最多可免费携带行李的公斤数 y 10 6 O x 行 李 重 量 (公 斤 ) (元)行李票费用 8060图 5解：（1）设一次函数关系式是 ykxb当 x60时， y当 8时， 110kbb56所求函数关系式是 yx156， 30（2）当 y0时，x3旅客最多可免费携带 30 公斤行李例 9. 已知矩形面积是 12cm，长是
8、 xcm，宽是 ycm（1）确定出 y 与 x 的函数关系式；（2）画出这个函数图象点悟：因为矩形长是 xcm，宽是 ycm，因此面积是 xycm2 已知矩形面积是 12cm，所以有 xy12，从而 yx12是反比例函数解析：（1）由矩形的面积公式，长宽面积得 yx， 0x 2 3 4 5 6 8 12 y 6 4 3 2 2 1 （2）作图如图 6 y 3 4 x 4 3 点拨：这是一个归结为反比例函数来解的应用题，从求函数解析式到画图象，都要结合实际问题，确定自变量的取值范围，此题自变量的取值为正，函数值也为正，所以它的图象仅为双曲线在第一象限的一个分支。例 10. 利用现有的 20 米长
9、的竹篱，围成一个矩形鸡场，怎样围鸡场的面积最大？点悟：因为竹篱的长是 20 米，所以矩形鸡场周长只能是 20 米，若设其长是 x 米，则宽就是（10x）米于是鸡场的面积是 xx()102，是关于 x 的二次函数，且有最大值解：设矩形鸡场的长是 x 米，则鸡场的宽是（10x）米面积是 S 平方米，所以102（ 0）x5()2当 0，即 5时，函数 S 有最大值 25点拨：函数最值问题，得判断取最值时，自变量是否在定义域内。【模拟试题】 （答题时间：45 分钟）一. 选择题1. 下列各关系中，属反比例关系的是（ ）A. 正三角形的面积与边长B. 等腰三角形腰长为定值时，底边与底边上的高 C. 圆的
10、弧长和它与圆心连结后构成的扇形面积D. 电压一定时，导体中电流强度与电阻2. 下列各组中，属于反比例关系的是（ ）A. 正方形的边长与对角线B. 矩形面积为定值时，它的长和宽C. 圆面积和半径D. 直角三角形中，三条边的关系3. 甲、乙两个同学在操场上，甲从旗杆底部出发先向西走 10 米，再向南走 15 米停在 A点，乙也从旗杆底部出发先向东走 20 米，再向北走 15 米停在 B 点，则 A、B 两点距离是（ ）A. 102米 B. 302米 C. 105米 D. 58米4. 每上 5 级台阶升高 1 米，则升高米数 h 是台阶数 S 的函数，即（ ）A. hSB. hS5C. D. hS5
11、. 水池储水 800 米 3，每小时放水 P 米 3，t 小时后水池中水为 Q 米 3，则解析式为（ ）A. QPt80B. Q80C. D. t6. 某汽车油箱中存油 20 千克，油从管道中匀速流出，100 分钟可流完，则油箱中剩的油量 Q（千克）与流出时间 t（分钟）之间的函数关系式是（ ）A. 205（ 10）B. t（ t）C. 5（ ）D. 以上都不对二. 填空题7. 下列各题中是正比例关系的有_；是反比例关系的有_；是二次函数关系的有_A. 正方形的周长 P 和边长 aB. 正方形的面积 S 和边长 aC. 圆的面积 S 和直径的平方 d2D. 同圆中的弦 l和弦心距 dE. 匀速
12、直线运动中，路程 s 一定，速度 v 和时间 t8. 如图矩形 ABCD 中边长 ABCD常数 l，设 ABx，矩形面积为 y（1）用 x 表示 y，得 y_（2）自变量 x 的变化范围 A D B C 9. 某班有学生 48 人，共收书费 y 元与每个学生交费 x 元的函数关系式为_10. 等腰三角形底角度数 y 与顶角度数 x 的函数关系式是_11. 某厂去年生产机器 1 万台，今年生产机器 y 台与今年比去年生产的增长率 x 的函数关系式是_三. 解答题12. 求等腰直角三角形的一条直角边长 x 作为自变量关于三角形周长 l的函数关系式13. 已知华氏温度 F 与摄氏温度 C 之间有一次
13、函数关系，当华氏温度为 32时，摄氏温度为 0，而当摄氏温度为 5时，华氏温度为 41，试求 F 与 C 的函数关系式，并求华氏时，摄氏温度是多少？14. 如图，甲、乙两船分别从 A、C 两地同时驶出，方向分别为向西和向南，已知AC1海里，甲乙两船速度分别为每小时 16 海里和 12 海里，问几分钟后，两船距离最近。 C B A D 【试题答案】一. 选择题1. D 2. B 3. B 4. C 5. A 6. C二. 填空题7. A 和 C，E，B8. （1） 2xl；（2） 02xl9. y4810. 911. x10()三. 解答题12. l213. FC953，17.814. 24 分钟 6 海里
