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1、单变量非线性时间序列模型 第5章 单变量非线性时间序列模型1 随机波动率模型一 乘积过程 xt=m+sU tt其中Ut一个标准化过程，即E(Ut)=0,V(Ut)=1。st是一个正随机变量的序列。这种类型的过程称之为乘积过程。因为V(xtst)=st2，因此st是随机过程xt的标准差。 现在看偏微分方程dPP=d(log(P)=mdt+sdW其中xt=Dlog(Pt)，W(t)为标准布朗运动。它是通常的金融资产定价的扩散过程。离散情况dt=1，所以它是一个乘积过程。 假设Ut=(xt-m)st服从正态分布，且独立于st，则E(xt-m)=E(stUt222)=E(st)E(Ut22)=)=E(
2、st2)E(xt-m)(xt-k-m)=E(stst-kUtUt-2kE(stst-kUt)E(Ut-k)=0但平方误差St=(xt-m)却自相关：cov(St,St-k)=E(St-E(St)(St-k-E(St)=E(StSt-k)-=E(ss2t22t-k2t-k(E(St)2t2)E(UU2t-k)-(E(s)2t2=E(sts)-(E(st2)此时rk,S=E(sts2)-(E(st2)42E(st)-(E(st)2t-k二 随机波动率模型 如果定义ht=logh（这个模型常常代表金融市场随机和不均匀(s2t)=g0+g1h-t+1t的薪信息流）其中ht:NID(0,s2h)且独立于
3、Ut。 此时 xt=m+Utexp(ht2)此时仅当ht弱平稳时，xt才是弱平稳。此时xt的偶阶矩存在，所有的奇阶矩为零（为什么）：E(xt-m)r=E(Srt)=E(Ur)骣tE琪骣r桫exp桫2ht 骣=(r2r(r2)!)er骣r骣s2hm桫2h+桫2桫2 其中：mh=E(ht)=g01-g1)；s2h=s2h1-g21)。 峰度的矩：E(S2t)(=E(xt-m)42E(S2)2t(h)3 （意思是什么）(2Ex2t-m)=3exp(s此时E(S2tSt-k)=E(s2tst-k)=E(exp(ht)exp(ht-k)=E(exp(ht+ht-k)=expm2(h+sh)+(mh+gk
4、21sh)=exp(2m2h+sh(1+gk1)cov(S,S2t-k)=exp(2mh+sh(1+gkt1)-exp(2m2h+sh)=exp(2m2h+sh)(exp(s2khg1)-1)此时rk,S=(exp(sg)-1)3(exp(s)-1)2hk12h变化一下，利用模型xt-m=stUtht=log(s2t)=htg0+g1ht-1+ht得出log(St)=ht+log(Ut2)=mh+(1-g1B)+log(Ut2)此时log(St):ARMA(1,1)。当Ut服从正态分布时，log(Ut2)的均值为-1.27， 方差为4.93 其自相关函数为rk,log(S)=g1k2h(1+4
5、.93/s)三 随机波动率模型的估计采用Koopman得准极大似然法（QML）Quasi-maximum Likelihood。 STAMP5.0软件提供了这个方法。2 ARCH模型波动性聚类：波动性不仅随时间变化，而且常在某一时段中连续出现偏高或偏低的现象。波动性聚类现象是金融时间序列常见的现象。 一 自回归条件异方差模型（ARCH）的定义 随机变量xt服从自回归形式AR(p):xt=0+1xt-1+2xt-2+.+pxt-p+t其中t服从独立同分布的白噪声过程，且有E(t)=0,V(t)=2。（？）此时随机变量xt的无条件方差E(xt)=01-1-.-p为常数，与时间无关。如果固定变量xt
6、-1,xt-2,.xt-p的值，则随机变量xt的条件期望为Extxt-1,.,xt-p=0+1xt-1+.+pxt-p()意义：说明xt的条件方差是时间的函数。 如随机过程t，它的平方服从AR(q)过程222t=0+1t-1+.+qt-q+t （1）其中t独立同分布，且有E(t)=0,V(t)=2。t=1,2,.，其平稳性条件为 则称随机过程t服从q阶的ARCH过程，记为ARCH(q)。此时随机过程t的无条件方差E(t2)=2=01-1-.-q为常数。ARCH模型的一个重要特点是给出了计算时间序列条件方差的方法。在每一时刻t，ARCH过程的条件方差是过去随机干扰的函数。以t2表示ARCH过程t
7、在时刻t的条件方差，给定随机变量t2-1,t2-2,.,t2-q的值，则t=Ett-1,.,t-q=0+1t-1+.+qt-q2http:/ ARCH效应检验对于序列是否存在ARCH效应，最常用的检验方法是拉格朗日乘数法LM检验。对于模型ht=0+1t-1+2t-2+.+qt-q222检验就是检验所有回归系数是否同时为0。 原假设H0:a1=a2=.=aq=0H1:ai0检验的统计量LM=nR2:c2(q)。（如何判断是否显著，单边）。 四模型的估计 采用最大似然估计ML3 衍生GARCH模型一 Garch模型模型形式为：ut=qpi2t-iht=0+ui=1+hit-ii=1即当前的条件方差
8、等于过去冲击的加权和加上自身的自回归。其中2=1且00、i0以及i0，p,q分别为条件方差中自回归项与滑动平均项的阶。由于t是白噪声过程且与ut-i的过去值独立，因此ut的条件和无条件均值均为零，并且E(ut2ut-1,ut-2,.)=ht。这一特性与ARCH模型相同。Garch模型的条件方差不仅是滞后误差平方的线性函数，而且还是滞后条件方差的函数。 Garch模型能体现条件异方差的长期传导过程，即ht依赖于ht过去的所有值。如果收益率序列服从一个GARCH(p,q)过程，那么在一定条件下，可以用具有合理滞后结构的ARCH过程来代替。对于一个高阶ARCH过程，可以写成比较简洁的GARCH模型来
9、代替。二衍生ARCH模型 1ARCH-M过程ARCH和GARCH模型假设扰动项的条件方差与被解释变量的期望无关。现在考虑条件方差影响期望的情况。一个例子是：投资者投资时，投资者依据当前信息持有证券，当风险（条件方差）增大时，投资者需要的风险溢价增大。ARCH-M模型的一般形式为：y=X+h+uttttut=tq22h=+iut-i=0+(B)ut-it0i=1其中2=1且00、i0以及i0。此模型称为ARCH-M模型。如果qpi2t-iht=0+ui=1+h，则模型称为GARCHit-ii=1-M模型。2EGARCH模型 GARCH模型的缺陷：1）模型系数的非负约束；2）外部冲击对条件方差的影
10、响程度只取决于外部冲击的绝对值大小，而与冲击的影响无关。在现时金融市场中，尤其是股票市场中，价格波动受负外部冲击的影响比同登幅度的郑外部冲击要大，正负冲击具有非对称性，即所谓的杠杆效应。因此引入EGARCH模型。EGARCH模型的形式为ut=plnht=0+j=1jlog(ht-j)+qi=1i+i 在模型中引入了不对称因子i，0，表示信息非对称，0正的外部冲击影响大于负的外部冲击；3TGARCH模型 模型形式为：qpi2t-iht=0+i=1+2t-1dt-1+j=1jht-j其中dt为虚拟变量1 tdt=0 other为不对称参数，当t0表示股票价格上涨时，此时股票价格的影响和下跌t参考教材：1数据分析与Eviews应用 易丹辉主编 中国统计出版社 2高等时间序列经济计量学陆懋祖著 上海人民出版社 3经济计量学手册第49章 ARCH模型 Engle等著百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网,您的在线图书馆 15
