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1、第十一章 差错控制编码和线性分组码 1 主要内容和重点 n差错控制编码的基本概念 n线性分组码 n性质、基本原理 n校正子 n监督矩阵 n生成矩阵 n汉明码 n循环码 n概念及性质 n生成多项式 n生成矩阵与监督矩阵 n编码器 2 2.1 引言 n为什么要引入差错控制编码？ n什么是差错控制编码（信道编码）？ n差错控制编码的3种方式 n信道发生差错的模式 n差错控制编码的基本原理 n差错控制编码的分类 n编码信道及香农编码定理 3 2.1 引言 n为什么要引入差错控制编码？ n在实际信道上传输数字信号时，由于信道传输特性不理想 及加性噪声的影响，接收端所收到的数字信号不可避免地 会发生错误
2、n为了在已知信噪比情况下达到一定的误比特率指标，应该 合理设计基带信号，选择调制解调方式，采用时域、频域 均衡，使误比特率尽可能降低 n但若误比特率仍不能满足要求，则必须采用信道编码（即 差错控制编码），将误比特率进一步降低 4 2.1 引言 n什么是差错控制编码 n差错控制编码的基本思路： n在发送端将被传输的信息附上一些监督码元，这些多 余的码元与信息码元之间以某种确定的规则相互关联 （约束） n接收端按照既定的规则校验信息码元与监督码元之间 的关系，一旦传输发生差错，则信息码元与监督码元 的关系就受到破坏，从而接收端可以发现错误乃至纠 正错误 n差错控制编码所要解决的问题：各种编码和译码
3、 方法 5 2.1 引言 n差错控制的三种方式 n检错重发（ARQ） n在接收端根据编码规则进行检查，如果发现规则被破 坏，则通过反向信道要求发送端重新发送，直到接收 端检查无误为止 nARQ系统的重发机制：停发等候重发、返回重发和选 择重发 n需要反馈信道，效率较低，但是性能很好 发收 能够发现错误的码 应答信息 6 2.1 引言 n差错控制的三种方式（续） n前向纠错（FEC） n发送端发送能纠正错误的编码，在接收端根据接收到 的码和编码规则，能自动纠正传输中的错误 n不需要反馈信道，实时性好，但是随着纠错能力的提 高，编译码设备 复杂 发收 可以纠正错误的码 7 2.1 引言 n差错控制
4、的三种方式（续） n混合方式 n结合FEC和ARQ：在纠错能力范围内，自动纠正错误， 超出纠错范围则要求发送端重新发送 发收 可以发现和纠正错误的码 应答信号 8 2.1 引言 n信道发生差错的模式 n随机差错： n差错的出现是随机的，差错出现的位置是随机分布的 n一般由信道的加性随机噪声引起 n这种信道称为随机信道 n突发差错： n差错的出现是一连串出现的。这种情况如移动通信中信号在某一 段时间内发生衰落，造成一串差错；光盘上的一条划痕等等 n这样的信道称之为突发信道 n混合差错： n既有突发错误又有随机差错的情况 n这种信道称之为混合信道 9 2.1 引言 n差错控制编码的基本原理 n以差
5、错重发编码来阐述差错编码在相同的信噪比情况下为什么会获得 更好的系统性能？ n例1：假设发 送的信息0、1等概，采用2PSK方式，则最佳接收的系 统误 比特率为 ，现假设 n如果将信息0编码成00，信息1编码成11，则在接收端： n如果发送00，收到01、10，知道发生了差错，要求发送端重 新传输，直到传送正确为止 n只有当收到11时，我们才错误地认为当前发送的是1 n因此在这种情况下发生译码错误的概率是 n同理，如果发送的是11，只有收到00时才可能发生错误译码，因 此在这种情况下发生译码错误的概率是 n故采用00、11编码的系统误比特率为 10 2.1 引言 n差错控制编码的基本原理（续）
6、 n依此类推，可知： n采用000、111编码的ARQ系统误比特率是多少？ n采用0000、1111编码的ARQ系统误比特率是多少？ n例2，如例1，如果0、1采用00000、11111编码，在接收 端用如下的译码方法，每收到5个比特译码一次，采用大 数判决，即5个比特中0的个数大于1的个数则译码成0， 反之译码成1；不采用ARQ方式。那么，这种编码方式就 变成了纠错编码 n由于传输错误当接收端收到11000，10100，10010，10001， 01100，01010，01001，00110，00101，00011中的任何一种时 ，都可以自动纠正成00000 n课外题：请计算在这种情况下的系
7、统性能 n上述例1、例2的编码方式叫重复码11 2.1 引言 n差错控制编码的基本原理（续） n例3，2PSK系统中误比特率与Es/N0有关 n我们看到，重复码中假设传输时每个符号的Es/N0相等， 因此才得到以上的性能分析对比 n但是如果我们以Eb/N0的指标进行比较，则我们看到 n例1的 n例2的 n如果要求各系统在Eb/N0相同的情况下进行比较（n重复码中用 了n倍能量来传输一个比特，从每个比特能量的角度来看），则 可看到这2种系统性能相近（即获得相近的编码增益） 12 2.1 引言 n差错控制编码的基本原理（续） n当x1有 n2PSK系统： n2重重复码： n编码增益= 13 2.1
8、 引言 n差错控制编码的分类 n根据差错控制编码的功能不同： n检错码、纠错码、纠删码（兼检错、纠错） n根据信息位和校验位的检验关系： n线性码（存在线性关系）和非线性码 n按信息码元在编码后是否保持原来的形式 n系统码：保持不变 n非系统码：信息码元改变了原有的信号形式 n按纠正错误的类型： n纠正随机错误的码：用于随机错误的信道 n纠正突发错误的码：用于突发信道 14 2.1 引言 n差错控制编码的分类（续） n根据信息码元和监督码元的约束方式： n分组码：监督码元仅与本码组的信息码元有关 n卷积码：监督码元还与前面码组的信息码元有约束关系 n分组码：将k个信息比特编成n个比特的码字，共
9、有2k个码 字。所有个码字组成一个分组码。传输时前后码字之间毫 无关系 n卷积码：也是将k个信息比特编成n个比特的码字，但是前 后的N个码字之间相互关联 n编码速率=平均每个码字所携带的信息比特率 15 2.1 引言 n编码信道 n所谓的编码信道就是将调制解调包括在信道内的一种模型 上的等效。 即如果研究编码和译码，完全可以将调制、 解调与信道合起来等效成一个等效的信道，这种信道就称 之为编码信道 源编码调制信道解调译码宿 16 2.1 引言 n编码信道（续） n根据调制解调的不同输入和输出具有不同的类型 n离散无记忆对称二进制输入二进制输出信道（BSC） n这种情况相应于2进制调制解调+判决
10、 n离散无记忆二进制输入多进制输出信道 n对应于2进制输入，量化后输出的情况，即所谓的软译码 n离散无记忆多进制输入多进制输出 n对应于多进制输入、量化后输出 n离散无记忆二进制输入连续输出 n对应于二进制输入，模拟输出（未判决、未量化） 17 2.1 引言 n香农有扰离散信道的编码定理 n对于一个给定的有扰信道，若信道的容量为C，只要发送 端以低于C的速率R发送信息（R为编码器的输入二进制码 元速率），则一定存在一种编码方法，使编码错误概率P 随着码长n的增加，按指数下降到任意小的值，表示为 n其中E(R)称为误差指数 n结论： nn和R一定情况下，为减小P，可增大C n在C及R一定的情况下
11、，增加n，可以 使P指数下降。从实际的角度看，这时 设备复杂性和译码延时也随之增加 E（R） C 0 C1 C2 R 18 2.2 纠错编码的基本原理 n主要内容 n码重、码距 n最小码距 n码的纠错、检错性能 19 2.2 纠错编码的基本原理 n分组码将k个比特编成n个比特一组的码字（码 组），记为（n，k）码 n由于输入有 2k种组合，因此（n，k）码应该有2k个 码字 n码重、码距 n码重：码字中1的个数。如码字11000的码重为2 n码距：码字C1与码字C2之间不同的比特数（又称 汉明距） 20 2.2 纠错编码的基本原理 n最小码距 n所用码字中任何两个码字之间的码距的最小值 ，用
12、dmin表示 n码的纠错、检错性能：由最小码距决定 n为了检测e个错误，要求最小码距 n为了纠正t个错误，要求最小码距 n为了纠正t个错误，同时检测e个错误，要求最小码距 21 纠错码的抗干扰能力完全取决于许用码字之间的距离，码的最小 距离越大，说明码字间的最小差别越大，抗干扰能力就越强 2.2 纠错编码的基本原理 22 2.3 常用的简单编码 n奇偶监督码（奇偶校验） n设奇偶监督码的码字表示为： n则偶校验码： （即偶数个1） 奇校验码： （即奇数个1） n可见这种码的最小码距为2，只能检1个错 23 奇偶监督码的编码可以用软件实现，也可用硬 件电路实现 如果码组B无错，BA，则M0；如果
13、码组B 有单个（或奇数个）错误，则M1 2.3 常用的简单编码 24 2.3 常用的简单编码 n二维奇偶监督码 n提高奇偶校验码对突发错误的检测能力 n将若干奇偶校验码排成若干行，然后对每列进行奇偶校验，放在最后 一行。传输时按照列顺序进行传输，在接收端又按照行的顺序检验是 否差错 n由于突发错误是成串发生的，经过传输后错误被分散（交织编码+奇偶 校验） n移动通信中的信道衰落造成突发错误，因此传输前，先将输入的信息 比特交织，将突发错误尽可能分散成随机错误，然后用其它编码方式 来纠正随机的错误 25 2.3 常用的简单编码 n恒比码 n每个码组中的1的个数都一样 n电传机传输汉字时每个汉字用
14、4位阿拉伯数字表示，每个阿拉伯数字用 5个比特的码字表示。由于阿拉伯数字只有10个，因此从32中可能的码 字中挑出 =10个1的个数为3的码字作为阿拉伯数字的编码方式 n译码可以采用查表方法，检错时检查1的个数是否为3 n一般用在电传、电报 阿拉伯数字编码阿拉伯数字编码 101011610101 211001711100 310110801110 411010910011 500111001101 26 2.3 常用的简单编码 nISBN国际统一图书编号 n国际图书的发行中，用编码的方式来防止书号在通信过程 中发生错误 n如通信原理的书号是ISBN 7-118-01429-X n其中第一位数字
15、“7”表示“中国”，“118”表示出版社，“01429”表示 书名编号，最后一位“X”表示校验位（它是罗马数字10的表示） n所采用的校验方式如下所示： n7 1 1 8 0 1 4 2 9 X=10 n7 8 9 17 17 18 22 24 33 43 n7 15 24 41 58 76 98 122 155 198 198 (模11)=0 27 2.4 线性分组码 n差错编码的重点：各种编码和译码的方法 n主要内容 n性质 n基本原理 n校验矩阵（监督矩阵） n生成矩阵 n校正子（伴随式） n汉明码 28 2.4 线性分组码 n定义： n将信息码分组，为每组信息位附加若干监督位，且信 息
16、位和监督位间的关系可由线性方程组表示的编码 n即可用线性方程组表述码的规律性的分组码 n线性分组码（n，k）的性质 n许用码字（组）为2k个 n定义线性分组码的加法为模2加，乘法为二进制乘法。 即有 n1+1=0、1+0=1、0+1=1、0+0=0 n1x1 = 1, 1x 0 =0, 0x0 =0, 0x1 =0 n且码字与码字的运算是各相应比特位上符合上述二进 制加法运算规则 29 2.4 线性分组码 n线性分组码（n，k）的性质（续） n群：集合G上定义了一种加法运算，如果该运算 符合以下4条公理，则称G是该运算的一个群 n封闭性：任何a、b属于G，有a*b属于G n单位元：G中存在一个元素e满足e*a=a n有逆元：任何a属于G，存在b属于G满足a*b=e n结合率成立：a*(b*c)=(a*b)*c n线性分组码的性质： n封闭性。任意两个许用码组的和仍是一个许用码组 n最小码距等
