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1、经济数学模型 第二章 微分方程与差分方程模型 经济数学模型 模型一 利率模型 经济数学模型 一、单利模型 设年利率为r,初始资金量为S0,n年后资金量为Sn n年后的本利和为 经济数学模型 二、复利模型 1、离散型复利模型 每年结算一次，n年后的本利和为 每年结算m次，n年后的本利和为 经济数学模型 2、连续型复利模型 连续结算（瞬时结算），n年后的本利和为 经济数学模型 三、现值模型 1、单利现值模型 若n年后的资金量是Sn,则初期的资金量为 在现值模型中，年利率r也称为折现率 经济数学模型 2、复利现值模型 每年折现一次，若n年后的资金是Sn,则初期的资金 为 经济数学模型 每年折现m次，
2、若n年后的资金量是Sn,则初期的 资金量为 连续折现,若n年后的资金量是Sn,则初期的资 金量为 经济数学模型 模型二 生猪出售问题 经济数学模型 饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备 ，估计使当前80千克重的生猪每天增加2公斤。 问 题 市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降 低 0.1元，问生猪应何时出售。 如果估计和预测有误差，对结果有何影响。 分 析 投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随 时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大 经济数学模型 求 t 使Q(t)最大 10天后出售，可多得利润20元 建模及求解 生猪体重 w=80+rt 出售价格 p=8-gt 销售收入
3、R=pw 资金投入 C=4t 利润 Q=R-C=pw -C 生猪的增长速度r=2， 若当前出售，利润为808=640（元） t 天 出售 =10 Q(10)=660 640 收购价格降低速度g=0.1 经济数学模型 敏感性分析 研究 r, g变化时对模型结果的影响 估计r=2， g=0.1 设g=0.1不变 t 对r 的（相对）敏感度 生猪每天体重增加量r 增加1%，出售时间推迟3%。 r t 经济数学模型 敏感性分析 估计r=2， g=0.1研究 r, g变化时对模型结果的影响 设r=2不变 t 对g的（相对）敏感度 生猪价格每天的降低量g增加1%，出售时间提前3%。 g t 经济数学模型
4、模型三 森林救火问题 经济数学模型 森林失火后，要确定派出消防队员的数量。 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用可能更大。 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。 问题 分析 问题 记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t). 损失费f1(x)是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决定. 救援费f2(x)是x的增函数, 由队员人数和救火时间决定. 存在恰当的x，使f1(x), f2(x)之和最小 经济数学模型 关键是对B(t)作出合理的简化假设. 问题 分析 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 画出
5、时刻 t 森林烧毁面积B(t)的大致图形 t1t20t B B(t2) 分析B(t)比较困难, 转而讨论森林烧毁 速度dB/dt. 经济数学模型 模型假设 3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费） 1）0tt1, dB/dt 与 t成正比，系数 (火势蔓延速度） 2）t1tt2, 降为-x (为队员的平均灭火速度） 4）每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用c3 假设1） 的解释 r B 火势以失火点为中心， 均匀向四周呈圆形蔓延 ，半径 r与 t 成正比 面积 B与 t2成正比， dB/dt与 t成正比. 经济数学模型 模型建立 b 0 t1tt2 假设1）
6、目标函数总费用 假设3）4） 假设2） 经济数学模型 模型 应用 c1,c2,c3已知, t1可估计, c3 , x 结果 解释 c1烧毁单位面积损失费, c2每个队员单位时间灭火费, c3每个队员一次性费用, t1开始救火时刻, 火势蔓延速度, 每个队员平均灭火速度. ,可设置一系列数值 由模型决定队员数量x c1, t1, x 经济数学模型 模型四 产品销售问题（扩展 ） 经济数学模型 一、独家耐用产品销售模型 一种耐用新产品进入市场后，一般会经过 一个销售量先增加，然后下降的过程，称为产 品的生命周期，简记为PLC。PLC曲线可能有若 干种情况，其中有一种为钟型，建立数学模型 分析此现象
7、。 经济数学模型 问题分析 商品信息传播一般有两个途径： w消费者外部信息:广告、亲眼看到商品等。 w消费者内部信息:部分人使用并有所评价,使周围 人了解到有关产品信息。 由于是耐用消费品，所以一般不会重复购买， 故产品累计销售量可以认为是购买者人数。 经济数学模型 建模与求解 设K为潜在的消费者总数。 n(t)为t 时刻购买该产品的人数，在 t , t+t 中，n由两部分组成，n1是由来自消费者外部的产 品信息导致的购买者增量；n2 是由来自消费者内部 传播的产品信息导致的购买者增量。 n1应与未购买者人数成正比，即 经济数学模型 n2应与已购买者人数、未购买者人数之积成正比 ，即 （a，b
8、 0为比例系数） 在 t ,t+t 中，n 总数为 经济数学模型 所以销售量的数学模型为: 其曲线即为PLC 曲线，它的图形为钟型。 经济数学模型 二、两家竞争的销售模型 假设 1、两家企业销售同一种商品，而市场容量是 有限的，设t时刻的市场容量为M(t). 2、设N(t) 是t时刻市场的潜在销量， 分别是甲厂和乙厂的销量。 3、甲、乙两厂销量的变化率都与潜在的市场 销量N(t)成正比。 经济数学模型 建立模型 将（1）、（2）两式相除并两端积分： 经济数学模型 将上式代入（3），再代入（1），得 不妨假设市场容量函数为 t t 0 M(t) 经济数学模型 解得 其中 都是常数。 由此可见，甲
9、、乙两厂的销售模型是同一 类型。 同理 经济数学模型 模型五 最优价格问题 经济数学模型 设某电视机厂生产一台电视机的成本为c, 每台电视 机的销售价格为 p, 销售量为 x。假设该厂的生产处 于平衡状态 ，即电视机的生产量等于销售量。根据 市场预测, 销售量 x与销售价格 p 之间有如下关系： 其中M 为市场最大需求量，a 是价格系数。同时， 生产部门根据对生产环节的分析，对每台电视机 的生产成本 c 有如下测算： 经济数学模型 其中c0 是只生产一台电视机的成本, k 是规模系数。 根据上述条件，应该如何确定电视机的销售价格 p, 才能使该厂获得最大利润？ 分析：在生产和销售商品过程中，商
10、品销售量、 生产成本与销售价格 是相互影响的。厂商只有选 择合理的销售价格最优价格,才能获得最大利润。 经济数学模型 设厂家获得的利润为u, 每台电视机的生产成本 为c,销售价格为p,销售量为x, 则利润函数为 u = (p - c) x (3) 问题变化为在条件(1)(2)下求解利润函数的最大值。 构造拉格朗日函数 经济数学模型 令 经济数学模型 由(8)(9)，可得 由(8)(6)，可得 由(7)，可得 由(10)(11)(12)及(5)，可得 经济数学模型 最优销售价格为 说明： 在最优销售价格p*的表达式中含有待定的规模 参数k、价格系数a。为了确定电视机的最优销售价 格，必须预先给出这些参数。
