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1、概率统计、概率论与数理统计、随机数学课程期 末 复 习 资 料注：以下是考试的参考内容，不作为实际考试范围，考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考。1、能很好地掌握写样本空间与事件方法，会事件关系的运算，了解概率的古典定义2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。5、理解随机变量的概念，能熟练写出(01)分布、二项分布、泊松分布的分布律。6、理解分布函数的概念及性质，理解连续型随机变量的概率密度及性
2、质。7、掌握指数分布(参数)、均匀分布、正态分布，特别是正态分布概率计算8、会求一维随机变量函数分布的一般方法，求一维随机变量的分布律或概率密度。9、会求分布中的待定参数。10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、条件密度函数，会判别随机变量的独立性。11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算。12、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法。14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期
3、望和方差。会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。15、较熟练地求协方差与相关系数.16、了解矩与协方差矩阵概念。会用独立正态随机变量线性组合性质解题。17、了解大数定理结论，会用中心极限定理解题。18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，掌握样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握c2分布(及性质)、t分布、F分布及其分位点概念。19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。20、掌握极大似然估计法，无偏性与有效性的判断方法。21、会求单正态总体均值与方差的置信区间。会求双正态总体均值与方差的置信区间。23、明确假设检验的基本步骤，会U
4、检验法、t检验、检验法、F检验法解题。24、掌握正态总体均值与方差的检验法。概率论部分必须要掌握的内容以及题型1古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。2概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。3准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。4一维、二维离散型随机变量的分布律，连续型随机变量的密度函数性质的运用。分布中待定参数的确定，分布律、密度函数与分布函数的关系，联合分布与边缘分布、条件分布的关系，求数学期望、方差、协方差、相关系数，求函数的分布律、密度函数及期望和方差。5会用中心极限定理解题。6熟记(0-1)分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差，指数
5、分布(参数)、均匀分布、正态分布的密度函数、期望和方差。数理统计部分必须要掌握的内容以及题型1统计量的判断。2计算样本均值与样本方差及样本矩。3熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理。4会求未知参数的矩估计、极大似然估计。5掌握无偏性与有效性的判断方法。6会求正态总体均值与方差的置信区间。7理解假设检验的基本思想和原理，明确正态总体均值与方差的假设检验的基本步骤。概率论部分必须要掌握的内容以及题型1古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。古典概型例子摸球模型例1：袋中有a个白球，个黑球，从中接连任意取出m(ma+)个球，且每次取出的球不再放回去，求第m次取出的球是白球的概率; 例2：袋中
6、有a个白球，个黑球，c个红球，从中任意取出(ma+)个球，求取出的m个球中有k1(a) 个白球、k2(b) 个黑球、k3(c) 个红球(k1k2k3=m)的概率.占位模型例：n个质点在N个格子中的分布问题.设有n个不同质点，每个质点都以概率1/N落入N个格子(Nn)的任一个之中，求下列事件的概率： (1) A=指定n个格子中各有一个质点；(2) B=任意n个格子中各有一个质点；(3) C=指定的一个格子中恰有m(mn)个质点.抽数模型例：在09十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？2概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。如对于事件A，B，或，
7、已知P(A)，P(B)，P(AB)，P(AB)，P(A|B)，P(B|A)以及换为或之中的几个，求另外几个。例1：事件A与B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，求：P(AB)，P(AB)，P(AB)例2：若P(A)=0.4，P(B)=0.7，P(AB)=0.3，求： P(AB)，P(AB)，3准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。若已知导致事件A发生(或者是能与事件A同时发生)的几个互斥的事件B i，i=1,2,n,的概率P(B i) ，以及B i发生的条件下事件A发生的条件概率P(A|B i)，求事件A发生的概率P(A)以及A发生的条件下事件B i发生的条件概率P(B i |
8、A)。例：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。4一维、二维离散型随机变量的分布律，连续型随机变量的密度函数性质的运用。分布中待定参数的确定，分布律、密度函数与分布函数的关系，联合分布与边缘分布、条件分布的关系，求数学期望、方差、协方差、相关系数，求函数的分布律、密度函数及期望和方差。(1)已知一维离散型随机变量的分布律P(X=xi)=pi，i=1,2,
9、n,确定参数 求概率P(aXb) 求分布函数F(x)求期望E(X)，方差D(X)求函数Y=g(X)的分布律及期望Eg(X)例：随机变量的分布律为.1234k2k3k4k确定参数k求概率P(0X3)，求分布函数F(x)求期望E(X)，方差D(X)求函数的分布律及期望(2)已知一维连续型随机变量的密度函数f(x)确定参数求概率P(aXb) 求分布函数F(x)求期望E(X)，方差D(X)求函数Y=g(X)的密度函数及期望Eg(X)例：已知随机变量的概率密度为，确定参数k求概率求分布函数F(x)求期望E(X)，方差D(X)求函数的密度及期望(3)已知二维离散型随机变量(X，Y)的联合分布律P(X=xi
10、，Y=yj)=pij，i=1,2,m,；j=1,2,n,确定参数求概率P(X,Y)G求边缘分布律P(X=xi)=pi.，i=1,2,m,；P(Y=yj)=p.j， j=1,2,n, 求条件分布律P(X=xi|Y=yj)，i=1,2,m,和P(Y=yj|X=xi)， j=1,2,n,求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)求协方差 cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关求函数Z=g(X, Y)的分布律及期望Eg(X, Y)例：已知随机变量(X,Y)的联合分布律为YX012300.050.10.150.210.030.050.050.0720.020.050.10.13求概率P(XY)
11、， P(X=Y)求边缘分布律P(X=k) k=0,1,2 和P(Y=k) k=0,1,2,3 求条件分布律P(X=k|Y=2) k=0,1,2和P(Y=k|X=1) k=0,1,2,3求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)求协方差 cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关求Z=X+Y，W=maxX，Y，V=minX，Y的分布律(4)已知二维连续型随机变量的联合密度函数f(x, y)确定参数求概率P(X,Y)G求边缘密度，判断是否相互独立求条件密度，求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)求协方差 cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关求函数Z=g(X, Y)的密度函数及
12、期望Eg(X, Y)例：已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为，确定常数的值；求概率P(XY)求边缘密度，判断是否相互独立求条件密度，求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)求协方差 cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关5会用中心极限定理解题。例1：每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为2，方差为，求在100次射击中有180到220发炮弹命中目标的概率例2：设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率。6熟记(0-1)分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差，指数分布(参数)、均匀分布、正态分布的密度函数、期望和方差。数理统计
13、部分必须要掌握的内容以及题型1统计量的判断。对于来自总体X的样本，由样本构成的各种函数是否是统计量。2计算样本均值与样本方差及样本矩。3熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理。4会求未知参数的矩估计、极大似然估计。例：设总体的概率密度为，是来自总体的一个样本，求未知参数的矩估计量与极大似然估计量.5掌握无偏性与有效性的判断方法。对于来自总体X的样本，判断估计量是否无偏，比较哪个更有效。例：设是来自总体的一个样本，下列统计量是不是总体均值的无偏估计； 求出方差，比较哪个更有效。6会求正态总体均值与方差的置信区间。 对于正态总体，由样本结合给出条件，导出参数的置信区间。7理解假设检验的基本思
14、想和原理，明确正态总体均值与方差的假设检验的基本步骤。 对于单、双正态总体根据给定条件，确定使用什么检验方法，明确基本步骤。例：设，u和未知，(X1，Xn)为样本，(x1,xn)为样本观察值。(1)试写出检验u与给定常数u0有无显著差异的步骤；(2)试写出检验与给定常数比较是否显著偏大的步骤。1古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。古典概型例子 摸球模型例1：袋中有a个白球，个黑球，从中接连任意取出m(ma+)个球，且每次取出的球不再放回去，求第m次取出的球是白球的概率; 分析：本例的样本点就是从a+中有次序地取出m个球的不同取法；第m次取出的球是白球意味着：第次是从a个白球中取出一球，再在a+-1个球中取出m-1个球。解：设B第m次取出的球是白球 样本空间的样本点总数： 事件B包含的样本点： ，则 注：本例实质上也是抽签问题，结论说明按上述规则抽签，每人抽中白球的机会相等，同抽签次序无关。例2：袋中有4个白球，5个黑球，6个红球，从中任意取出9个球，求取出的9个球中有1 个白球、3个黑球、5个红球的概率.解：设B取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球 样本空间的样本点总数： =5005 事件B包含的样本点： =240，则 P(B)=120/1001=0.048占位模
