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1、3.4基本不等式 1.利用基本不等式解决简单的最大值、最小值问题；（重点） 2.会合理拆项或凑项，会应用基本不等式；（重点） 3.会求给定条件的最值问题； 4.能证明一些简单的不等式. 教学目标 2.基本不等式常用变形： 1基本不等式 (1)基本不等式成立的条件：_. (2)等号成立的条件：当且仅当_时取等号 (1) (a，bR) (2) (a，b同号) (3） (a，bR) (4) (a，bR) 基础回扣 3算术平均数与几何平均数:设a0，b0，则a，b的算术平均 数为_，几何平均数为_，基本不等式可叙述为：两个 正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 4利用基本不等式求最值问题: 已知x0
2、，y0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当_时，xy有 最小值是_.(简记：积定和最小) (2)如果和xy是定值p，那么当且仅当_时，xy有最大 值是_.(简记：和定积最大) xy xy 问题探讨与解题研究 类型一 求含有两个变量的最值问题 【例1】(1)若x-3，则x+ 的最小值为_. (2)已知a，b为正实数且a+b=1，则(1+ )(1+ )的最小值为_. 【解题指南】(1)将原式等价变形构造出应用基本不等式形式 可解. (2)将 与 中的1用a+b代换整理后利用基本不等式可求. 【规范解答】(1)由x-3得x+30, 又x+ =x+3+ -32 -3，等号成立的条件是 x+3=
3、 ,即x= -3. 答案：2 -3 (2)a0,b0,a+b=1, 1+ =1+ =2+ ,同理1+ =2+ , (1+ )(1+ )=(2+ )(2+ )=5+2( + )5+4=9,等号成立 的条件为a=b= . 答案：9 【练习】已知x0,y0,且xy=4x+y+12,求xy的最小值. 【解析】x0,y0, 当且仅当4x=y时 由4x=y且xy=4x+y+12,得x=3,y=12. 此时xy有最小值36. 【小结】求条件最值的策略 求条件最值是基本不等式的一个重要应用.应用基本不等式 求最值时，通过对所给式进行巧妙分拆、变形、组合、添 加系数使之能够出现定值是解题的关键；必须指出等号成
4、立的条件. 例1、已知 a0,b0,a+b=1, 求证： 类型二、利用基本不等式证明简单的不等式 分析：由于不等式左边含字母a,b，右边无字母，直接使用 基本不等式，既无法约掉字母，不等号方向又不对，因 a+b=1，能否把左边展开，实现“1”的代换？ 当且仅当 时取等号. 【小结】利用基本不等式证明其他不等式的两个思路 (1)利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不 等式的形式，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式 进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的条件； (2)若题目中还有已知条件，则首先观察已知条件和所证不等式 之间的联系，当已知条件中含有1时，要注意1
5、的代换.另外，解 题中要时刻注意等号能否取到. 类型二、利用基本不等式解决恒成立问题 【小结】当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出 时，可直接求出这个最值(最值可能含有参数)，然后建立 关于参数的不等式求解 1.若正数a，b满足ab-(a+b)=1，则a+b的最小值是( ) (A) (B) (C) (D) 当堂检测 【解析】选A.由于ab-(a+b)=1，ab=a+b+1.而 ，令a+b=t(t0), 解得 ，即 3、已知a0,b0，若不等式 恒成立，则m的最 大值等于( ) (A)10 (B)9 (C)8 (D)7 【解析】选B. 由于a0,b0，所以不等式可化为 而 当且仅当 即a=b时 取最小值9，所以不等式恒成立时m的最大值等于9. 4.下列结论中正确的是( ) (A)若a0,则 (B)若x0,则 (C)若a+b=1,则 (D)若a+b=1,则 【解析】选C.当a0时，有 故A错误 . 当x0时，不一定有ln x0，故 不一定成立， B错误.当a+b=1时， 故a2+b2=(a+b)2-2ab=1- 2ab 因此C正确，D错误.
