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1、 不发生热膨胀 在高温时，比热是常数 两个格波之间不发生相互作用，不交换能量， 单个格波不会衰减 弹性常数与压力和温度无关 实际实际 情况并非如此 非简谐简谐 效应应 准简谐处 理：非简谐项 是个小量时：声子+微 扰 热膨胀 热传导 简谐简谐 近似的局限 热胀冷缩 * 温度升高，晶体体积膨胀 温度升高？ 晶格振动能量增大 晶体体积膨胀？ 原子平均间距或晶格常数增加 严格的简谐振动不会产生热膨胀？ 7、热热膨胀胀 热热膨胀胀定性分析 简谐简谐 近似下，平 衡位置与温度无 关，始终终是r0， 即晶体体积积不会 变变化 简谐简谐 近似不能说说 明膨胀现胀现 象 只有考虑虑非简简 谐谐效应应才能说说
2、明热热膨胀现胀现 象 考虑一维原子链。如果两个原子的间距为r， 根据玻尔兹曼统计，温度T时原子的能量分布 为 那么两个原子之间的平均间距为 热热膨胀胀定量计计算 如果用简谐简谐 近似 简谐简谐 近似下，平均间间距不随温度变变化 U是的偶函数 如果用非简谐简谐 近似 展开 分母略去高次项项后，可得 线膨胀系数直接与非简谐系数有关 如果只计入势能的三次项时，线膨胀系数与 温度无关，否则，还需计入势能的更高次项 上述讨论只适用偏离平衡位置较小时的情况 ，太高，晶体已被融化而不复存在 线线膨胀胀系数为为 于是得 其中 压强、熵、比热等都可用自由能表示 晶格的自由能分为两部分，一部分与结构有关 ，另一部
3、分与晶格振动有关(与温度有关)，为 根据统计力学，第i支格波的配分函数Zi 忽略格波相互作用，总的配分函数为 Grueneisen状态态方程 于是可得自由能为（第一项结构能） 由于非谐振动，体积改变时，频率变化，因 而压强 Grueneisen假定这是一个对所有的振动都相同 的与温度无关的常数(Grueneisen常数) 于是压强为 即得Grueneisen状态方程 热膨胀系数定义为 对各向同性的立方晶体，线膨胀系数是体膨 胀系数的1/3，即 热热膨胀胀与Grueneisen常数 利用 按定义，体积弹性模量为 于是 热膨胀系数与比热成正比 弹性模量和Grueneisen常数基本与温度无关 热热
4、膨胀胀系数与温度的关系与比热热相似 利用Grueneisen状态方程和 可得 证证明简谐简谐 近似下，Grueneisen常数为为零，不能 说说明热热膨胀胀。 解：这时这时 ，体积积相当于 而频谱频谱 例：一维单维单 原子链链 n取整数 如果在简谐简谐 近似下，力常数与晶格常数无关 这这里 因此，简谐简谐 近似不能说说明热热膨胀胀 Grueneisen常数就不为为零，热热膨胀胀系数不为为零 Grueneisen常数是一个与非简谐简谐 效应应有关的量 ，一般在12之间间 如果存在非简谐项简谐项 ，则则 8、热传导热传导 固体导热导热 ：电电子导热导热 +？ 晶格导热导热 ：格波的传传播 考察理想
5、气体热传导热传导 ？ 思考：什么在热传导热传导 中决定作用？ 碰撞！温度高区域的分子运动动到温度低的区域 时时，通过过碰撞，把平均动动能传给传给 其他分子； 反过过来也一样样，这样这样 的能量传递传递 宏观观上就表 现为热传导现为热传导 ，热导热导 率为为 与温度有关 因此如果将晶格热热运动动系统统看作是声子气， 则则晶格导热导热 就是声子扩扩散的过过程 看作从声子密度高的区域向低的区域扩扩散 声子是能量子，声子的“定向流动动”就意味着能 量输输运，形成热传导热传导 理想气体：温差能量输输运热传导热传导 晶格振动热传导动热传导 ？ 晶格振动动声子分布 与温度有关的声子分布的均匀过过程如何建立？
6、 靠相互作用，靠碰撞？ 简谐简谐 近似：格波独立，声子间间没有相互作用！ 必须须考虑虑非简谐简谐 效应应声子与声子之间间的 碰撞，各个格波之间间有相互作用 简谐简谐 振动动热传导热传导 ? 一个声子的存在会引起周期性弹弹性应变应变 这这种弹弹性应变应变 如果较较大，则则不能再用简谐简谐 近 似来描写 这样这样 ，非简谐弹简谐弹 性应变对应变对 晶体的弹弹性常数产产 生空间间和时间时间 上的调调制 第二个声子感受到这这种弹弹性常数的调调制，受到 散射而产产生第三个声子 声子之间间相互作用的图图象 将有限温度下的晶体想象成包含声子气的容器 不同模式的声子具有不同的动动量，能量 速度，按Debye近
7、似，声速 声子间间的相互作用就象气体间间分子的碰撞一样样 ，交换动换动 量、能量简谐简谐 近似下不可能 虽虽然当作气体分子处处理，但注意：声子是晶格 振动动的能量量子，是一种元激发发，不具有质质量 ，声子数也不守恒，可以产产生和湮灭灭 声子气 如果势势能的非简谐项简谐项 比简谐项简谐项 小得多时时，用 微扰扰，这时这时 声子仍可看作是理想气体，但声子 之间间有相互作用碰撞 用与理想气体同样样的方法可以得到同样样的结结果 该该式中的比热热已知，平均速度可用声子速度代 替，问题问题 是如何确定声子平均自由程？ 晶体热传导热传导 系数 平均自由程取决于声子碰撞 理论论分析非常复杂杂：取决于声子与声子
8、之间间的 碰撞，还还有声子与杂质杂质 的碰撞，声子与样样品 边边界的碰撞 声子与声子之间间碰撞：三声子碰撞过过程的动动量 、能量守恒关系（Gh是倒格矢） N过过程 常称N过过程(Normal process)，对应对应 q1和q2较较小 声子的动动量没有发发生变变化，因此，N过过程只改 变变声子的动动量分布 如果声子的总动总动 量为为零，就没有热热流 在热热平衡下，由于 因此，N过过程由于只改变变声子的动动量分布，而 基本上不影响热热流的方向 正常过过程： Gh等于零 U过过程 对应对应 q1和q2较较大，与B区的尺度可比才能发发生 ，能量大的格波参与才能发发生 这这种格波数随温度下降很快，因
9、此，U过过程可 改变变声子数的分布 这这种过过程对热导对热导 率的下降十分有效 如果只有N过过程，热热流一旦建立，不会衰减 常称U过程(Umklapp Process) 声子总的动量改变了一个非零的倒格矢的动量 倒逆过过程： Gh不等于零 典型情况：高温 即在高温时时，平均声子数正比于温度T 声子数随温度增加，碰撞几率增大，平均自由 程减少，与温度成反比 高温时时，声子数为为 高温时时，比热热与温度无关，则则 色散关系w(q) 中子非弹性散射 吸收或发射声子 为什么中子？ 9、确定振动谱动谱 的实验实验 方法 中子性质质 中子仅仅与核有相互作用，可以毫无困难难地穿透 晶体 使用中子能量：0.01eV数量级级，与声子的能量 相同数量级级 这样这样 能量的中子的德布洛依波长长几个埃，与晶 格常数同数量级级 中子和声子相互作用 能量守恒 kk 动量守恒 + 激发声子 - 吸收声子 选择倒格矢Gh 使q在第一布里 渊区 守恒关系现为
