2.连续时间信号与系统的时域分析

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1、第 2 章 线性时不变连续系统的时域分析2.1 学习要求（1）了解微分方程的建立与求解；（2）掌握初始条件的确立方法；（3）熟练掌握零输入响应与零状态响应；（4）熟练掌握冲激响应和阶跃响应的建立与意义；（5）熟练掌握卷积积分及其性质；（6）了解相关的概念和性质。2.2 学习重点（1）冲激响应的概念及其计算；（2）零输入响应和零状态响应的概念及其求解方法；（3）卷积积分的概念及其性质。2.3 知识结构线性时不变系统时域经典法系统微分方程的 求解系统微分方程的建立特解齐次解卷积法零状态零输入法零输入响应 状态零状态响应 输入单位冲激响应意义与求解卷积的求解 性质与计算线性线性2.4 内容摘要2.4

2、.1 系统微分方程的建立电路系统中，常用元件的电压电流关系如下：电阻： )(1)(tvRti电感： ，dtiLt )(d)(10tivLti Lt电容： ，tvCti)()(tLCCtiit0)()(02.4.2 系统微分方程的求解系统微分方程的解可分两部分：齐次解和特解。（1）齐次解齐次解满足齐次方程 0)()()(11 tyadtdtyadtynn的解，其解的形式为 函数的线性组合。tce 特征根各不相同时，齐次解为tntth ecety321)( 当特征根有重根时，如 有 重根，则响应于 的重根部分将有 项，形如1k1ktktkttkh ececty 112)( 当特征根有一对单复根，即

3、 ，则微分方程的齐次解1,2ajb tectectyatth sinos)(2 当特征根有一对 重复根，即共有 重 的复根，则微分方程的齐次m,1解 btetcbttecbty atmah ososos)( 121 tddatatt ininin12（2）特解特解的函数形式与激励函数的形式有关，如表 2.4.1。表 2.4.1 与几种典型类型激励函数对应的特解激励函数 )(tx响应函数 的特解)(ty(常数)EBpt 1121 ppbttbate atecostin ttsinco21)cos(tetapint tedttdbbatpptsin)(co11注:表中 、 、 是待定系数。Bbd2

4、.4.3 起始点的跳变：从 到 状态的转换0（1）当系统用微分方程表示时，系统从 到 状态有没有跳变取决于微分方程右端0自由项是否包含 及其各阶导数项)(t（2）可以用冲激函数匹配法确定 、 等状态，见习题 2.3 的解答。)(y)(2.4.4 系统的零输入响应与零状态响应（1）零输入响应系统的零输入响应是当系统没有外加激励信号时的响应。零输入响应 是满足齐次方程)(tyzi 0)()()1(1)( tyattann及起始状态 的解,它是齐次解的一部分0)(ky，nktzizi kect1)(由于没有外界激励作用，因而系统的状态不会发生跳变， ，所以)0()(kky中的常数 可由 确定。)(t

5、yzi zikc)0(ky（2）零状态响应所谓零状态，是指系统没有初始储能，系统的起始状态为零，即 0)()0()( 1)1 nyy这时仅由系统的外加激励所产生的响应称为零状态响应 。)(tyzs零状态响应 由起始状态为零时的方程)(tyzs 10)0( )()()( 0111，nky txbtdtxbdtxyattyatyk mmnn所确定。系统的零状态响应 为)(tyzs)(tyzspzshzs其中 和 分别为齐次解和特解。)(tyzsh)(tzsp（3）系统的线性 系统响应可以分解为零输入响应与零状态响应之和。 零输入线性，即零输入响应与起始状态之间满足线性特性。 零状态线性，即零状态响

6、应与激励之间满足线性特性。 2.2.5 连续时间系统的冲激响应与阶跃响应（1）冲激响应系统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响)(t应，用 表示。亦即，冲激响应是激励为单位冲激信号 时系统的零状态响应。)(th )(t在时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。因果系统的冲激响应为 ， 0)(tht（2）阶跃响应一线性时不变系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用 表示。阶跃响应是激励为单位阶跃函数 时，系统)(tg )(tu的零状态响应阶跃响应 与冲激响应 之间的关系为 )(tg)(th或 d

7、t)()(tgdth2.2.6 卷积积分（1）卷积积分的定义1212()()()ytftft（2）卷积积分的图解法用图解法能直观地说明卷积积分的计算过程，而且便于理解卷积的概念。两个信号和 的卷积运算可通过信号的翻褶、移位、乘积和积分得到。具体如下：)(1tf2tf（1）变量转换： ，11()ftf22()ftf（2）翻褶： 22（3）移位： ()()fft（4）乘积： 21（5）积分： d)()(21tfty见习题 6.12 题(4)、(6)小题的解法（3）卷积运算的性质 交换律： )()(121tftf 结合律： )( 3232 tftftf 分配律： )()( 111tff 与冲激信号的

8、卷积： tf)()()00tf 与冲激偶 的卷积： )(t tft 与阶跃信号 的卷积： uduft)()( 卷积的微分与积分如果 ，则有)()(21tfty；)(21 tff。 ttt dfddy )()()( 11)(2)()( tftftjiji（4）用卷积积分法求系统的零状态响应对于任一时刻 系统的零状态响应为 t tzs dhxy0)()(2.2.7 相关（1）互相关 能量有限信号 121212()()()dRftdtftft 212112()()()Rftdtftdt 功率有限信号21212 )(lim)( tftT2121 d)(li)(TtftR互相关性质： 。)(2112（2

9、）自相关 能量有限信号： ()()()Rftdtftftd 功率有限信号： 21)(limtftT自相关性质： )(R 时，相关性最强， 最大。0t 0 余弦函数的自相关仍为余弦（3）卷积与相关的关系 1212()*()Rftt2.5 典型例题例 2.1、已知系统微分方程为 ，若 ， ，解得d()()yttf(0)1y()sin2()fttu全响应为 ，t0。全响应中 为（ ）25()sin(454tytet 2i45t（a）零输入响应分量 (b)零状态响应分量 (c)自由响应分量 (d)稳态响应分量答案：（d）分析：响应中 不含齐次解 ，所以答案(a)(b)(c)都不是2sin(45)t25

10、4te例 2.2、两线性时不变系统分别为 S1 和 S2，初始状态均为零。将激励信号 先通过 S1()ft再通过 S2，得到响应 ；将激励信号 先通过 S2 再通过 S1，得到响应 。则1()yt()ft 2y与 的关系为_。1()yt2t答案： 12()ytt分析：该题是考查级联系统的交换率：两线性时不变系统级联时，交换级联顺序保持不变例 2.3、计算 ，其中“*”表示卷积。d()(*tft解： d() )*()t tf fttft例 2.4、已知信号 和 如图 2.5.1 所示 1(x2)1(tt30322 2()xtt3103图 2.5.1试计算 ，并画出 的波形。12()()xtxt(

11、)xt解： 1 11*2)(2)()txtt波形如下图所示 ()tt0135351例 2.5、 已知 ，可以求得 （ ）)()(,)(21 tuetfutfa)(*21ft(a) (b) (c) (d) atet)ateu()ateu答案：(c)分析：两因果信号卷积一定是因果信号，且 时，有0t12110 1()*()()t aatftffdee例 2.6、计算 _。tdeut答案： ()t分析：采用卷积的微分性质： ()*()*()*()t t t tddeueueueut例 2.7、 一起始储能为零的系统，当输入为 时，系统响应为 ，则当输入为t3()teu时，系统的响应为 。()t答案：

12、 3()teu分析：线性系统的微分特性的 33()()t tdeuteu例 2.8、一线性时不变系统在相同的初始状态下，当激励为 时，其全响应为xt；当激励为 时，其全响应为 。试求在1()2cos()tytet2()xt2()cos(2)tyetu同样初始条件下，激励为 时系统的全响应。4(xt解：设全响应 由零状态响应 和零输入响应 组成，全响应 由零状态1()yt1)zsyt1()ziyt2()yt响应 和零输入响应 组成，则有2zs 2(zi（1）111()cos()tzsziyttytetu（2）222(tzszi ， ，两种输入的初始条件一样)1tx)(txt ， （3）(12yz

13、szs12tyzizi根据（1） （2） （3）式，可得1()()cos()tziseuyt ，初始条件不变)(43txt ，1yzszs )(13tytzizi33()()44co2()siszit tteteu2.6 习题全解2.1 如题图 2.1 所示机械位移系统，质量为 的刚体一端由弹簧牵引，弹簧的另一端固定m在壁上，弹簧的刚度系数为 。刚体与地面间的摩擦系数为 ，外加牵引力为 ，求kf)(tFS外加牵引力 与刚体运动速度 间的关系。)(tFS)(tv题图 2.1解：由机械系统元件特性，拉力 与位移 成正比，即kFxkFx又 ()()txvd所以， ()tkFtxkvd刚体在光滑表面滑

14、动，摩擦力与速度成正比，即 ()fFtv根据牛顿第二定律以及整个系统力平衡的达朗贝尔原理，可得 ()()()ts dtfvkmvt整理得2 sdmtftkFt2.2 题图 2.2 所示电路，输入激励是电流源 ，试列出电流 及 上电压 为输)(tis )(tiL1R)(1tu出响应变量的方程式。题图 2.2解：由电路的基尔霍夫电流定律可得： （1）()()CLSitit根据电容特性， （2）()Cditut由电路的基尔霍夫电压定律可得： （3）12()()CLLdtRititRit将 代入（2）得21()()CLLutitRitid（4）212()()LCdditititit代入（4）得，()()CSLitit2211()()()S LSLddddititRititRit整理得， （5）212 1()()()()LLLSSRRddditititititCLC将 ，即 代入（5）得111()()(CSLutiit1()LSutit2112111()()()()()S SSSStRuttRdd di iiititt tRCLC整理得，2 2121121 1()()()()SStdut ititdLd