生物统计 第10章 协方差分析.

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1、第十章 协方差分析 下一张 退 出 上一张 主要内容：主要内容： 协方差分析的意义协方差分析的意义 对协方差进行统计控制对协方差进行统计控制 估计协方差组分估计协方差组分 单因素试验资料的协方差分析单因素试验资料的协方差分析 协方差分析有二个意义协方差分析有二个意义 ： 一是对试验进行统计控制；一是对试验进行统计控制； 二是对协方差组分进行估计。二是对协方差组分进行估计。 上一张 下一张 退 出 一、对试验进行统计控制一、对试验进行统计控制 为了提高试验的精确性和准确性，对处为了提高试验的精确性和准确性，对处 理以外的一切条件都需要采取有效措施严加理以外的一切条件都需要采取有效措施严加 控制，

2、使它们在各处理间尽量一致，这叫控制，使它们在各处理间尽量一致，这叫试试 验控制。验控制。 上一张 下一张 退 出 但在有些情况下，即使作出很大努力也但在有些情况下，即使作出很大努力也 难以使试验控制达到预期目的。难以使试验控制达到预期目的。 例如例如：研究几种配合饲料对猪的增重效：研究几种配合饲料对猪的增重效 果，希望试验仔猪的初始重相同，果，希望试验仔猪的初始重相同，因为仔猪因为仔猪 的初始重不同，将影响到猪的增重。的初始重不同，将影响到猪的增重。 上一张 下一张 退 出 经研究发现 增重与初始重之间存在线性回归关系。但 是，在实际试验中很难满足试验仔猪初始重相 同这一要求。 这时可利用仔猪

3、的初始重(记为 x)与其增重(记为y)的回归关系，将仔猪增重都 矫正为初始重相同时的增重，于是初始重不同 对仔猪增重的影响就消除了。 下一张 退 出 上一张 由于矫正后的增重是应用统计方法 将初始重控制一致而得到的，故叫统计 控制。 下一张 退 出 上一张 统计控制是试验控制的一种辅助手段统计控制是试验控制的一种辅助手段。经过。经过 这种矫正，试验误差将减小，对试验处理效应估这种矫正，试验误差将减小，对试验处理效应估 计更为准确。计更为准确。 若若 y y 的变异主要由的变异主要由 x x 的不同造成的不同造成( (处理没有显处理没有显 著效应著效应) )，则各矫正后的，则各矫正后的 间将间将

4、没有显著差异没有显著差异( (但但 原原 y y 间的差异可能是显著的间的差异可能是显著的) )。 退 出 下一张 上一张 若若 y y 的变异除掉的变异除掉 x x 不同的影响外，不同的影响外， 尚存在不同处理的显著效应，则可期望各尚存在不同处理的显著效应，则可期望各 间将有显著差异间将有显著差异 ( (但原但原 y y 间差异可能是间差异可能是 不显著的不显著的) )。此外，矫正后的。此外，矫正后的 和原和原 y y 的的 大小次序也常不一致。大小次序也常不一致。 上一张 下一张 退 出 处理平均数的回归矫正和矫正平均数的 显著性检验，能够提高试验的准确性和精确 性，从而更真实地反映试验实

5、际。 这种将回归分析与方差分析结合在一起 ，对试验数据进行分析的方法，叫做协方差 分析(analysis of covariance)。 退 出 下一张 上一张 二、估计协方差组分 在第八章曾介绍过表示两个相关变量线性相 关性质与程度的相关系数的计算公式： 下一张 退 出 上一张 若将公式右端的分子分母同除以自由度(n-1) ，得 （10-1） 下一张 退 出 上一张 其中: 是 x 的均方MSx，是 x 的 方差 的无偏估计量； 是 y 的均方MSy，是 y 的 方差 的无偏估计量。 退 出 下一张 上一张 称为x与y的平均的离均差的乘 积和，简称均积，记为MPxy，即 （10-210-2）

6、 退 出 下一张 上一张 与均积相应的总体参数叫协方差（ covariance），记为COV(x,y)或 。统计学证 明了，均积MPxy是总体协方差COV(x,y)的无偏估 计量，即 EMPxy= COV(x,y)。 于是，样本相关系数r可用均方MSx、MSy， 均积MPxy表示为： （10-3） 下一张 退 出 上一张 相应的总体相关系数可用x与y的总体标准差 、 ，总体协方差COV(x,y)或 表示如下： （10-4） 下一张 上一张 退 出 均积与均方具有相似的形式 ， 也 有相似的性质。在方差分析中，一个变 量的总平方和与自由度可按变异来源进 行剖分，从而求得相应的均方。 下一张 退

7、出 上一张 统计学已证明：两个变量的总乘积 和与自由度也可按变异来源进行剖分而 获得相应的均积。这种把两个变量的总 乘积和与自由度按变异来源进行剖分并 获得获得相应均积的方法亦称为协方差 分析。 下一张 退 出 上一张 在随机模型的方差分析中，根据均方MS 和 期望均方 EMS 的关系，可以得到不同变异来源 的方差组分的估计值。 同样，在随机模型的协方差分析中，根据均 积 MP 和期望均积 EMP 的关系，可得到不同变 异来源的协方差组分的估计值。有了这些估计值 ，就可进行相应的总体相关分析。 退 出 下一张 上一张 这些分析在遗传、育种和生态、环保的 研究上是很有用处的。 由于篇幅限制， 本

8、章只介绍对试验进行 统计控制的协方差分析。 退 出 下一张 上一张 第二节第二节 单因素试验资料协方差分析单因素试验资料协方差分析 设有k个处理、n次重复的双变量 试验资料，每处理组内皆有n对观测值 x、y，则该资料为具 kn 对x、y观测 值的单向分组资料，其数据一般模式 如表10-1所示。 下一张 退 出 上一张 退 出 下一张 上一张 表表10-1 10-1 knkn对观测值对观测值 x x 、 y y 的单向分组资料的一般形式的单向分组资料的一般形式 表表10-110-1的的 x x 和和 y y 变量的自由度和平方变量的自由度和平方 和的剖分参见单因素试验资料的方差分析方和的剖分参见

9、单因素试验资料的方差分析方 法一节。其乘积和的剖分则为：法一节。其乘积和的剖分则为： 总变异的乘积和SPT 是xji与 和yji与 的离均差乘积之和 ，即： (10-5) 下一张 退 出 上一张 其中其中: : 退 出 下一张 上一张 处理间的乘积和SPt 是 与 和 与 的离均差乘积之和乘 以n，即： (10-6) 退 出 下一张 上一张 处理内的乘积和处理内的乘积和SpSp e e 是是 与与 和和 与与 的离均差乘积之的离均差乘积之 和，即：和，即： (10-7) (10-7) 上一张 下一张 退 出 以上是各处理重复数n相等时的计算公式， 若各处理重复数n不相等，分别为n1、n2、nk

10、 ，其和为 ，则各项乘积和与自由度的计 算公式为： (10-8) 下一张 退 出 上一张 退 出 下一张 上一张 【例10.1】 为了寻找一种较好的哺乳仔猪食欲增 进剂，以增进食欲，提高断奶重，对哺乳仔猪做了 以下试验： 试验设对照、配方1、配方2、配方3共 四个处理，重复12 次，选择初始条件尽量相近的长 白种母猪的哺乳仔猪48头 ，完全随机分为4组进行 试验，结果见表10-2，试作分析。 下一张 退 出 上一张 下一张 退 出 上一张 表表102 102 不同食欲增进剂仔猪生长情况表不同食欲增进剂仔猪生长情况表 （单位：（单位：kgkg） 此例， k=4，n=12，kn=412=48 退

11、出 下一张 上一张 协方差分析的计算步骤如下： (一)求x变量的各项平方和与自由度 1.总平方和与自由度 dfT（x）=kn-1=412-1=47 退 出 下一张 上一张 2 2、处理间平方和与自由度、处理间平方和与自由度 退 出 下一张 上一张 3 3、处理内平方和与自由度、处理内平方和与自由度 退 出 下一张 上一张 (二)求y变量各项平方和与自由度 1.总平方和与自由度 下一张 退 出 上一张 2.处理间平方和与自由度 退 出 下一张 上一张 3.3.处理内平方和与自由度处理内平方和与自由度 退 出 下一张 上一张 (三) x和y两变量得各项离均差乘积和与自由度 1.总乘积和与自由度 下

12、一张 退 出 上一张 2.2.处理间乘积和与自由度处理间乘积和与自由度 退 出 下一张 上一张 3.处理内乘积和与自由度 平方和、乘积和与自由度的计算结果列于表 10-3。 退 出 下一张 上一张 表表10-3 10-3 x x与与 y y 的平方和与乘积和的平方和与乘积和 退 出 下一张 上一张 (四) 对x和y各作方差分析(表10-4) 表10-4 初生重与50日龄重的方差分析 下一张 退 出 上一张 分析结果表明，4种处理的供试仔猪平均 初生重间存在着极显著的差异，其50 日龄平 均重差异不显著。须进行协方差分析，以消 除初生重不同对试验结果的影响，减小试验 误差，揭示出可能被掩盖的处理

13、间差异的显 著性。 下一张 退 出 上一张 (五) 协方差分析 1.误差项回归关系的分析 2.对校正后的y作方差分析 3.根据线性回归关系计算各处理的校正y的平均值。 4.各处理校正y的平均值间多重比较。 退 出 下一张 上一张 1.1.误差项回归关系的分析误差项回归关系的分析 误差项回归关系分析的意义是要从剔除处误差项回归关系分析的意义是要从剔除处 理间差异的影响的误差变异中找出理间差异的影响的误差变异中找出5050日龄重日龄重 ( (y y ) )与初生重与初生重( ( x x ) )之间是否存在线性回归关系。之间是否存在线性回归关系。 计算出误差项的回归系数并对线性回归计算出误差项的回归

14、系数并对线性回归 关系进行显著性检验关系进行显著性检验，若显著则说明两者间，若显著则说明两者间 存在回归关系。这时就可应用线性回归关系存在回归关系。这时就可应用线性回归关系 来校正来校正 y y 值值(50(50日龄重日龄重) )以消去仔猪初生重以消去仔猪初生重( ( x x) ) 不同对它的影响。不同对它的影响。 然后然后根据校正后的根据校正后的 y y 值值( (校正校正5050日龄重日龄重) )来来 进行方差分析进行方差分析。如线性回归关系不显著，则。如线性回归关系不显著，则 无需继续进行分析。无需继续进行分析。 退 出 下一张 上一张 回归分析的步骤如下：回归分析的步骤如下： (1)

15、(1) 计算误差项回归系数，回归平方和，离计算误差项回归系数，回归平方和，离 回归平方和与相应的自由度。回归平方和与相应的自由度。 从误差项的平方和与乘积和求误差项从误差项的平方和与乘积和求误差项 回归系数：回归系数： 上一张 下一张 退 出 误差项回归平方和与自由度 (10-11) dfR(e) = 1 下一张 退 出 上一张 误差项离回归平方和与自由度 (10-12) 退 出 下一张 上一张 (2) (2) 检验回归关系的显著性检验回归关系的显著性( (表表105) 105) 表表10-5 10-5 哺乳仔猪哺乳仔猪5050日龄重与初生重的日龄重与初生重的 回归关系显著性检验表回归关系显著

16、性检验表 退 出 下一张 上一张 F F 检验表明检验表明，误差项回归关系极显著，误差项回归关系极显著， 表明哺乳仔猪表明哺乳仔猪5050日龄重与初生重间存在日龄重与初生重间存在极显极显 著著的线性回归关系。因此，可以利用线性回的线性回归关系。因此，可以利用线性回 归关系来归关系来校正校正 y y ，并并对校正后的对校正后的 y y 进行方差分进行方差分 析。析。 退 出 下一张 上一张 2.对校正后的50日龄重作方差分析 (1)求校正后的50日龄重的各项平方和及自由度 利用线性回归关系对50日龄重作校正 ，并由 校正后的50日龄重计算各项平方和是相当麻烦的， 统计学已证明，校正后的总平方和、误差平方和及 自由度等于其相应变异项的离回归平方和及自由度 ，因此，其各项平方和及自由度可直接由下述公式 计算。 下一张 退 出 上一张 校正校正5050