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1、4.1.4.1.1 1 雅可比矩阵雅可比矩阵 两空间之间速度的线性映射关系雅可比矩阵（简称雅可比 ）。它可以看成是从关节空间到操作空间运动速度的传动比，同 时也可用来表示两空间之间力的传递关系。 v x vy 存在 怎样 的关 系 第四章第四章 机器人雅可比机器人雅可比 4.1 4.1 微分变换与雅可比矩阵微分变换与雅可比矩阵 首先来看一个两自由度的 平面机械手，如图3-17所示。 图3-17 两自由度平面机械手 容易求得 将其微分得 写成矩阵形式 假设关节速度为 ，手爪速度为 。 简写成 ： dx=Jd。 式中J就称为机械手的雅可比（Jacobian）矩阵，它由函数x ，y的偏微分组成，反映
2、了关节微小位移d与手部（手爪）微小运 动dx之间的关系。 对dx=Jd两边同除以dt，得 可以更一般的写成 。 因此机械手的雅可比矩阵定义为它的操作空间速度与关节空 间速度的线性变换。 （或v）称为手爪在操作空间中的广义速度 ，简称操作速度， 为关节速度。 J若是6n的偏导数矩阵，它的第i行第j列的元素为 ： 式中，x代表操作空间，q代表关节空间。 若令J1，J2分别为上例中雅可比矩阵的第一列矢量和第二列 矢量，即 可以看出，雅可比矩阵的每一列表示其它关节不动而某一关节以 单位速度运动产生的端点速度。 由 ，可以看出，J阵的值随手爪位置的 不同而不同，即1和2的改变会导致J的变化。 对于关节空
3、间的某些形位，机械手的雅可比矩阵的秩减少， 这些形位称为操作臂（机械手）的奇异形位。上例机械手雅可比 矩阵的行列式为： det(J)=l1l2s2 当2=0或2=180时，机械手 的雅可比行列式为0，矩阵的秩为1 ，因此处于奇异状态。在奇异形位 时，机械手在操作空间的自由度将 减少。 只要知道机械手的雅可比J是满秩的方阵，相应的关节速度即 可求出，即 。 上例平面2R机械手的逆雅可比 于是得到与末端速度 相应的关节速度： 显然，当2趋于0（或180）时，机械手接近奇异形位，相应的 关节速度将趋于无穷大。 4.1.2 微分变换 为了补偿机器人末端执行器位姿与目标物体之间的误差，以 及解决两个不同
4、坐标系之间的微位移关系问题，需要讨论机器人 杆件在作微小运动时的位姿变化。 一.变换的微分 假设一变换的元素是某个变量的函数，对该变换的微分就是 该变换矩阵各元素对该变量的偏导数所组成的变换矩阵乘以该变 量的微分。 若它的元素是变量x的函数，则变换T的微分为: 例如给定变换T为： 二. 微分运动 所以得 设机器人某一杆件相对于基坐标系的位姿为T，经过微运动 后该杆件相对基坐标系的位姿变为T+dT，若这个微运动是相对 于基坐标系（静系）进行的(左乘)，总可以用微小的平移和旋转 来表示，即 根据齐次变换的相对性，若微运动是相对某个杆件坐标系i（动系 ）进行的(右乘)，则T+dT可以表示为 则相对基
5、系有dT=0T，相对i系有dT=Ti 。这里的下标不同是由 于微运动相对不同坐标系进行的。 所以得 令 为微分算子 三.微分平移和微分旋转 由于微分旋转0 ，所以sind，cos1，Vers0，将 它们代入旋转变换通式(p27)中得微分旋转表达式: 微分平移变换与一般平移 变换一样，其变换矩阵为: 于是得微分算子 四. 微分旋转的无序性 当0 时，有sind，cos1若令x=dx，y=dy， z=dz，则绕三个坐标轴(p16)的微分旋转矩阵分别为 略去高 阶无穷 小量 两者结果相同，可见这里左乘与右乘等效左乘与右乘等效。 同理可得 结论：结论： 微分旋转其结果与转动次序无关，这是与有限转动（一
6、般旋微分旋转其结果与转动次序无关，这是与有限转动（一般旋 转）的一个重要区别。转）的一个重要区别。 若Rot（x，y，z） 和Rot（x，y，z） 表示两 个不同的微分旋转，则两次连续转动的结果为： 上式表明：上式表明：任意两个微分旋转的结果为绕每个轴转动的元素的代 数和，即微分旋转是可加的。 kxd=x， kyd=y ， kzd=z 所以有 由等效转轴和等效转角与 等效，有 即 将它们代入得 因此可以看成由 和 两个矢量组成， 叫微分转动矢量， 叫微分平移矢量。分别表示为 和 合称为微分运动矢量，可表示为 解： 例：已知一个坐标系A ，相对固定系的微分平 移矢量 ，微分旋转矢量 ， 求微分变
7、换dA。 五五. .两坐标系之间的微分关系两坐标系之间的微分关系 因为 将它们代入前面的方程 现在讨论i系和j系之间的微分关系。不失一般性，假定j系就 是固定系（基系）0系。 整理得到： 得 其中 上式简写成 对于任何三维矢量 ，其反对称矩阵 定义为： 相应地，任意两坐标系A和B之间广义速度的坐标变换为： 例：知坐标系A及相对于固定系的微分平移矢 量 ，微分旋转矢量 ，求A 系中等价的微分平移矢量dA和微分旋转矢量 A。 解：因为已知 ，可以根据前面的公式求得dA和A。也可 根据与它一样的另一组表达式（写法不同）求解，即 求得 ， 代入代入 4.24.2 机器人的静力学机器人的静力学 机器人与
8、外界环境相互作用时，在接触的地方要产生力 和 力矩 ，统称为末端广义（操作）力矢量。记为 n个关节的驱动力（或力矩）组成的n维矢量 称为关节力矢量 y0 x0 存在怎样的关系 利用虚功原理，令各关节的虚位移为qi ，末端执行器相应 的虚位移为D。根据虚位移原理，各关节所作的虚功之和与末端 执行器所作的虚功应该相等，即 简写为: 又因为 , 所以得到 与 之间的关系 式中 称为机械手的力雅可比。它表示在静态平衡状态下， 操作力向关节力映射的线性关系。 若J是关节空间向操作空间的映射（微分运动矢量），则 把操作空间的广义力矢量映射到关节空间的关节力矢量。 关节空间操作空间 雅可比J 力雅可比JT
9、若已知 则有 T 0 0 T B A A B JT J 根据前面导出的两坐标系A和B之间广义速度的坐标变换 关系，可以导出A和B之间广义操作力的坐标变换关系。 解：由前面的推导知 例 :如图3-18所示的平面2R机械手，手爪端点与外界接触，手爪 作用于外界环境的力为 ，若关节无摩擦 力存在，求力 的等效关节力矩 。 所以得： 图3-18 关节力和操作力关系 y0 x0 例：如图所示的机械手夹扳手拧螺丝，在腕部（Os）装有力/力矩 传感器，若已测出传感器上的力和力矩 ，求这 时作用在螺钉上的力和力矩 。( ) 解：根据图示的相应位姿关系得 因此可得两坐标系的微分运动关系和静力传递关系为： S T
10、 S T 微分运动关系时： 静力传递关系时： 4.3.4.3.1 Lagrange1 Lagrange动力学动力学 对于任何机械系统，拉格朗日函数L定义为系统总的动能K 与总的势能P之差，即L=K-P。这里，L是拉格朗日算子；k是动 能；P是势能。 或 利用Lagrange函数L，系统的动力学方程（称为第二类 Lagrange方程）为： 表示动能， 表示势能。 4.34.3 机器人的动力学机器人的动力学 例：平面RP机械手如图所示，连杆1和连杆2的质量分别为m1和 m2，质心的位置由l1和d2所规定，惯性张量为（z轴垂直纸面）： 解：连杆1，2的动能分别为： 机械手总的动能为 连杆1，2的势能分别为 机械手总的位能（势能）为 计算各偏导数 将以上结果代入Lagrange方程 得 附：就前面的1自由度机械手用Lagrange法求解如下： 总势能为 代入Lagrange方程 得 ，与前面的结 果一致。这里I=IZ=IC+mL2C 解：总动能 （为广义坐标） z mg .若1自由度机械手为匀质连 杆，质量为m，长度为L，结 果会怎样？ .若1自由度机械手为集中质量连杆，长度为L，集中质量m在连 杆末端L处，结果会怎样？ z Class is over. Bye-bye!
