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1、6.3 参数的区间估计 前面，我们讨论了参数点估计. 它 是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个 近似值，它没有反映出这个近似值的误 差范围，使用起来把握不大. 区间估计 正好弥补了点估计的这个缺陷 . 譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若 我们根据一个实际样本，得到鱼数N的极 大似然估计为1000条. 若我们能给出一个区间，在此区间 内我们合理地相信 N 的真值位于其中. 这 样对鱼数的估计就有把握多了. 实际上，N的真值可能大于1000条， 也可能小于1000条. 也就是说，我们希望确定一个区间，使我 们能以比较高的可靠程度相信它包含真参 数值. 湖中鱼数的真
2、值 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的， 称为置信概率，置信度或置信水平. 习惯上把置信水平记作 ，这里 是一个 很小的正数. 置信水平的大小是根据实际需要选定的. 例如，通常可取置信水平 =0.95或0.9等. 根据一个实际样本，由给定的置信水平，我 小的区间 ，使们求出一个尽可能 置信区间. 称区间 为 的置信水平为 的 寻找置信区间的方法,一般是从确定 误差限入手. 使得 称 为 与 之间的误差限 . 我们选取未知参数的某个估计量 ，根 据置信水平 ，可以找到一个正数 ， 只要知道 的概率分布，确定误差限并不难. 由不等式可以解出 ： 这个不等式就是所求的置信区间. 一、 置信区间定
3、义： 满足 设 是 一个待估参数，给定 若由样本X1,X2,Xn确定的两个统计量 则称区间 是 的置信水平（置信度、 置信概率）为 的置信区间. 分别称为置信下限和置信上限. 一旦有了样本，就把 估计在区间 内. 这里有两个要求: 可见， 对参数 作区间估计，就是要设法找出 两个只依赖于样本的界限(构造统计量) (X1,Xn) (X1,Xn) 2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间 长度 尽可能短，或能体现该要求的其 它准则. 1. 要求 以很大的可能被包含在区间 内，就是说，概率 要尽可能大. 即要求估计尽量可靠. 可靠度与精度是一对矛盾， 一般是在保证可靠度的条件下 尽可能提高精度.
4、选 的点估计为 求参数 的置信度为 的置信区间. 例1 设X1,Xn是取自 的样本， N(0, 1) 二、置信区间的求法 寻找未知参数的 一个良好估计. 解： 寻找一个待估参数和 估计量的函数 ，要求 其分布为已知. 有了分布，就可以求出 Z取值于任意区间的概率. 对给定的置信水平 查正态分布表得 对于给定的置信水平(大概率), 根据Z的分布， 确定一个区间, 使得Z取值于该区间的概率为 置信水平. 使 从中解得 也可简记为: 于是所求 的 置信区间为 从例1解题的过程，我们归纳出求置 信区间的一般步骤如下: 1. 明确问题, 是求什么参数的置信区间? 置信水平 是多少? 2. 寻找参数 的一
5、个良好的点估计 T (X1,X2,Xn) 称S(T, )为枢轴量. 3. 寻找一个待估参数 和估计量T的函数 S(T, ),且其分布为已知. 4. 对于给定的置信水平 ，根据S(T, ) 的分布，确定常数a, b，使得 P(a S(T, )b)= 5. 对“aS(T, )b”作等价变形,得到如下 形式: 则 就是 的100( )的置信区间. 可见，确定区间估计很关键的是要寻找 一个待估参数 和估计量T 的函数S(T, ), 且S(T, )的分布为已知, 不依赖于任何未知 参数 (这样我们才能确定一个大概率区间). 而这与总体分布有关，所以，总体分布的 形式是否已知，是怎样的类型，至关重要. 这
6、里，我们主要讨论总体分布为正态 的情形. 若样本容量很大，即使总体分布 未知，应用中心极限定理，可得总体的近 似分布，于是也可以近似求得参数的区间 估计. 教材上讨论了以下几种情形： 单个正态总体均值 和方差 的区间估计. 两个正态总体均值差 和方差比 的区间估计. 概率 p 的区间估计. 下面我们举几个例子，其余部分请自己看. 休息片刻继续 例2 已知某地区新生婴儿的体重X 随机抽查100个婴儿 得100个体重数据 X1,X2,X100 的区间估计求和（置信水平为1- ）. 解：这是单总体均值和方差的估计 已知 先求均值 的区间估计. 因方差未知，取 对给定的置信度 ,确定分位数 使 即 均
7、值 的置信水平为 的区间估计. 即为 从中解得 取枢轴量 从中解得 再求方差 的置信水平为 的区间估计. 对给定的置信度 ,确定分位数 使 于是 即为所求. 需要指出的是，给定样本，给定置信水 平，置信区间也不是唯一的. 对同一个参数，我们可以构造许多置信区间. N(0, 1) 取枢轴量 由标准正态分布表，对任意a、b，我们可 以求得P( aZb) . 例如，设X1,Xn是取自 的样本， 求参数 的置信水平为 的 置信区间. N(0, 1) 例如，由P(-1.96Z1.96)=0.95 我们得到 均值 的置信水平为 的 置信区间为 由 P(-1.75Z2.33)=0.95 这个区间比前面一个要
8、长一些. 置信区间为 我们得到 均值 的置信水平为 的 我们总是希望置信区间尽可能短. 类似地，我们可得到若干个不同的置信 区间. 任意两个数a和b，只要它们的纵标包含 f(u)下95%的面积，就确定一个95%的置信 区间. 在概率密度为单峰且对称的情形，当a =-b时 求得的置信区间的长度为最短. a =-b 即使在概率密度不对称的情形，如 分布，F分布，习惯上仍取对称的百分位点 来计算未知参数的置信区间. 我们可以得到未知参数的的任何置信水 平小于1的置信区间，并且置信水平越高， 相应的置信区间平均长度越长. 也就是说，要想得到的区间估计可靠 度高，区间长度就长，估计的精度就差. 这是一对
9、矛盾. 实用中应在保证足够可靠的前提下，尽 量使得区间的长度短一些 . 例3 某单位要估计平均每天职工的总医疗费， 观察了30天,其总金额的平均值是170元，标准 差为30元，试决定职工每天总医疗费用平均值 的区间估计（置信水平为0.95）. 解：设每天职工的总医疗费为X， 近似服从正态分布 大样本，由中心极限定理， E(X)= ,D(X)= 未知，用样本标准差S近似代替. 取枢轴量 近似N(0,1)分布 对给定的置信水平 , 确定分位数 使 得均值 的置信水平为 的区间估计为 将 =170,S=30, =1.96,n=30代入得, 的置信水平为0.95的置信区间是 ( 159.27, 180
10、.74 ) 得均值 的置信水平为 的区间估计为 6.5 单侧置信区间 上述置信区间中置信限都是双侧的，但 对于有些实际问题，人们关心的只是参数在 一个方向的界限. 例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均 寿命过长没什么问题，过短就有问题了. 这时，可将置信上限取 为+，而只着眼于置信下 限，这样求得的置信区间叫 单侧置信区间. 于是引入单侧置信区间和置信限的定义： 满足 设 是 一个待估参数，给定 若由样本X1,X2,Xn确定的统计量 则称区间 是 的置信水平为 的 单侧置信区间. 称为单侧置信下限. 又若统计量 满足 则称区间 是 的置信水平为 的 单侧置信区间. 称为单侧置信上限. 设灯泡寿命服从正态分布. 求灯泡寿命均 值 的置信水平为0.95的单侧置信下限. 例4 从一批灯泡中随机抽取5只作寿命试 验，测得寿命X（单位：小时）如下： 1050，1100，1120，1250，1280 由于方差 未知，取枢轴量 解： 的点估计取为样本均值 对给定的置信水平 ，确定分位数 使 即 于是得到 的置信水平为 的单侧置 信区间为 将样本值代入得 的置信水平为0.95的单侧置信下限是 1065小时 的置信水平为 的单侧置信下限为即 P149中表6-1,已将各种情况下的区间 估计加以总结.
