《2017-2018学年高中数学 第四章 导数应用 4.2 导数在实际问题中的应用 4.2.2.1 利用导数求函数的最大（小）值 北师大版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第四章 导数应用 4.2 导数在实际问题中的应用 4.2.2.1 利用导数求函数的最大（小）值 北师大版选修1-1（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.2.2.1 利用导数求函数的最大(小)值 1.理解最大值、最小值的概念. 2.会利用导数求函数在闭区间上的最大(小)值. 函数的最大值与最小值 函数y=f(x)在a,b上的最大(小)值点x0指的是:函数在这个区间上 所有点的函数值都不超过(不小于)f(x0).最大值或者在极大值点取 得,或者在区间的端点取得.函数的最大值和最小值统称为最值. 【做一做1】 设f(x)是a,b上的连续函数,且在(a,b)内可导,则下 面结论中正确的是( ) A.f(x)的极值点一定是最值点 B.f(x)的最值点一定是极值点 C.f(x)在区间(a,b)上可能没有极值点 D.f(x)在区间a,b上可能没有最值点
2、 答案:C 答案:A 题型一题型二题型三 求函数的最值 分析:先对函数求导,再求出极值与区间端点的函数值,从而确定 最大值与最小值. 题型一题型二题型三 反思1.当函数多项式的次数大于2或用传统方法不易求最值时, 可考虑用导数的方法求解. 2.比较极值与端点函数值大小时,有时需要利用作差或作商,甚至 需要分类讨论,由函数的最值求参数值. 题型一题型二题型三 【变式训练1】 已知函数f(x)=ax3+c,且f(1)=6,函数在1,2上的 最大值为20,则c的值为( ) A.1B.4C.-1D.0 解析:f(x)=ax3+c, f(x)=3ax2. 则f(1)=3a=6,a=2. f(x)=2x3
3、+c,f(x)=6x20, f(x)在1,2上是增加的. f(x)的最大值为f(2)=16+c=20, c=4. 答案:B 题型一题型二题型三 利用导数求含参的函数的最值 【例2】 已知函数f(x)=x3-ax2+3x,x=3是函数f(x)的极值点,求函数 f(x)在区间1,5上的最大值和最小值. 解:由f(x)=x3-ax2+3x,得f(x)=3x2-2ax+3. 根据题意,x=3是函数f(x)的极值点,得 f(3)=0,即27-6a+3=0,解得a=5. 所以f(x)=x3-5x2+3x. 所以f(x)=3x2-10x+3. 令f(x)=0,得x=3或 (舍去). 当1f(-2), 因为在
4、(-1,3)上f(x)0, 所以f(x)在-1,2上是增加的, 所以f(-1)是f(x)的极小值,且f(-1)=a-5. 所以f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间-2,2上的最大值和最小值, 于是有22+a=20,解得a=-2. 所以f(-1)=-2-5=-7, 即函数f(x)在区间-2,2上的最小值为-7. 题型一题型二题型三 已知函数最值求参数值 【例3】 已知函数f(x)=ax3-6ax2+b在-1,2上有最大值3,最小值- 29,求a,b的值. 解:由题意,知a0. 因为f(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),x-1,2, 所以令f(x)=0,得x=0或x=4(舍去). 若
5、a0,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: 由上表,知当x=0时,f(x)取得最大值,所以f(0)=b=3,又因为f(2)=- 16a+3,f(-1)=-7a+3, 故f(-1)f(2), 题型一题型二题型三 所以当x=2时,f(x)取得最小值, 即-16a+3=-29,解得a=2. 若af(-1). 所以当x=2时,f(x)取得最大值,即-16a-29=3,解得a=-2. 题型一题型二题型三 反思若参数变化影响着函数的单调性变化,要对参数进行分类讨论 . 题型一题型二题型三 答案:C 123456 1.函数y=f(x)在a,b上( ) A.极大值一定比极小值大 B.极大值一定是最
6、大值 C.最大值一定是极大值 D.最大值一定大于极小值 答案:D 123456 2.函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间-4,4上的最大值为10,则k的值为( ) A.-5B.5C.-15D.15 解析:f(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1). 令f(x)=0,得x=3或x=-1. 因为f(-4)=k-76,f(3)=k-27, f(-1)=k+5,f(4)=k-20. 由f(x)max=k+5=10,得k=5. 答案:B 123456 3.若函数f(x)=x3-3x-a在区间0,3上的最大值、最小值分别为 M,N,则M-N的值为( ) A.2B.4C.18D.20 解析:f(x)=3x2-3,令f(x)=0得x=1. 当0xf(0), 最大值为f(3), 即M=f(3),N=f(1)M-N=f(3)-f(1)=(18-a)-(-2-a)=20. 答案:D 123456 123456 123456 6.求函数f(x)=x3-3x2+6x-5在区间-1,1上的最值. 解:f(x)=3x2-6x+6=3(x-1)2+3. 因为f(x)在-1,1上恒大于0,所以f(x)在-1,1上是增加的. 所以当x=-1时,f(x)取得最小值,即f(-1)=-15; 当x=1时,f(x)取得最大值,即f(1)=-1. 故函数f(x)的最大值为-1,最小值为-15.
