《2017-2018学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.3.1 双曲线及其标准方程 北师大版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.3.1 双曲线及其标准方程 北师大版选修2-1（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.3.1 双曲线及其标准方程 1.理解并掌握双曲线的定义,了解双曲线的焦点、焦距. 2.掌握双曲线的标准方程,能利用定义求标准方程并会分析解决 有关问题.掌握用待定系数法求轨迹方程及分类讨论的数学思想方 法的运用. 1.双曲线的定义 我们把平面内到两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(大于 零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线. 定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫作双曲线的 焦距. 说明:(1)在双曲线定义中“常数要大于0且小于|F1F2|”这一限制条 件十分重要,不可去掉. (2)如果定义中常数改为等于|F1F2|,此时动点轨迹是以F1,F2为端 点的两条射线
2、(包括端点). (3)如果定义中常数为0,此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线. (4)如果定义中常数改为大于|F1F2|,此时动点轨迹不存在. (5)若把定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉,点的轨迹就成为 双曲线的一支. 【做一做1】 下列命题是真命题的是 .(将所有真命题 的序号都填上) 已知定点F1(-1,0),F2(1,0),则满足|PF1|-|PF2|= 的点P的轨迹 为双曲线; 已知定点F1(-2,0),F2(2,0),则满足|PF1|-|PF2|=4的点P的轨迹为 两条射线; 到定点F1(-3,0),F2(3,0)距离之差的绝对值等于7的点P的轨迹为 双曲线; 若点P到定点
3、F1(-4,0),F2(4,0)的距离之差的绝对值等于点 M(1,2)到点N(-3,-1)的距离,则点P的轨迹为双曲线. A.-11或k-1 解析:方程表示双曲线,则1+k与k-1异号, 即(1+k)(k-1)0. 解得-1k1. 答案:A 故c=10. 由P是双曲线上一点,得|PF1|-|PF2|=16. 所以|PF2|=1或|PF2|=33, 当|PF2|=1时,|PF1|+|PF2|=1820=|F1F2|,不合题意,应舍去.故 |PF2|=33. 答案:33 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 反思求双曲线的标准方程时,可以根据其焦点的位置设
4、出标准方 程的形式,然后用待定系数法求出a,b的值;若双曲线的焦点的位置 难以确定,可设出双曲线方程的一般式,利用条件,通过待定系数法 求出系数的值,从而可写出双曲线的标准方程. 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 解:如图所示,当点P在双曲线的左支上时,PF1F2的内切圆与 PF1,PF2,F1F2切于点Q,M,N. 由已知条件,得a=4,b=3, c=5. 根据圆的切线长定理及双曲线的定义,可得 |NF2|=|MF2|,|PM|=|PQ|,|QF1|=|F1N|, |NF2|+|MF2|=|PF2|+|F1F2|-|PM|-|F1N|, 即2|N
5、F2|=|PF2|-|PF1|+|F1F2|. |NF2|= (8+10)=9, |ON|=|NF2|-|OF2|=4. 切点N的坐标为(-4,0),根据对称性,当点P在双曲线的右支上时, 切点N的坐标为(4,0). 题型一题型二题型三 反思在圆锥曲线问题中,圆锥曲线的定义非常重要,正确运用定义 可以巧妙地解决看似非常困难的题目.再者当我们已知某点在圆锥 曲线上时应想到:(1)该点满足圆锥曲线的定义;(2)该点的坐标满足 圆锥曲线的方程. 题型一题型二题型三 【变式训练2】 已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x- 4)2+y2=2内切,求动圆圆心M的轨迹方程. 题型一
6、题型二题型三 易错点 易将双曲线中a,b,c的关系与椭圆的混淆 双曲线中a,b,c的关系式是c2=a2+b2,c最大,而椭圆中a,b,c的关系 式是a2=b2+c2,a最大,注意它们的不同之处. 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 1 2 3 4 5 6 1.在方程mx2-my2=n中,若mn0,则方程表示的曲线是( ) A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在x轴上的双曲线 C.焦点在y轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的双曲线 解析:要判断曲线的类型,需先化为标准形式,由题设条件知,是双曲 线.再根据x2,y2的系数的正负确定焦点的位置.方程mx2-my2=n,可 答案:D 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 |PF1|PF2|=32,则PF1F2的面积为 . 解析:设|PF1|=3x,|PF2|=2x,则|PF1|-|PF2|=x=2,则|PF1|=6,|PF2|=4,再 由余弦定理即可求出PF1F2的面积. 答案:12
