《2017-2018学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.1.3 导数的几何意义 新人教a版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.1.3 导数的几何意义 新人教a版选修1-1（55页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.1.3 导数的几何意义 主题题1 导导数的几何意义义 1.如图图(1)l1是否为为曲线线在点A处处的切线线?l2是否为为曲线线 在点B处处的切线线?l2是否为为曲线线在点C处处的切线线? 提示:l1不是曲线在点A处的切线;l2是曲线以点B为切点 的切线,不是以点C为切点的切线. 2.你能不能类类比圆圆的割线线和切线线的动态动态 关系,结结合图图(2)直观观地感知,当PnP时时 对应对应 的一般曲线线的切线线? 提示:当PnP时,割线趋于确定的位置,这个确定位置 上的直线就是曲线在点P处的切线. 3.问题问题 2从直观观上感知了“割线线逼近切线线”的变变化过过 程,进进一步,如图图(3)如何
2、研究割线线方程和切线线方程的 变变化关系? 提示:割线逼近切线,不妨设点 P(x0,y0),Pn(x0+x,f(x0+x).割线PPn的方程为y- f(x0)= (x-x0), 当PnP,即x0时,变化的最终结果是 =f(x0),故切线方程就是y-y0= f(x0)(x-x0). 结论结论 :导导数的几何意义义 曲线线y=f(x)在点_处处的切线线的斜率,用符号 表示为为f(x0)=_=_. P(x0,f(x0) k 【微思考】 求曲线线在某点P(x0,y0)处处的切线线方程时时易忽略什么? 提示:易忽略切点在曲线上或忽略切点在切线上. 主题题2 导导数的概念 已知函数y=x2,完成下表: x
3、123456 f(x)_ 24681012 结论结论 :导导函数的定义义: 当x变变化时时,f(x)是x的一个函数,称它为为f(x)的导导函 数(简简称导导数), 即f(x)=y=_. 【微思考】 导导函数f(x)与函数在x=x0处处的导导数f(x0)相同吗吗? 它们们有什么区别别与联联系? 提示:不相同.y=f(x)导函数为f(x),f(x0)是y=f(x) 在x0处的导数. 【预习预习 自测测】 1.函数y=f(x)在x=x0处处的导导数f (x0)的几何意义义是 ( ) A.在点x0处处的斜率 B.在点(x0,f(x0)处处的切线线与x轴轴所夹夹的锐锐角的正切值值 C.曲线线y=f(x)
4、在点(x0,f(x0)处处切线线的斜率 D.点(x0,f(x0)与点(0,0)连线连线 的斜率 【解析】选C.由导数的几何意义可知函数y=f(x)在x=x0 处的导数f (x0),即为曲线在点(x0,f(x0)处的切线 的斜率. 2.设设f (x0)=0,则则曲线线y=f(x)在点(x0,f(x0)处处的切 线线 ( ) A.不存在 B.与x轴轴平行或重合 C.与x轴轴垂直 D.与x轴轴斜交 【解析】选B.曲线在点(x0,f(x0)处的切线斜率为0,切 线平行或重合于x轴. 3.函数f(x)=x3+4x+5的图图象在x=1处处的切线线在x轴轴上的 截距为为 ( ) A.10 B.5 C.-1
5、D.- 【解析】选D.因为f(x)=x3+4x+5, 所以f(x)=3x2+4, 所以f(1)=7,即切线斜率为7, 又f(1)=10,故切点坐标为(1,10), 所以切线的方程为:y-10=7(x-1),当y=0时,x=- . 4.过过曲线线y=2x上两点(0,1),(1,2)的割线线的斜率为为 _. 【解析】依题意得,割线的斜率为 =1. 答案:1 5.抛物线线y2=x与x轴轴、y轴轴都只有一个公共点,但只有 _是它的切线线,而_不是它的切线线. 【解析】根据曲线在某点处的切线的定义知y轴是曲线 y2=x的一条切线,x轴不是切线. 答案:y轴 x轴 6.如图图,函数f(x)的图图象是折线线
6、段ABC,其中A,B,C的坐 标标分别为别为 (0,4),(2,0),(6,4),试试求 的值值. 【解析】由导数的概念和几何意义知, =f (1)=kAB= =-2. 类类型一 求曲线线的切线线方程 【典例1】(1)曲线线y=x3+11在点P(1,12)处处的切线线与y轴轴 交点的纵纵坐标标是 ( ) A.-9 B.-3 C.9 D.15 (2)已知曲线线方程为为y=x2,则过则过 点A(2,4)且与曲线线相切 的直线线方程为为_. 【解题指南】(1)先求出函数y=x3+11在x=1处的导数,再 求出切线方程,最后求与y轴交点的纵坐标. (2)由于点A在曲线上,可利用导数的几何意义,求出切
7、线的斜率,再利用点斜式写出直线的方程. 【解析】(1)选C.y|x=1= 所以曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线方程为y-12= 3(x-1),即3x-y+9=0, 令x=0,解得y=9, 所以曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵 坐标是9. (2)因为f(x)= = (2x+x)=2x, 又点A(2,4)在曲线y=x2上,所以f(2)=4, 所以所求切线的斜率k=4, 故所求切线的方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. 答案:4x-y-4=0 【延伸探究】 1.在本例(2)中若将“点A(2,4)”改为为“点B(0,0)”, 则结则结 果如何? 【解析
8、】因为f(x)= = (2x+x)=2x, 又点B(0,0)在曲线y=x2上,所以f(0)=0, 所以所求切线的斜率k=0, 故所求切线的方程为y-0=0(x-0),即y=0. 2.在本例(2)中若将“点A(2,4)”改为为“点C(3,5)”, 则结则结 果如何? 【解析】因为点C(3,5)不在曲线y=x2上, 所以设切点坐标为(x0,x02). 因为f(x)= (2x+x)=2x,所以f(x0)=2x0, 所以切线的斜率k=2x0, 切线方程为y-x02=2x0(x-x0),又因为点C(3,5)在切线上, 所以5-x02=2x0(3-x0),解得x0=1或x0=5. 所以切点坐标为(1,1)
9、,(5,25). 故所求切线方程为y-1=2(x-1)或y-25=10(x-5), 即2x-y-1=0或10x-y-25=0. 【方法总结总结 】 1.求曲线线在点P(x0,y0)处处切线线的步骤骤 (1)求出函数y=f(x)在点x0处处的导导数f (x0). (2)根据直线线的点斜式方程,得切线线方程为为y-y0= f (x0)(x-x0). 2.过过曲线线外的点P(x1,y1)求曲线线的切线线方程的步骤骤 (1)设设切点为为Q(x0,y0). (2)求出函数y=f(x)在点x0处处的导导数f (x0). (3)利用Q在曲线线上,点P(x1,y1)在切线线上和f (x0)=kPQ,解出x0,
10、y0及f (x0). (4)根据直线线的点斜式方程,得切线线方程为为y-y0= f (x0)(x-x0). 【补偿训练补偿训练 】在曲线线y=x2上,点P处处的切线线垂直于直线线 2x-6y+5=0,则则P点坐标为标为 ( ) A.(2,4) B. C. D.(-2,4) 【解析】选B.f(x)= 设P(x0,y0)是满足条件的点, 因为切线与直线2x-6y+5=0垂直, 所以2x0 =-1,得x0=- ,y0= . 类类型二 求曲线线的切点 【典例2】已知曲线线y=2x2+a在点P处处的切线线方程为为8x-y -15=0,求切点P的坐标标和实实数a的值值. 【解题指南】根据切线方程得到切线斜
11、率为8,即 f(x)=8,解导数方程即可得到结论. 【解析】设切点P的坐标为(x0,y0),切线斜率为k. 由y= = (4x+2x)=4x, 得k=y| =4x0.根据题意得4x0=8,x0=2, 分别代入y=2x2+a和y=8x-15,得a=-7,y0=1. 故所求切点为P(2,1),a=-7. 【方法总结总结 】求曲线线切点坐标标的步骤骤 (1)设设切点:先设设出切点坐标标(x0,y0). (2)求斜率:求切线线的斜率f(x0). (3)列方程:由斜率间间的关系列出关于x0的方程,解方程 求x0. (4)求切点:因点(x0,y0)在曲线线上,将(x0,y0)代入曲线线 方程求y0,得切点
12、坐标标. 【巩固训练训练 】如果曲线线y=x3+x-10的一条切线线与直 线线y=4x+3平行,那么曲线线与切线线相切的切点坐标为标为 ( ) A.(1,-8) B.(-1,-12) C.(1,-8)或(-1,-12) D.(1,-12)或(-1,-8) 【解析】选C.设切点坐标为P(x0,y0), 则y0=x03+x0-10的切线斜率为k= = (3x02+1)+3x0x+(x)2=3x02+1=4,所以x0=1, 当x0=1时,y0=-8,当x0=-1时,y0=-12, 所以切点坐标为(1,-8)或(-1,-12). 类类型三 导导数几何意义义的综综合应应用 【典例3】(1)若曲线线y=x
13、2+ax+b在点(0,b)处处的切线线方 程为为x-y+1=0,则则 ( ) A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1 C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1 (2)(2017福州高二检测检测 )已知函数f(x)的图图象如图图所 示,下列数值值的排序正确的是 ( ) A.0f(2)f(3)f(3)-f(2) B.0f(3)f(3)-f(2)f(2) C.0f(3)f(2)f(3)-f(2) D.0f(3)-f(2)f(2)f(3). 【方法总结总结 】有关导导数的几何意义义的综综合问题问题 的求解 策略 (1)转转化:利用导导数的几何意义义把问题转问题转 化为为求切线线方 程或切点坐标问
14、题标问题 . (2)数形结结合:注意方程思想、数形结结合思想的应应用. 【巩固训练训练 】已知抛物线线y=x2,直线线x-y-2=0,求抛物线线 上的点到直线线的最短距离. 【解析】根据题意可知与直线x-y-2=0平行的抛物线 y=x2的切线对应的切点到直线x-y-2=0的距离最短. 设切点坐标为(x0,x02),则 所以x0= ,所以切点坐标为 切点到直线x-y-2=0的距离为 所以抛物线上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 . 【补偿训练补偿训练 】(2017泰安高二检测检测 )如果f(x)是二 次函数,且f(x)的图图象开口向上,顶顶点坐标为标为 (1, ), 那么曲线线y=f(x)上
15、任一点的切线线的倾倾斜角的取值值范 围围是 ( ) 【解题指南】由二次函数的图象可知最小值为 ,再根 据导数的几何意义可知k=tan ,结合正切函数的 图象求出角的范围. 【解析】选B.根据题意得f(x) ,则曲线y=f(x)上 任一点的切线的斜率k=tan ,结合正切函数的图 象可得 【课课堂小结结】 1.知识总结识总结 2.方法总结总结 (1)函数y=f(x)在点x0处处的导导数的几何意义义是曲线线 y=f(x)在点P(x0,f(x0)处处切线线的斜率.也就是说说,曲线线 y=f(x)在点P(x0,f(x0)处处的切线线的斜率是f(x0),相 应应地,切线线的方程为为y-f(x0)=f(x0)(x-x0). (2)导导数f(x)是针对针对 某一区间间内任意点x而言的,函数 f(x)在区间间(a,b)内每一点都可导导,是指对对于区间间(a,b) 内的每一个确定的值值x0,都对应对应 着一个确定的导导数 f(x0),根据函数的定义义,在区间间(a,b)内就构成了一 个新的函数,就是函数f(x)的导导函数f(x).
