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1、材材 料料 力力 学学 * * 第四章 弯 曲 内 力 1 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力 本章内容: 1 弯曲的概念和实例 2 受弯杆件的简化 3 剪力和弯矩 4 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图 5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 6 平面曲杆的弯曲内力 2 4. 1 弯曲的概念和实例 工程问题中，有很多杆件是受弯曲的。 F F1 1 F F2 2 3 l 弯曲变形 F F1 1 F F2 2 载荷垂直于杆的轴线， 以弯曲变形为主的杆件 轴线由直线曲线 称为梁。 l 对称弯曲 若梁 (1) 具有纵向对称 面; (2) 所有外力都作 用在纵向对称 则轴线变形后也是该对称面内的曲线。面内。 4
2、 4. 2 受弯杆件的简化 1 支座的几种基本形式 u 固定铰支座 5 1 支座的几种基本形式 u 固定铰支座 u 可动铰支座 u 向心轴承 6 u 向心轴承 u 向心止推轴承 7 u 固定端约 束 FAx FAy 2 载荷的简化 u 集中 力 u 集中力偶u 分布载荷 3 静定梁的基本形式 主要研究等直梁。 8 3 静定梁的基本形式 主要研究等直梁。 u 简支梁 u 外伸梁 u 悬臂梁 9 4. 3 剪力和弯矩 下面求解梁弯曲时的内力。 u 例子 已知：q = 20 kN/m, 尺寸 如图。 求：D截面处的内力。 x 求内力的方法截面法。截面法。解：建立x坐标如图。 (1) 求支座反力 RA
3、 RAx RC 取整体，受力如图。 10 (1) 求支座反力 取整体，受力如图。 x RARC RAx (2) 求D截面内力 从D处截开，取左段。 x RA QD 横截面上的内力如图。 RAx N MD 11 (2) 求D截面内力 从D处截开，取左段。 横截面上的内力如图。 x RA QD MD N RAx 规律 Q = 截面一侧所有横向外力代数和 M = 截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和 12 x RARC RAx 若从D处截开，取右段。 横截面上的内力如图。 x RA QD MD N RAx RC QD MD 计算可得QD, MD的数值与取左段所得结果相同。 但从图上看，它们的方向相
4、反。 剪力和弯矩的正负号规则如何？ 13 l 剪力和弯矩的正负号规定 Q Q u 剪力 使其作用的一 段梁产生顺时 针转动的剪力 为正。 u 弯矩 使梁产生上凹 (下凸)变形的 弯矩为正。 14 4. 4 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图 u 剪力方程 x RA RAx RC u 弯矩方程 F 上例 中 u 剪力图和弯矩图 15 例 2 (书例4. 2) 已知：简支梁如图。 解： 求：剪力方程，弯矩 方程，并作剪力图和 弯矩图。 (1) 求支反力 需分段求解。 (2) 求剪力方程和弯矩方程 分为两段：AC和CB段。 u AC段 取x截面，左段受力如图。 16 需分段求解。 (2) 求剪力方程
5、和弯矩方程 分为两段：AC和CB段。 u AC段 取x截面，左段受力如图。 Q M 由平衡方程，可得: u CB段 x 取x截面， 17 由平衡方程，可得: u CB段 x 取x截面， x Q M 左段受力如图。 (3) 画剪力图和弯矩图 18 (3) 画剪力图和 弯矩图 19 例 3 (书例4. 3) 已知：悬臂梁如图。 解： 求：剪力方程，弯 矩方程，并作剪力 图和弯矩图。 (1) 求支反力 为使计算简单， (2) 求剪力方程和弯矩方程 取x截面，右段受力如图。 20 为使计算简单， (2) 求剪力方程和 弯矩方程 取x截面，右段 受力如图。 Q M 由平衡方程，可得: 21 (3) 画剪
6、力图和 弯矩图 22 l 作剪力图和弯矩图的步骤 (1) 求支座反力； (2) 建立坐标系(一般以梁的左端点为原点)； (3) 分段 在载荷变化处分段； (4) 列出每一段的剪力方程和弯矩方程； (5) 根据剪力方程和弯矩方程画出剪力图和 弯矩图。 23 例 4 已知：外伸梁如图。 解： 求：剪力方程，弯矩方程，并作剪力图和弯矩图. (1) 求支反力 24 (1) 求支反力 需分段求解。 (2) 求剪力方程和弯矩方程 分为3段：CA, AD和DB段。 u CA段取x截面，左段受力如图。 由平衡方程，可得: x 25 u CA段 取x截面，左 段受力如图。 由平衡方程， 可得: x u AD段取
7、x截面，左段受力如图。 由平衡方程，可得: 26 x u AD段取x截面，左段受力如图。 由平衡方程，可得: u DB段取x截面，右段受力如图。 27 x u DB段取x截面，右段受力如图。 (3) 画剪力图和弯矩图 28 (3) 画剪力图和弯矩图 END 29 4. 5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 对图示的直梁, 考察dx 微段的 受力与平衡。 30 考察dx微段的受力与 平衡 C 31 C 略去高阶微量 还可有： 32 l q(x)、Q(x)和M(x)间的微分关系 上次例 3 (书例4. 3) l 由微分关系可得以下 结论 33 l 由微分关系可得以下结论 (1) 若q(x) = 0上次
8、例 2 (书例4. 2) Q(x) =常数， 剪力图为水平线； M(x) 为一次函数， 弯矩图为斜直线。 (2) 若q(x) = 常数 Q(x)为一次函数， 剪力图为斜直线； M(x) 为二次函数， 弯矩图为抛物线。 34 上次例 3 (书例4. 3) (2) 若q(x) = 常数 Q(x)为一次函数， 剪力图为斜直线； M(x) 为二次函数， 弯矩图为抛物线。 当q(x) 0(向上)时, 抛物线是下凸的； 当q(x) 0(向下)时, 抛物线是上凸的； (3) 在剪力Q为零处, 弯矩M取极值。 35 (3) 在剪力Q为零处, 弯矩M取极值。 注意: 以上结论只在该 段梁上无集中力 或集中力偶作
9、用 时才成立。 36 (4) 在集中力作用点： 上次例 2 (书例4. 2) 剪力图有突变，突变值 即为集中力的数值，突 变的方向沿着集中力的 方向(从左向右观察)； 弯矩图在该处为折点。 (5) 在集中力偶作用点: 对剪力图形状无影响； 弯矩图有突变，突变值 即为集中力偶的数值。 37 集中力偶为逆 时针时，向下 跳(从左向右 看); 顺时针时， 向上跳(从 左向右看). (5) 在集中力偶作用点: 对剪力图形状无影响； 弯矩图有突变，突变值即为集中力偶的数值。 上次例 4 38 l 根据微分关系作剪力图和弯矩图 (1) 求支反力； (2) 建立坐标系(一般以梁的左端点为原点)； (3) 分
10、段 确定控制面； (4) 求出控制面上的Q、M值； (5) 根据微分关系连线，作出剪力图和弯矩图。 39 例 1 已知：简支梁 如图。 解： 求：利用微分 关系作剪力图 和弯矩图。 (1) 求支反力 (2) 坐标系 x QQ A BC (3) 确定控制面 (4) 计算控制面的Q和M(5) 连线 x 40 u 作弯矩图 41 例 2 已知：悬臂梁 如图。 解： 求：利用微分 关系作剪力图 和弯矩图。 (1) 求支反力 MD RD (2) 坐标系 (3) 确定控制面 x (4) 计算控制面的Q和M B处：42 MD RD x (4) 计算控制 面的Q和M B处： x QQ (5) 连线 D处： 4
11、3 (4) 计算控制 面的Q和M B处： u 弯矩图 D处： 44 例 3 已知：外伸梁 如图。 解： 求：利用微分 关系作剪力图 和弯矩图。 (1) 求支反力 方向如图。 45 例 4 (上次的例4 ) 已知：外伸梁如图。 解： 求： 利用微分关系作剪力图和弯矩图。 (1) 求支反力 46 (2) 画剪力图和弯矩图 END 47 例 5 ( 书习题4.13(a) ) 已知：内力图。 解： 求：利用微分 关系找出图中 的错误并改正。 l 支反力 RA RB 48 例 6 ( 书习题4.16(a) ) 已知：剪力图，且 梁上无集中力偶。 解： 求：载荷图和弯 矩图。 3kN 4kN 2kN3kN
12、 q=1kN/m 49 弯矩图 3kN 4kN 2kN3kN q=1kN/m 6kNm 4kNm 4.5kNm M 50 例 7 (书习题4.19 ) 已知：q, P。 解： 求：用叠加法作弯矩图。 RA RB RA1 RB1 RA2RB2 l 约束反力 若梁分别受到这两种载 荷的作用： 51 RA RB RA1 RB1 RA2RB2 l 约束反力 若梁分别受到这两种载 荷的作用： 52 RA RB RA1 RB1 RA2RB2 若梁分别受到这两种载 荷的作用： 可以看出： l 弯矩方程 53 RA RB l 弯矩方程 AC段： CB段： l 结论 在小变形的情况下，约束反力和内力都是外载 荷
13、的线性函数，可以使用叠加法。 l 叠加法作弯矩图 54 l 叠加法作弯矩图 + = + = 55 l 刚架的内力图 刚节点 刚节点 在连接两部分的 节点处夹角不变。 u 特点 内力分量中，除了剪力 和弯矩外，通常还有轴 力。 u 内力的正负号与观察位置 NN Q Q 无关 无关 56 u 内力的正负号与观察位置 NN Q Q 有关 无关 无关 u 弯矩画在受压侧 57 (1) 可分段建立坐标系； (2) 轴力、剪力画在内侧或 外侧均可，但需标出正 负号； (3) 弯矩画在受压侧。 u 刚架内力图的画法 58 例 8 刚架 已知：q，a。 解： 求：内力图。 (1) 求支反力 (2) 求内力 结
14、果如图。 BC段: Q N M Dx 59 (2) 求内力 BC段: Q N M Dx AC段: N Q M y E 60 (2) 求内力 BC段: AC段: (3) 轴力图 Q (4) 剪力图 61 (4) 剪力图 (5) 弯矩图 特点： 在刚节点处，弯矩值连续 ; BC段: AC段: Q M 62 特点： 在刚节点处，弯矩值连续; Q1 N1 M1 N2 Q2 M2 可以利用刚节点的平衡， 对内力图进行校核。 63 4. 6 平面曲杆的弯曲内力 u 平面曲杆 平面曲杆的内力图的画法 与刚架的内力图的画法类 似。 轴线为平面曲线的杆或梁。 u 例子 已知：P, a 。 求：横截面上的内力及弯 矩图。 解： 取m-n截面，取右段，受力如图。 64 u 例子 已知：P, a 。 求：横截面上的内力及弯 矩图。 解： 取m-n截面，取右段， 受力如图。 x y o 65 x y o 曲杆的弯矩图如图。 66 谢 谢 大 家 ! 67
