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1、第四章 频率响应分析法【教学目的】 熟悉频率特性的有关概念及表示方法掌握伯德图的表示方法及由伯德图如何求解传递函数【教学重点】频率特性的基本概念频率特性的两种表示法，画法及特点典型环节的频率特性图(两种表示方法)系统开环频率特性图的画法由对数幅频特性曲线求传递函数的方法频域中的性能指标【教学难点】一般系统开环频率特性图的画法频率特性的性能指标【教学方法及手段】采用板书结合多媒体课件的讲授方式，通过绘制伯德图、奈氏图，加深学生对概念的理解，举例让学生掌握最小相位系统及性能指标的相关概念。【学时分配】 7课时【教学内容】上一章对系统进行了时域分析，即通过拉氏变换与反拉氏变换，求系统的响应，进一步分
2、析系统的性能指标，判断系统的动态特性。但表征系统的特性并不仅限于时域。本章从频域角度对系统进行分析。应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。它不必直接求解系统的微分方程，而是间接地运用系统的开环频率特性分析闭环响应。其也是一种图解法。4-1 频率特性1、频率特性的概念 频率响应：系统对正弦输入信号的稳态响应。对于线性系统，当输入为一正弦信号r(t)=Asinwt，可能证明，该系统的稳态输出为同频率的正弦信号c(t)=Bsin(wt+)，但其振幅和相位一般均不同于输入量，且随着输入信号频率的变化而变化，如图所示。频率特性：系统在不同频率的正弦信号输入时，其稳态输出随频率而变化(由0变到
3、)的特性。(当不断改变输入正弦的频率时，该幅值比和相位差的变化情况称为系统的频率特性。)频率特性是关于w的复变函数，其中，u(w)称为系统的实频特性，v(w)称为系统的虚频特性 A(w)称为系统的幅频特性，称为系统的相频特性。幅频特性与相频特性一起构成系统的频率特性。2、频率特性的求法 常用的有三种方法：1）利用在已知系统的微分方程或传递函数的情况下，当输入为正弦函数时，求其稳态解，再求G(jw)例：求一阶系统 的频率特性 及在正弦信号xi(t)=Xsinwt作用下的频率响应。其稳态响应为：可看出，系统的稳态输出与输入及频率相同的正弦信号，但其幅值与相角与输入不同。将稳态输出与输入的幅值之比，
4、称为幅频特性，将稳态输出与输入的相角称为相频特性则系统的频率特性为：2）利用将传递函数中的s换为jw来求取 以上例，其输出的稳态响应为：实际上，频率特性就是传递函数的一种特殊情况，即中。3）实验法：是对实际系统求取频率特性的一种常用而又重要的方法。如果在不知道系统的传递函数或数学模型时，只有采用实验法。3、频率响应的特点 时域分析的缺陷 高阶系统的分析难以进行； 难以研究系统参数和结构变化对系统性能的影响； 当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分析工作将无法进行。 频率特性的优点： 无需求解微分方程，图解(频率特性图)法间接揭示系统性能并指明改进性能的方向； 易于实验分析； 可推广应
5、用于某些非线性系统（如含有延迟环节的系统）； 可方便设计出能有效抑制噪声的系统。4-2 频率特性的对数坐标图(伯德图) (Bode diagram or logarithmic plot)1、对数坐标图对数频率特性曲线，由两张图组成：一张是对数幅频特性，它的纵坐标为，单位是分贝，用符号表示。常用表示。另一张是相频特性图。它的纵坐标为()，两张图的纵坐标均按线性分度。横坐标是角速率，采用分度(为了在一张图上同时能展示出频率特性的低频和高频部分,即在较宽的频率范围内研究系统的频率特性)。故坐标点不得为零。1到10的距离等于10到100的距离，这个距离表示10倍频程，用dec表示。优点：j幅频特性的
6、乘除运算转变为加减运算。k对系统作近似分析时，只需画出对数幅频特性曲线的渐进线，大大简化了图形的绘制。l用实验方法，将测得系统（或环节）频率响应得数据画在半对数坐标纸上。根据所作出的曲线，估计被测系统的传递函数。对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范围。两个系统或环节的频率特性互为倒数时，其对数幅频特性曲线关于零分贝线对称，相频特性曲线关于零度线对称。几点说明 在对数频率特性图中，由于横坐标采用了对数分度，因此=0不可能在横坐标上表示出来，横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定；此外，横坐标一般只标注的自然数值； 在对数频率特性图中，角频率变化的倍数往往比其变化的数值更有意义。为此通常采用
7、频率比的概念：频率变化十倍的区间称为一个十倍频程，记为decade或简写为dec；频率变化两倍的区间称为一个二倍频程，记为octave或简写为oct。它们也用作频率变化的单位。可以注意到，频率变化10倍，在对数坐标上是等距的，等于一个单位。 通常用L()简记对数幅频特性，也称L()为增益；用简记对数相频特性。2、各种典型环节的伯德图1）比例环节 比例环节的伯德图： 当改变传递函数的K时，会导致传递函数的对数幅频曲线升高或降低一个相应的常值，但不影响相位角。2）积分环节当w=1时，L(w)=0当w=10时，L(w)=-20 当w=100时，L(w)=-40可看出，积分环节的对数幅频图为一条直线，
8、此直线的斜率为20dB/dec，对数相频图为等于-90o的一条直线。同理，当系统包含两个积分环节时，L(w)=-40lgw3）理想微分环节同理，当系统含有两个微分环节时，L(w)=40lgw ，4）惯性环节理论上，此时可采用描点法，当w从时，计算出相应的L(w) 来画图，但工程上常采用近似法来画幅频曲线。即低频段可近似为0dB的水平线，称为低频渐近线。即高频段可近似为斜率为-20dB/dec 的直线，称为高频渐近线。低频渐近线和高频渐近线的相交处的频率点1/T，称为转折频率（截止频率）。在转折频率处，L()= -3.03dB，-45惯性环节具有低通滤波特性。5）一阶微分环节一阶微分环节的Bod
9、e图注意到一阶微分环节与惯性环节的频率特性互为倒数( = T )，根据对数频率特性图的特点，一阶微分环节与惯性环节的对数幅频特性曲线关于0dB 线对称，相频特性曲线关于零度线对称。显然，一阶微分环节的对数幅频特性曲线也可由渐近线近似描述。由对数幅频特性曲线可见，一阶微分环节对高频信号有较大的放大作用，这意味着系统抑制噪声能力的下降。6）振荡环节即低频渐近线为0dB的水平线。高频段(n)高频渐近线为斜率为-40dB/dec 的直线。两条渐近线的交点为n。即振荡环节的转折频率等于其无阻尼固有频率。对数相频特性由图可见，当 较小时，由于在= n 附近存在谐振，幅频特性渐近线与实际特性存在较大的误差，
10、 越小，误差越大。7）二阶微分环节注意到二阶微分环节与振荡环节的频率特性互为倒数( 1/ n )，根据对数频率特性图的特点，二阶微分环节与振荡环节的对数幅频特性曲线关于0dB 线对称，相频特性曲线关于零度线对称。8）延迟环节 可见，对数幅频频曲线为0分贝线，相频曲线随w变化。3、绘制系统伯德图的一般步骤1）将开环传递函数表示为典型环节的串联：即将常数项都化为12）确定各环节的转折频率，并由小到大标示在对数频率轴上3）分别画出各环节的对数幅频、相频曲线4）进行叠加例：已知系统的开环传递函数如下：试绘制系统的开环伯德图。解：Bode图特点 最低频段的斜率取决于积分环节的数目v，斜率为20v dB/
11、dec。 注意到最低频段的对数幅频特性可近似为：当1 rad/s时，L()=20lgK，即最低频段的对数幅频特性或其延长线在1 rad/s时的数值等于20lgK。 如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示，则对数幅频特性为一系列折线，折线的转折点为各环节的转折频率。 对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点，其斜率相应发生变化，斜率变化量由当前转折频率对应的环节决定。对惯性环节，斜率下降20dB/dec；振荡环节，下降40dB/dec；一阶微分环节，上升20dB/dec；二阶微分环节，上升40dB/dec。4、根据伯德图求取系统的传递函数一般步骤：确定对数幅频特性的渐近线。根据低频段渐近线的斜率，确定
12、系统包含的积分（或微分）环节的个数。根据低频段渐近线或其延长线在 1rad/s的分贝值，确定系统增益。注意到系统低频段渐近线可近似为：若系统含有积分环节，则该渐近线或其延长线与0dB线(频率轴)的交点为：即也可由该交点处的频率数值获得系统增益。若系统不含积分环节，低频渐近线为20lgKdB的水平线，K 值可由该水平渐近线获得。根据渐近线转折频率处斜率的变化，确定对应的环节。获得系统的频率特性函数或传递函数。例：已知最小相位系统的近似对数幅频特性曲线如图所示。求系统的传递函数。解：系统低频段斜率为20dB/dec，v=1。注意到，(lg0.1，20)和(lg1，20lgK)两点位于斜率为20dB
13、/dec的直线上。由：系统存在三个转折频率：0.1、1和20rad/s。对应的典型环节分别为：综上所述，系统传递函数为：4-3 频率特性的极坐标图（奈奎斯特图）1、极坐标图（奈氏图，幅相频率特性图）频率特性的极坐标图是当w从零变化至无穷大时，表示在极坐标上的频率特性的幅值与相位角的关系图。因此，极坐标图是在复平面内用不同频率的矢量之端点轨迹来表示系统的频率特性。（相位角以从正实轴开始，逆时针为正，顺时针为负）。易知， 向量G (j) 的长度等于A ()（|G(j)|）；由正实轴方向沿逆时针方向绕原点转至向量G(j)方向的角度等于()（G(j)）。 与伯德图相比，其绘制起来复杂，但能在一张图上表
14、示出整个频率域中系统的频率特性，在后边对系统进行稳定性分析及校正时，较方便。2、典型环节的极坐标图1）比例环节2）积分环节 积分环节的奈氏图为：3）微分环节理想微分环节的Nyquist图 4）惯性环节惯性环节的Nyquist图 实频特性：虚频特性：注意到：即惯性环节的奈氏图为圆心在(1/2,0)处，半径为1/2的一个圆。5）一阶微分环节实频特性为：u(w)=1 虚频特性为：v(w)=w一阶微分环节的Nyquist图6）振荡环节振荡环节的Nyquist图其图形规律：当较大时，曲线的幅值随w的增大单调减小。当较小时，曲线的幅值随w的增大而增大，出现一个最大值，然后逐渐减小至0，这个最大的幅值称为谐振峰值Mr。左图为谐振现象又振荡环节的幅频特性曲线可见，当较小时，在= n附近，A( )
