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1、第二章应力分析2-12-1内力和外力内力和外力2-22-2应力矢量和应力张量应力矢量和应力张量2-32-3应力分量转换公式应力分量转换公式2-42-4主应力和应力主方向、应力张量主应力和应力主方向、应力张量的不变量的不变量2-52-5最大正应力和剪应力最大正应力和剪应力2-6应力张量的分解2-72-7平衡微分方程、力的边界条件平衡微分方程、力的边界条件112-1内力和外力1.1外力：物体承受外因而导致变形，外因可以是热力作用、化学力作用、电磁力作用和机械力作用；另一方面从量纲分类，外力主要为体积力和表面积力。我们讨论的外力是属于机械力中的体力和面力的范围。DateDate222-1内力和外力1
2、.1.外部体力：作用在物体单位体积（质量外部体力：作用在物体单位体积（质量）x1Px3x2VF量纲：力（长度）3。求V中任意点P上承受体力采用极限方法：上的力上的力如重力（或惯性力）如重力（或惯性力）DateDate332-1内力和外力2.外部面力：作用在物体外部表面力其中为沿三个坐标轴分量。x1Px3x2SF如静水压力、土压力等。量纲：力（长度）2。求物体表面上任意一点P上受面力仍采用极限方法：DateDate442-1内力和外力其中为沿三个坐标轴分量。DateDate551-1内力和外力1.2内力：物体内部抵抗外力而产生相互作用的力。在材力和结力中以N、M、Q形式出现，但在弹力中常以应力来
3、描述。DateDate662-2应力和应力张量2.1应力矢量当变形体受外力作用时，要发生变形，同时引起物体内部各点之间相互作用力（抵抗力）内力，为了描述物体内任意点P的内力可采取如下方法：过P点设一个截面S将V分为两部分：（相互有作用力与反作用力）DateDate772-2应力矢量和应力张量FnSPV+F+F-n+n-V+V-S+S-一部分：V+、S+、外法线、合力；另一部分：V-、S-、外法线、合力；截面上的合力：或2.1应力矢量DateDate882-2应力矢量和应力张量FnSPV+2.1应力矢量截面上P点上的内力情况，在V+上S面围绕P点取S，S上合力为。应力矢量（作用在V+）：应力矢量
4、与P点位置有关，与截面方向（方向）有关。DateDate992-2应力矢量和应力张量量纲为力（长度）2。当截面不变时，应力矢量具有一个方向性。取V-：作用在V-上。当P点的截面与坐标面平行时，DateDate10102-2应力矢量和应力张量x2x3x1t(n)-t(3)-t(2)-t(1)fnPCBA定理：过P点以单位外法线截面上的应量、力矢量是作用在通过P点坐标平面的应力矢的线性函数、其系数是的方向余弦，DateDate11112-2应力矢量和应力张量即：x2x3x1t(n)-t(3)-t(2)-t(1)fnPCBADateDate12122-2应力矢量和应力张量则设证：可得x2x3x1t(
5、n)-t(3)-t(2)-t(1)fnPCBADateDate13132-2应力矢量和应力张量而代入上式，并忽略高阶微量根据微元体的平衡，得x2x3x1t(n)-t(3)-t(2)-t(1)fnPCBADateDate14142-2应力矢量和应力张量或展开为或x2x3x1t(n)-t(3)-t(2)-t(1)fnPCBADateDate15152-2应力矢量和应力张量2.2应力张量每个坐标面上的应力矢量又可以沿三个坐标面分解三个分量，比如坐标面法线为x1t1x1(x)x3(z)x2(y)111213DateDate16162-2应力矢量和应力张量沿三个坐标面的应力矢量由九个元素(分量)表示这九
6、个分量组成一个二阶张量：DateDate17172-2应力矢量和应力张量这九个分量的两个下标：第一个表示应力矢量作用面的法线方向，第二个下标表示应力矢量的分量的方向。应力分量的正负：在正面上应力分量指向坐标正向为正，反之为负；在负面上的应力分量指向坐标负向为正，反之为负。DateDate1818下面说明一下为张量：柯西公式（Canchyula）由商法则可知2-2应力矢量和应力张量为一二阶张量DateDate1919斜面上的应力矢量沿正交坐标系分解2-2应力矢量和应力张量为一二阶张量，DateDate2020根据柯西公式斜面上的应力矢量沿正交坐标系分量：2-2应力矢量和应力张量DateDate2
7、1212-2应力矢量和应力张量定理：作用在过P点任一截面的应力矢量完全由该点的应力张量线性表出。量关系且是以三个坐标分量表示.柯西公式表示了应力张量与任一斜面上应力矢DateDate22222-2应力矢量和应力张量其中，斜面法向应力：应力矢量也可沿斜面法向和切向分解DateDate23232-2应力矢量和应力张量DateDate24242-2应力矢量和应力张量DateDate2525作业：1。在物体中一点P的应力张量为，求（1）过P点且外法线为的面上的应力矢量；（2）的大小；（3）与的夹角（4）求的法向分量；（5）切向分量。DateDate2626作业：2.在P点两斜面法线向量和，证：（用指标
8、符号证）。DateDate27272-3应力分量转换公式当物体受外力作用下，其内力和变形也是一定的，但这些物理量随着选取的直角坐标系不同他们的分量是不一样的，但不同坐标下它们（分量）之间转换应遵循一定的规律。DateDate28282-3应力分量转换公式3.1两个不同直角坐标系基向量的转换：（旧）第一个直角坐标系：（新）第二个直角坐标系：x3x1x2x1x2x3DateDate29292-3应力分量转换公式新坐标基矢量由旧坐标基矢量表示x3x1x2x1x2x3DateDate30302-3应力分量转换公式两边点积DateDate31312-3应力分量转换公式与的方向余弦，共有九个元素。或Dat
9、eDate32322-3应力分量转换公式九个元素用矩阵表示则新坐标基矢量用旧基矢量表示：DateDate33332-3应力分量转换公式同理旧坐标基矢量用新坐标基矢量表示注意九个元素用矩阵表示DateDate34342-3应力分量转换公式旧坐标基矢量用新坐标基矢量表示：DateDate35352-3应力分量转换公式3.2矢量（向量）的坐标转换x3x2x1oDateDate36362-3应力分量转换公式用矩阵表示DateDate37372-3应力分量转换公式3.3应力（二阶）张量的坐标变换DateDate38382-3应力分量转换公式3.3应力（二阶）张量的坐标变换DateDate39392-3应
10、力分量转换公式3.4笛卡尔张量定义一般式如物理量(r个下标）两个不同笛卡尔直坐标下表示满足则T为r阶张量。DateDate40402-4主应力和应力主方向、应力张量的不变量由柯西公式，已知一点的应力状态（或）在xi笛卡尔坐标系中，则任何方向的应力矢量4.1主应力和应力主方向DateDate41412-4主应力和应力主方向、应力张量的不变量这里DateDate4242随着变化，也变化，但肯定存在一个使即或2-4主应力和应力主方向、应力张量的不变量DateDate4343展开（1）2-4主应力和应力主方向、应力张量的不变量DateDate4444即不全为零有关的三次方程2-42-4主应主应力和应力
11、主方向、应力张量的力和应力主方向、应力张量的不变量不变量DateDate4545应力的第一不变量应力的第二不变量2-4主应力和应力主方向、应力张量的不变量（2）DateDate4646应力的第三不变量2-4主应力和应力主方向、应力张量的不变量DateDate4747应力的第一不变量2-4主应力和应力主方向、应力张量的不变量（2）由（2）求出三根分别为，代回（2）式应力的第二不变量DateDate4848应力张量第三不变量：求出主应力后代回（1），并注意的三个方向余弦可决定每个主应力的主方向2-4主应力和应力主方向、应力张量的不变量DateDate4949几点说明：（1）（因为由线性代数知实对称
12、阵的特征值为实数）三个主应力均为实数，2-4主应力和应力主方向、应力张量的不变量DateDate5050（2）当有一个重根时，如，则与垂直平面内任何方向均为主应力，为（3）当，任意方向均为主方向，称为球形应力或静水应力状态。2-4主应力和应力主方向、应力张量的不变量DateDate51512-5最大正应力和剪应力5.1最大正应力一点P的三个主应力可以取xi轴为主轴，则DateDate52522-5最大正应力和剪应力5.1最大正应力任意斜面的上应力矢量，DateDate53532-5最大正应力和剪应力DateDate54542-5最大正应力和剪应力5.2最大剪应力条件驻值问题DateDate55
13、552-5最大正应力和剪应力求出最大的方向引入拉氏乘子：DateDate56562-5最大正应力和剪应力莫尔园：max1213min2DateDate57572-6应力张量的分解DateDate58582-6应力张量的分解为应力球张量；为应力偏斜张量。应力球张量是一种平均的等向应力状态（均匀拉压），对于各向同性材料，它引起体积膨胀（或收缩）DateDate59592-6应力张量的分解应力偏斜张量表示（实际应力状态减去应力球形张量）了材料的形状畸变实验证明，对于金属等材料，体积膨胀基本是纯弹性的。而实验证明塑性变形基本是畸变变形，所以在塑性力学中非常重要。DateDate60602-7平衡微分方
14、程、力的边界条件26节较系统（不同侧面）讨论了一点应力张量（状态），这一节将讨论之间的关系：平衡微分方程和力的边界条件。DateDate61612-7平衡微分方程、力的边界条件7.1平衡微分方程当变形体受外力作用包括体力和面力，研究某点P的应力与体力之间关系。取有限变形体V，考虑有限变形体总平衡（合力）fFx1x3x2oPrDateDate62622-7平衡微分方程、力的边界条件或将面积分转化为体积分利用高斯定理fFx1x3x2oPrDateDate63632-7平衡微分方程、力的边界条件即在V上（对任意体积）平衡微分方程DateDate64642-7平衡微分方程、力的边界条件用指标符号写成或
15、DateDate65652-7平衡微分方程、力的边界条件有限变形体V对坐标原点o取矩而除了合力等于零外，有限体还需对任意点取力矩为零（力矩平衡）：fFx1x3x2oPrDateDate66662-7平衡微分方程、力的边界条件利用高斯定理则力矩平衡方程DateDate67672-7平衡微分方程、力的边界条件或而所以DateDate68682-7平衡微分方程、力的边界条件DateDate69692-7平衡微分方程、力的边界条件得剪应力互等DateDate70702-7平衡微分方程、力的边界条件7.2力的边界条件在斜面上应用在边界上：DateDate71712-7平衡微分方程、力的边界条件DateDate7272作业：3.在物体中一点P的应力张量为11=x1+x2、t(1)=(1+x1)e1+(5-x2)e2。12=12(x1x2)、22=x1-2x2、33=x2其余应力分量为零。试确定12(x1x2)，使得上述应力分布满足无体力的平衡微分方程，并使x1=1面上的应力矢量为DateDate7373作业：xyo450lh4.图示悬臂薄板，已知板并在图上画出边界荷载。薄板所受的边界荷载和体力。余应力分量为零。求此中a为常数（设a0）。其y=a(2x+y-l-h)、xy=-ax其内的应力分量为x=ax、DateDate7474
