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1、6.1 引言 6.2 状态反馈与输出反馈 6.3 状态反馈极点配置 6.4 输出反馈极点配置 6.5 状态反馈镇定 6.6 全维状态观测器 小结 第六章 线性反馈系统的时间域综合 v问题的提出 q系统综合是系统分析的逆问题。 系统分析问题即为对已知系统结构和参数，以及 确定好系统的外部输入(系统激励)下，对系统运 动进行定性分析。 如能控性、能观性、稳定性等 而系统综合问题为已知系统结构和参数，以及所 期望的系统运动形式或关于系统运动动态过程和 目标的某些特征，所需要确定的是则需要施加于 系统的外部输入的大小或规律。 6.1 引言 q综合问题最基本的任务是，对给定的被控系统设 计能满足所期望的
2、性能指标的闭环控制系统，即 寻找反馈控制律。 状态反馈和输出反馈是控制系统设计中两种主 要的反馈策略，其意义分别为将观测到的状态 和输出取作反馈量以构成反馈律，实现对系统 的闭环控制，以达到期望的对系统的性能指标 要求。 在经典控制理论中，一般只考虑由系统的输出 变量来构成反馈律，即输出反馈。 在现代控制理论的状态空间分析方法中，多考 虑采用状态变量来构成反馈律，即状态反馈。 6.2 状态反馈与输出反馈 1. 状态反馈 q对线性定常连续系统(A,B,C)，若取系统的状态变 量来构成反馈，则所得到的闭环控制系统称为状态 反馈系统。 状态反馈闭环系统的系统结构可如图6-1所示 图6-1 状态反馈系
3、统的结构图 其中K为rn维的实矩阵，称为状态反馈矩阵；v为r 维的输入向量，亦称为伺服输入。 将状态反馈律代入开环系统方程， D=0则可得如 下状态反馈闭环控制系统的状态空间模型: q状态反馈闭环系统的状态空间模型可描述如下: 设开环系统状态空间模型和状态反馈律分别记为 状态反馈闭环系统可简记为K(A-BK,B,C)，其传 递函数阵为: GK(s)=C(sI-A+BK)-1B q由状态能控性PBH秩判据，被控系统(A,B,C)采用 状态反馈后的闭环系统K(A-BK,B,C)的能控性可由 条件 rankI-A+BK B=n 来判定，而 上式即表明状态反馈不改变系统的状态能控性。 v状态反馈可能改
4、变状态能观性。 q由能控规范形的状态反馈闭环系统的传递函数 表明，状态反馈虽然可以改变系统的极点，但不能改 变系统的零点。 当被控系统是状态完全能控时，其极点可以进行 任意配置。 因此，当状态反馈闭环系统极点恰好配置与开环 的零点重合时，则闭环系统的传递函数中将存在 零极点相消现象。 根据零极点相消定理可知，闭环系统或状态不能 控或状态不能观。 由于状态反馈闭环系统保持其开环系统的状态完 全能控特性，故该闭环系统只能是状态不完全能 观的。 这说明了状态反馈可能改变系统的状态能观性。 从以上说明亦可得知，若SISO系统没有零点，则 状态反馈不改变系统的状态能观性。 2. 输出反馈 q对线性定常连
5、续系统(A,B,C)，若取系统的输出变 量来构成反馈，则所得到的闭环控制系统称为输出 反馈控制系统。 输出反馈控制系统的结构图如图6-2所示。 图6-2 输出反馈系统的结构图 与状态反馈 有何不同? q输出反馈闭环系统的状态空间模型可描述如下: 开环系统状态空间模型和输出反馈律分别为 其中H为rm维的实矩阵，称为输出反馈矩阵。 将输出反馈律代入开环系统方程，则可得如下输 出反馈闭环控制系统的状态空间模型: u=-Hy+v y=Cx 输出反馈闭环系统可简记为H(A-BHC,B,C),其传 递函数阵为: GH(s)=C(sI-A+BHC)-1B q由状态反馈和输出反馈的闭环控制系统状态空间模 型可
6、知，输出反馈其实可以视为当K=HC时的状态反 馈。因此，在进行系统分析时，输出反馈可看作状 态反馈的一种特例。反之，则不然。 由此也可知，状态反馈可以达到比输出反馈更好 的控制品质，更佳的性能；但物理实现而言，输 出反馈要优于状态反馈。 v由于输出反馈可视为状态反馈在K=HC时的特例，故 输出反馈亦不改变系统的状态能控性。 v输出反馈不改变状态能观性。 q对线性定常系统，系统的稳定性和各种性能的品质指 标，在很大程度上是由闭环系统的极点位置所决定的 。 因此在进行系统设计时,设法使闭环系统的极点位 于s平面上的一组合理的、具有所期望的性能品质 指标的极点，可以有效地改善系统的性能。 这样的控制
7、系统设计方法称为极点配置。 在经典控制理论的系统综合中，无论采用频率域 法还是根轨迹法，都是通过改变极点的位置来改 善性能指标，本质上均属于极点配置方法。 6.3 状态反馈极点配置 本节所讨论得极点配置问题，则是指如何通过状态 反馈阵K的选择，使得状态反馈闭环系统的极点恰好 处于预先选择的一组期望极点上。 q基于指定的期望闭环极点，线性定常连续系统的状 态反馈极点配置问题可描述为: 给定线性定常连续系统 确定反馈控制律 使得状态反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的n个 期望的闭环极点也就是成立 q本节主要讨论两方面的问题：其一，闭环极点可任 意配置的条件；其二，如何设计反馈增益阵使闭环 极点配置
8、在期望极点处。为简单起见，仅讨论单输 入单输出系统。 定理6-1 对线性定常系统(A,B,C)利用线性状态反馈阵 K，能使闭环系统K(A-BK,B,C)的极点任意配置的充分 必要条件为被控系统(A,B,C)状态完全能控。 1. 状态反馈极点配置定理 2.系统状态反馈极点配置的算法 方法一 标准算法 该算法适用系统维数n等于或大于4 （1）考察系统的能控性条件。如果系统是状态完全 能控的，则可按下列步骤继续 。 （2）利用系统矩阵A的特征多项式 确定出 3确定将系统状态方程变换为能控标准形的变换 矩阵P。若给定的状态方程已是能控标准形，那么P =I。非奇异线性变换矩阵P 可给出，即 其中Qc为能
9、控性矩阵，即 Qc=An-1B An-2B AB B P =QcW 5此时的状态反馈增益矩阵 为 4利用给定的期望闭环极点，可写出期望的特征 多项式为 确定出 方法二 解联立方程 如果是低阶系统(n3)，则将线性反馈增益矩阵K直 接代入闭环系统的特征多项式，可能更为简便。例 如，若n = 3，则可将状态反馈增益矩阵K写为 进而将此 代入闭环系统的特征多项式 使其等于期望的闭环极点 即 例6-1 考虑如下线性定常系统 利用状态反馈控制 ，希望该系统的闭环极点为s = - 2j4和s = -10，试确定状态反馈增益矩阵K。 解：(1)首先需检验该系统的能控性矩阵。由于能控 性矩阵为： rankQc
10、 = 3。因而该系统是状态完全能控的，可任意 配置极点。 c 方法1：(2)该系统的特征方程为： 因此 (3)期望的特征方程为 可得 因此 方法2：(2)设期望的状态反馈增益矩阵为 并使 和期望的特征多项式相等，可 得 (3)使其两端的同次幂系数相等 因此 可得 q由于输出变量空间可视为状态变量空间的子空间，因 此输出反馈也称之为部分状态反馈。 由于输出反馈包含的信息较状态反馈所包含的信 息少，因此输出反馈的控制与镇定能力必然要比 状态反馈弱。 6.4 输出反馈极点配置 q线性定常连续系统的输出反馈极点配置问题可描 述为: 给定线性定常连续系统 确定反馈控制律 使得状态反馈闭环系统的闭环极点配
11、置在指定的n 个期望的闭环极点也就是成立 q输出反馈对能控能观系统可以改变极点位置，但不能 进行任意的极点配置。 故欲使闭环系统稳定或具有所期望的闭环极点，要 尽可能采取状态反馈控制或动态输出反馈控制(动 态补偿器)。 q定理6-2 对能控能观的线性定常系统(A,B,C)，可采 用静态输出反馈进行“几乎”任意接近地配置 p=minn,m+r-1个极点。 定理6-2中的n,m,r分别为状态空间、输出空间和输入 空间的维数,“几乎”任意接近地配置极点的意义为 可以任意地接近于指定的期望极点位置，但并不意味 着能确定配置在指定的期望极点位置上。 6.5 状态反馈镇定 q受控系统通过状态反馈，使得闭环
12、系统渐近稳定， 这样的问题称为镇定问题。 能通过反馈控制而达到渐近稳定的系统是可镇定 的。 镇定只要求闭环极点位于复平面的左半开平面之 内。 镇定问题的重要性主要体现在3个方面: 首先，稳定性往往是控制系统能够正常工作的 必要条件，是对控制系统的最基本的要求； 其次，许多实际的控制系统是以渐近稳定作为 最终设计目标； 最后，稳定性往往还是确保控制系统具有其它 性能和条件，如渐近跟踪控制问题等。 q镇定问题是系统极点配置问题的一种特殊情况，它 只要求把闭环极点配置在s平面的左侧，而并不要求 将极点严格配置在期望的极点上。 为了使系统稳定，只需将那些不稳定因子，即具 有非负实部的极点，配置到s平面
13、的左半开平面 即可。 因此，通过状态反馈矩阵使系统的特征值得到相 应配置，把系统的特征值(即的特征值)配置在平 面的左半开平面就可以实现系统镇定。 q定理6-3 状态完全能控的系统(A,B,C)可经状态反 馈矩阵镇定。 证明 根据状态反馈极点配置定理6-1，对状态完全 能控的系统，可以进行任意极点配置。 因此，也就肯定可以通过状态反馈矩阵K将系统 的闭环极点配置在s平面的左半开平面之内，即 闭环系统是镇定的。 故证明了完全能控的系统必定是可镇定的。 q定理6-4 若系统(A,B,C)是不完全能控的，则线性状 态反馈使系统镇定的充要条件是系统的完全不能控 部分是渐近稳定的(特征值均具有负实部)，
14、 即系统 (A,B,C)不稳定的极点只分布在系统的能控部分。 6.6 全维状态观测器 q对状态能控的线性定常系统，可以通过线性状态反 馈来进行任意极点配置，以使闭环系统具有所期望 的极点及性能品质指标。 但是，由于描述内部运动特性的状态变量有时并 不是能直接测量的，更甚者有时并没有实际物理 量与之直接相对应而为一种抽象的数学变量。 在这些情况下，以状态变量作为反馈变量来构成 状态反馈系统带来了具体工程实现上的困难。 为此，人们提出了状态变量的重构或观测估计问 题? q所谓的状态变量的重构或观测估计问题，即设法另 外构造一个物理可实现的动态系统, 它以原系统的输入和输出作为它的输入， 而它的状态
15、变量的值能渐近逼近原系统的状态 变量的值或者其某种线性组合， 则这种渐近逼近的状态变量的值即为原系统的 状态变量的估计值， 并可用于状态反馈闭环系统中代替原状态变量 作为反馈量来构成状态反馈律。 在这里设系统的系统矩阵A、输入矩阵B和输出矩阵C都 已知。 这里的问题是： 若状态变量x(t)不能完全直接测量到，如何构造 一个系统随时估计该状态变量x(t)。 1.全维观测器的构造思路 q设线性定常连续系统的状态空间模型为(A,B,C)， 即为 对此问题一个直观想法是： 利用仿真技术来构造一个和被控系统有同样 动力学性质(即有同样的系数矩阵A,B和C)的如 下系统来重构被控系统的状态变量: 其中 为
16、被控系统状态变量x(t)的估计值。 q如果对任意矩阵A的情况都能设计出相应的状态观 测器，对于任意的被控系统的初始状态都能满足下 列条件: 即状态估计值可以渐近逼近被估计系统的状态。 q利用输出变量对状态估计值进行修正的思想和状态 估计误差须渐近趋于零的状态观测器的条件，可得 如下状态观测器: 其中G称为状态观测器的反馈矩阵。 0) ( )(Lim=- tt t xx 该状态估计器称为全维状态观测器，也称为渐进状 态观测器，其结构如下图所示。 图6-3 渐近状态观测器的结构图 2.引入反馈项的必要性 q未引入输出反馈项的状态估计系统称为开环状态观 测器，简记为 图6-4 开环状态观测器的结构图 其结构如下图所示 q比较系统(A,B,C)和 的状态变量,有 则状态估计误差 的解为 q显然,当
