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1、第四章 解析函数的级数表示 4.3 泰勒级数 1、泰勒(Taylor)定理 2、一些初等函数的泰勒展式 第四章 解析函数的级数表示 D 定理4.6 (泰勒定理) 设f(z)在区域D内解析,z0D,只 要K:|z-z0|R含于D,则f(z)在K内能展成如下幂级数 其中系数 且展式是唯一的. 4.3.1、泰勒(Taylor)定理 K z0 第四章 解析函数的级数表示 K 证:关键是利用柯西积分公式及如下熟知的公式: (|g(z)|1). 由柯西积分公式得: z0 z D 图4.1 使点z含在的内部(图4.1中虚线表). 总有一个圆周: 表示为一个含有z-z0的正幂次级数.为此该写 ： 我们设法将被
2、积式: 第四章 解析函数的级数表示 关于 上一致收敛 收敛 第四章 解析函数的级数表示 逐项积分： 与z,无关 级数 在 上(关于z)是一致收敛的,与 上 的有界函数 相乘,仍然得到 上的一致收敛级数。 第四章 解析函数的级数表示 圆周的半径可以任意增大, 只要含在D内. 因此如果f(z)在z0解析, 则使f(z)在z0的泰勒展开式成立的 圆域的半径R至少等于从z0到D的边界上各点的最短距离。 注:1) 泰勒展开式是唯一的; z0 z z 这是因为f(z)在收敛圆内解析, 故奇 点a不可能在收敛圆内. 又因为奇点a不 可能在收敛圆外, 不然收敛半径还可以 扩大, 因此奇点a只能在收敛圆周上.O
3、x y z0 a 如果f (z)有奇点，则R等于从z0到f(z)的距z0最近一个奇 点a的距离, 即R=|a-z0|. 第四章 解析函数的级数表示 例如 ： 其收敛半径： 其收敛半径： 第四章 解析函数的级数表示 推论1： 推论2： 推论3：幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有 一个奇点(即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛 ). f(z)在z0的某一邻域内可展开为z-z0的幂级数. 则 内可展开为z-z0的幂级数. 上述性质从级数角度深刻地反映了解析函数本质。 第四章 解析函数的级数表示 2. 解析函数展开为Taylor级数的方法 直接法:直接计算系数: 例1：求 处的Taylor展式。 解： 类
4、似地，sinz, cosz在z=0处的Taylor展开式 第四章 解析函数的级数表示 (1)利用已知初等函数的级数展开式； (2)利用几何级数 (3)逐项求导、逐项积分； (4)待定系数法 例2：求sinz在z=0处的Taylor展开式 间接法：利用函数的各种特殊性以及幂级数的运算 （加法，乘法，积分，求导等运算）和分析性质, 以 唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式,主要有： 第四章 解析函数的级数表示 两式相乘得， 解： 例3：求函数 在z=0处的泰勒展开式 函数有一个奇点z=1， 收敛半径R=1，在|z|1内解析. 第四章 解析函数的级数表示 （方法二 待定系数法） 那么， 同次幂系数
5、相等， 假设所求的泰勒展开式为 第四章 解析函数的级数表示 例4 解: 第四章 解析函数的级数表示 例5 把函数展开成z的幂级幂级 数. 解：由于函数有一奇点z=-1, 而在|z|1内处处处处 解 析, 所以 可在|z|1内展开成z的幂级幂级 数. 因为为 将上式两边边求导导得 第四章 解析函数的级数表示 对于多值函数，要先求出单值分支（主值），再计算 相应的泰勒展开式。 -1O R=1 x y 解: Ln(1+z)的主枝为ln(1+z)，ln(1+z)在从-1向左沿负实 轴剪开的平面内是解析的, -1是它的奇点, 所以可在 |z|1展开为z的幂级数. 例6 求对数函数Ln(1+z)在z=0处
6、的幂级数展开式. 第四章 解析函数的级数表示 逐项积分得 第四章 解析函数的级数表示 而如果把函数中的x换成z, 在复平面内来看函数 1-z2+z4- 它有两个奇点i, 而这两个奇点都在此函数展开式的收敛 圆周上, 所以这个级数的收敛半径只能等于1. 因此, 即 使我们只关心z的实数值, 但复平面上的奇点形成了限制. 在实变函数中有些不易理解的问题, 一到复变函数中 就成为显然的事情, 例如在实数范围内, 展开式 的成立必须受|x|1的限制, 这一点往往使人难以理解, 因为上式左端的函数对任何实数都是确定的且可导的. 第四章 解析函数的级数表示 总结 一些初等函数的泰勒展式 第四章 解析函数的级数表示 定理 (柯西积分公式) 如果 f (z)在区域D 内处处解析, C为D内的任何一条正向简 单闭曲线, z为C内的任一点, 则 回顾 D z C 定理 设级数 的各项在曲线C上连续,并且在C 上一致收敛于S(z),则沿C可以逐项积分:
