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1、1 (十九)开始 王柱 2013.05.20 2 第五章 部分作业答案 3 3 4 3. 5 3.又 6 4 7 4. 8 5 9 5. 10 12 11 12. 12 第六章 部分作业答案 13 6 14 6,2) 15 6.1) 6.2) 16 7 17 7.1) 7.2) 18 8 19 8. 20 11 21 11.1) 11.2) 22 12 23 12. 24 14 2514. 26 设 来自总体 的简单随机样本， 为样本均值， 为样本方差，则 （a） （b） （c） （d） 补例- 27 第七章 补例 28 例、从一大批产品的100个样品中, 得一级品60个. 一级品率 p 是0
2、-1分布的参数. 计算得 于是所求p的置信度为0.95的近似置信区间为 求:这大批产品的一级品率 p 的置信度为0.95的置信 区间. 解: 这里 1- =0.95, /2=0.025 ，n=100, u 0. 975=1.96, 例18-18. 29 例1、有一批糖果. 现随机取16袋,称的重量如下: 解: 这里 1- =0.95, /2=0.025, n-1=15, t 0.975(15)=2.1315, 由给出的数据 计算得 于是总体均值 的置信度为0.95的置信区间为 设袋装糖果近似地服从正态分布,试求 总体均值 的 置信度为0.95的置信区间. 例18-19.1. 30 例2、有一批
3、糖果. 现随机取16袋,称的重量如下: 设袋装糖果近似地服从正态分布. 这里 /2=0.025, 1- /2 =0.975, n-1=15, 2 0.025(15)=27.488, 2 0.975(15)=6.262, 计算得 于是标准差 的置信度为0.95的置信区间为 求标准差 的置信度为0.95的置信区间. 解: 例18-19.2. 31 例3、比较两种型号子弹的枪口速度. 随机地取A型 10发, 测得枪口速度平均值为500,标准差1.10; B型 20发,测得枪口速度平均值为496,标准差1.20. 假设 两总体可认为近似地服从正态分布,且方差相等. 这里1- =0.95, /2=0.0
4、25, n 1=10, n2=20, n1+ n2 - 2=28, t 0.975 (28)=2.0484, Sw=1.1688, 即 置信下限大于0,实际上认为1比2大. 于是,两总体均值差1 - 2的置信度为0.95的置信区间 为 求,两总体均值差的置信度为0.95的置信区间. 解:可认为两总体相互独立,方差相等但未知. 例18-20. 32 例4、比较两种催化剂的得率.原催化剂试验8次, 测得 的得率平均值为91.73,样本方差3.89;新催化剂试验8 次, 测得的得率平均值为93.75,样本方差4.02; 假设 两总体可认为近似地服从正态分布,且方差相等. 这里1- =0.95, /2
5、=0.025, n 1=8, n2=8, n1+ n2 - 2=14, t 0.975 (14)=2.1448, Sw2=3.96, 即 包含0,实际上认为得率无显著差别. 所求的置信区间为 求,两总体均值差1-2的置信度为0.95的置信区间. 解:可认为两总体相互独立,方差相等但未知. 例18-21. 33 例5、比较两台机器工作状况. 随机地取A台产品18 只, 测得样本方差0.34;随机地取B台产品13只, 测得 样本方差0.29;假设两总体相互独立, 近似地服从正 态分布N (1, 12), N (2, 22),参数均未知. 这里1- =0.90, =0.10, n 1=18, n2=
6、13, s12=0.34, s22=0.29, 即 包含1,实际上认为12 , 22无显著差别. 于是,所求置信度为0.90的置信区间为 求, 总体方差比 12 / 22置信度为0.90的置信区间. 解: 例18-22. 34 第八章 假设检验 35 提出关于总体的假设. 根据样本对所提出的假设做出判断: 是接受,还是拒绝. 第八章 假设检验 * 8.1.假设检验问题 36 由假设推导出“小概率事件”; 再由此“小概率事件”的发生就可以推断 “ 假设不成立 ” 。 “统计推断原理” 37 例 ：某人进行射击，设每次射击命中率为 0.02，独 立射击400次，求至少击中两次的概率。 PX1=1-
7、PX=0-PX=1 =1-(0.98) 400-400(0.02)(0.98)399 =np=8, PX1=1-PX=0-PX=1 =1-e -8-8e-8=0.997 1. 一个事件尽管在一次试验中发生的概率很小, 但只要试验次数很多,而且试验是独立地进行的, 那末这一事件的发生几乎是肯定的。 2. 如果射手在400次射击中,击中目标的次数竟 不到两次,我们将怀疑“假设”的正确性,即认为该 射手射击的命中率达不到0.02。 查指数函数表得0.000335 前例04-12 38 提出关于总体的假设:射击命中率为 0.02 依据样本: 400次射击中,击中目标的次数X 设定小概率事件: 即PX2
8、=0.003 根据样本值对所提出的假设做出判断:接受或拒绝. 如果竟不到两次,我们将怀疑“假设”的正确性, 即认为该射手射击的命中率达不到0.02 * 假设检验问题 39 其具体作法是: 1. 根据实际问题提出 原假设H0和备择假设H1； 2. 给定显著性水平的值 (01),以及样本容量n； 3. 确定检验统计量以及拒绝域的形式； 4. 按 求出拒绝域； 5. 取样，根据样本观察值做出判断:是接受假设H0 (即拒绝假设H1 )，还是拒绝假设H0 (即接受假 设H1 ) 。 40 机器包装糖果.所包袋装糖果重量近似地服从 正态分布.机器正常时,均值为0.5公斤,标准差为 0.015 公斤.某日开
9、工后检验包装机工作是否正常.现 随机取9袋,称的重量如下: 解释: 认为该日所包袋装糖果重量近似地服从正态分布. 长期经验表明标准差比较稳定为 0.015 公斤于是 认为总体服从 X N (, 0.015 2),这里未知. 问包装机工作是否正常? 问题是,根据样本值来判断: = 0.5, 还是 0.5。 例19- 01. 41 (1)我们提出假设 H0： = 0 (= 0.5)； 和 H1： 0 。 这是两个对立的假设。我们要给出一个合理的法 则，根据这一法则，利用已知样本做出判断:是接受 假设H0(即拒绝假设H1 )，还是拒绝假设H0 (即接受 假设H1 ) 。 如果做出的判断是拒绝假设H0
10、 (即接受假设H1 ), 则认为包装机工作是不正常的;否则, 做出判断是 接受假设H0(即拒绝假设H1 )，则认为包装机工作 是正常的。 42 思路: 所提出的假设涉及总体均值 ,故想到用样本 均值 来做出判断. 由于样本均值 反映总体均值 的大小. 因此当假设为真时, 与 的偏差| - |不 应太大.若其过分大,我们就怀疑假设的正确性而 拒绝 H0 . 而当假设为真时, 43 (3)于是我们适当选择一正数k，当观测的样本 均值 满足 就拒绝假设H0 .否则, 就接受假设H0 衡量 的大小可归结为衡量 的大小。 44 (2)犯这种错误是无法排除的。只能希望犯这种 错误的概率控制在一定限度之内，
11、即给出一个较 小的数 (01),使犯这种错误的概率不超过 , 即使得 由于判断的依据是一个样本，因此当假设为 真时仍可能做出拒绝假设H0的判断。这是一种 错误，犯这种错误的概率记为 45 这时就能确定k了. 我们令 而当假设为真时, 由正态分布分位点的定义得, (4)于是若满足 则拒绝H0, 而若 则接受H0. 46 (5)于是拒绝假设H0 (即接受假设H1 ),认为包装 机工作是不正常的。 回到本例中,取 =0.05, n=9, =0.015 查表得k=u0.975 =1.96 .再由样本算得 =0.511,既有 47 由一次试验得到的观察值，满足不等式几乎是不 可能的。现在竟然出现了，则我
12、们有理由怀疑原来 假设的正确性，因而拒绝假设H0 。否则，没有理 由怀疑原来假设的正确性，只得接受假设H0 。 此检验法符合实际推断原理的。因为通常 取得较 小，一般为 0.05, 0.01 。 而当假设H0为真时, 即 = 0 时 是一个小概率事件 。 48 此例中，当样本容量固定时，选定 后，数k就可 以确定。它是检验上述假设的一个门槛值。如果 则称 与0 的差异是显著 的，因而拒绝假设H0。 则称 与0 的差异是不显 著的，只得接受假设H0。 数 称为显著性水平。统计量 若 称为检验统计量。 49 在显著性水平 下，检验假设 H0： = 0； H1： 0 。 上面提出的假设检验问题可以叙
13、述成： 也常说成“在显著性水平 下，针对H1检验 H0”。 H0称为原假设或零假设； H1称为备择 假设。 检验统计量取某个区域C中的值时，我们拒 绝原假设H0，则称区域C为拒绝域，拒绝域的 边界点称为临界点。 50 * 由于判断的依据是一个样本，总有可能做出 错误的判断: 当假设为不真时也可能做出接受假设H0的判断。 这是一种“取伪”的错误，称为第二类错误. 犯这种错误的概率记为 当假设为真时仍可能做出拒绝假设H0的判断。 这是一种“弃真”的错误，称为第一类错误. 犯这种错误的概率记为 51 犯这种错误是无法排除的。我们希望犯这两种 错误的概率都很小. 一般来说,当样本容量固定时,若减少犯一
14、类错误 的概率,则犯另一类错误的概率往往增大.若要使犯 两种错误的概率都减小,除非增加样本容量. 于是,在给定样本容量的情况下,一般来说,我们总 是控制犯第一类错误的概率,使它小于或等于.即 使犯第一类错误的概率不超过 . 这种只对犯第一类错误的概率加以控制,而不考虑 犯第二类错误的检验问题,称为显著性检验问题. 52 具体作法步骤是: 1. 根据实际问题(一般是关于总体参数值)提出 原假设H0和备择假设H1； 2. 给定显著性水平的值 (01),以及样本容量n； 3. 确定检验统计量(通常是相应参数的点估计)以及 拒绝域的形式； 4. 按 求出拒绝域； 5. 取样，根据样本观察值做出判断:是
15、接受假设H0 (即拒绝假设H1 )，还是拒绝假设H0 (即接受假 设H1 ) 。 53 * 8.2.一个正态总体 N (, 2) 的假设检验 1. 2为已知,关于均值 的检验(u检验) 前面已得到关于 = 0的在显著性水平 下， 双边检验假设 H0： = 0； H1： 0 。 A. 双边 采用统计量 作为检验统计量,当|z|过分大时就拒绝H0,拒绝域 的形式为 54 2. 2为未知,关于均值 的检验(t检验) 采用统计量 总体为 N (, 2),其中,2为未知,我们来求检验问题 : H0： = 0； H1： 0 。 在显著性水平 下的拒绝域. 作为检验统计量,当|t|过分大时就拒绝H0,拒绝域 的形式为 55 前面已知,当H0为真时, 故由 即得 相应的单边检验的拒绝域见表8.1。 从而检验问题的拒绝域为 由t统计量得出的检验法称为 t 检验法。 56 某厂生产钢筋，已知钢筋强度服从正态分布， ,2为未知。其强度标准为52(kg/mm2)，今抽取6个样 品，测得其强度数据如下(单位：kg/mm2)：48.5 49.0 53.5 49.5 56.0 52.5。判断这批产品的强度是
