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1、目录(11)目录概述4.1线性连续系统的能控性4.2线性连续系统的能观性4.3线性定常离散系统的能控性和能观性4.4对偶性原理4.5线性系统的结构性分解和零极点相消4.6能控规范形和能观规范形4.7实现问题4.8Matlab问题本章小结线性系统的结构分解和零极点相消(13)4.5线性系统的结构分解和零极点相消q一个系统状态不完全能控意味着系统的部分状态不能控但也存在部分状态能控。到底哪一部分状态能控哪一部分状态不能控的问题对于控制系统的分析、设计和综合显然是至关重要的。由前面的结论已知系统的非奇异线性变换不改变能控性那么是否存在线性变换后将系统的状态变量中完全能控的部分和完全不能控的部分分离开
2、来对状态不完全能观的系统也存在类似的区分哪些状态能观哪些状态不能观的问题。线性系统的结构分解和零极点相消(23)难点喔!也存在能否基于线性变换将系统的完全能观部分和完全不能观部分分离开来系统状态空间模型的状态能控性能观性问题是系统的两个不变的结构性问题描述了系统的本质特征的问题它们与描述系统的输入输出特性的传递函数阵之间有何联系q本节主要讨论上述关于线性系统状态空间结构性的2个问题即:状态空间模型的结构性分解以及传递函数阵与能控性能观性的关系。线性系统的结构分解和零极点相消(33)q本节讨论的主要问题:基本概念:能控分解、能观分解、能控能观分解、零极点相消基本方法:能控分解、能观分解、能控能观
3、分解、零极点相消判据q本节讲授顺序为:能控性分解能观性分解能控能观分解系统传递函数中的零极点相消定理能控性分解(118)能控性分解定理状态不完全能控其能控性矩阵的秩为rankQc=rankBABAn-1B=ncn则存在非奇异线性变换x=Pc使得状态空间模型可变换成4.5.1能控性分解q对状态不完全能控的线性定常连续系统存在如下能控性结构分解定理。q定理4-17若线性定常连续系统能控性分解(218)其中nc维子系统是状态完全能控的。而n-nc维子系统是状态完全不能控的。能控性分解(318)能控性分解定理证明利用能控性矩阵的列来构造变换矩阵P导出变换矩阵P的列与变换矩阵的行的关系进行线性变换证明结
4、论导出矩阵AP的列与变换矩阵P的列的关系q证证明下面的证明是构造性证明即不仅证明本定理的结论还构造出能进行能控结构分解的线性变换矩阵。以下证明过程的证明思路为:能控性分解(418)能控性分解定理证明的秩为nc。即Qc中任何的列都可以由这nc个线性无关列向量p1p2线性表示。于是从Qc中总可以找到nc个线性无关列向量p1p2这nc个列向量构成能控性矩阵Qc的一组基底证明过程:由于系统状态不完全能控其能控性矩阵Qc=BABAn-1B能控性分解(518)其中q1q2qn为n维行向量。同样还可以找到n-nc个线性无关向量使如下线性变换矩阵:为非奇异的。将变换矩阵Pc选作能控性分解的变换矩阵则可以作变换
5、x=Pcx。设Pc的逆矩阵可以记成能控性分解(618)由于p1p2为从能控性矩阵Qc中挑出来的一组线性无关的列向量并且组成Qc的一组基底则Ap1Ap2A亦属于矩阵AQc中的一组列向量。由于Pc-1Pc=I因此根据凯莱-哈密顿定理能控性分解(718)即矩阵AQc的列都可由矩阵Qc的列线性表示出来。因此Ap1Ap2A都可由矩阵Qc的列线性表示出来也必然可由Qc的基底p1p2线性表示出来。故所以由式(4-52)必然有qiApj=0inc+1jnc能控性分解(818)因此有能控性分解(918)qiApj=0inc+1jnc能控性分解(1018)由能控性矩阵Qc的定义可知B矩阵的列也可由Qc的基底p1p
6、2线性表示出来。至此已证明了当选择变换矩阵为Pc时系统可分解为状态变量分别为和的两个子系统。显然以为状态变量的n-nc维子系统是状态完全不能控的。下面将证明以为状态变量的nc维子系统是状态完全能控的。因此仿照上述证明我们亦可证明得能控性分解(1118)q由于线性变换不改变系统的状态能控性因此线性变换后的能控性矩阵的秩应等于变换前的能控性矩阵的秩。所以有能控性分解(1218)根据凯莱-哈密顿定理由上式又可推得q通过对定理4-17的证明对系统的能控性分解得到一个重要结论即对任何一个状态不完全能控的线性定常连续系统总可通过线性变换的方法将系统分解成完全能控的子系统和完全不能控的子系统两部且变换矩阵P
7、c的前nc列必须为能控性矩阵Qc的nc个线性无关的列或它的一组基底。即和为能控矩阵对亦即nc维子系统是状态完全能控的。能控性分解(1318)q对于这种状态的能控性结构分解情况如下图所示。能控性分解(1418)q由于线性变换不改变系统传递函数阵所以有能控性分解(1518)因此由上式可归纳出一结论:状态态不完全能控系统统的传递传递函数阵阵等于其能控性分解后能控子系统统的传递传递函数阵阵。由于状态不完全能控系统的传递函数阵等于其能控子系统的传递函数阵则其极点必少于n个v即系统存在零极点相消现象。能控性分解(1618)例4-15q例4-15试求如下系统的能控子系统:q解由于故该系统为状态不完全能控且能
8、控部分的维数为2。能控性分解(1718)其中前两列取自能控性矩阵Qc后一列是任意选择的但保证变换矩阵为非奇异的。该变换矩阵的逆矩阵为为分解系统选择变换矩阵能控性分解(1818)则能控子系统的状态方程为经变换所得的状态空间模型的各矩阵为能观性分解(110)能观性分解定理状态不完全能观其能观性矩阵的秩为4.5.2能观观性分解q类似于能控性分解对状态不完全能观的线性定常连续系统有如下能观性结构分解定理。q定理4-18若线性定常连续系统能观性分解(210)其中no维子系统是状态完全能观的。而n-no维子系统是状态完全不能观的。则存在非奇异线性变换x=Pox使得状态空间模型可变换为能观性分解(310)其
9、中前no个行向量q1为能观性矩阵Qo的no个线性无关的行向量qn为任意选择的n-no个线性无关的行向量但必须使变换矩阵Po-1可逆。q定理4-18的证明可以仿照定理4-17的证明给出。对能观性分解能将状态不完全能观的线性定常连续系统进行能观性分解的变换矩阵Po的逆阵可选为能观性分解(410)q定理4-18表明:任何状态不完全能观的线性定常连续系统总可通过线性变换将系统分解成完全能观子系统和完全不能观子系统两部且变换矩阵Po的逆阵Po-1前no行必须为能观性矩阵Qo的no个线性无关的行或它的一组基底。q对于这种状态的能观性结构分解情况如下图所示。能观性分解(510)能观性分解(610)q由于线性
10、变换不改变系统传递函数阵所以q因此由上式可归纳出一结论:状态态不完全能观观系统统的传递传递函数阵阵等于其能观观性分解后能观观子系统统的传递传递函数阵阵。由于状态不完全能观系统的传递函数阵等于其能观子系统的传递函数阵则其极点必少于n个即系统存在零极点相消现象。能观性分解(710)能观性分解(810)例4-16q例4-16试求如下系统的能观子系统:q解由于故该系统为状态不完全能观且能观部分的维数为2。列3=列1-2列2能观性分解(910)为分解系统选择变换矩阵其中前两行取自能观性矩阵Qo后一行是任意选择的但保证变换矩阵为非奇异的。于是变换矩阵的逆矩阵为经变换所得的状态空间模型的各矩阵为能观性分解(
11、1010)则能观子系统的状态方程为能控能观分解(114)4.5.3能控能观分解q对状态不完全能控又不完全能观的线性定常连续系统类似于能控性分解和能观性分解过程构造变换矩阵的方法可构造系统的能控又能观子空间、能控但不能观子空间、不能控但能观子空间以及不能控又不能观子空间等4个子空间的基底组成变换矩阵对系统作线性变换将系统分解为4个子系统:能控能观分解(214)能控又能观子系统、能控但不能观子系统、不能控但能观子系统以及不能控又不能观子系统。q在一般情况下(并不是总有效)能控能观分解可以先对系统作能控分解后再分别对能控和不能控子系统作能观分解可得到能控能观分解的4个子系统。分解过程可如图4-8所示
12、。能观分解能控能观分解(314)即系统能控分解能控子系统不能控子系统能观分解能控又能观子系统能控但不能观子系统不能控但能观子系统不能控又不能观子系统q因此关于系统能控能观结构分解有如下定理。也可先作能观分解再作能控分解。分解结果与先能控分解后能观分解的结果完全等价图4-8能控能观分解过程能控能观分解(414)能控能观分解定理状态不完全能控又不完全能观则一定存在一个线性变换使得变换后的状态空间模型为:q定理4-19若线性定常连续系统能控能观分解(514)即系统可分解成如下四个子系统:1.能控但不能观子系统2.能控又能观子系统3.不能控又不能观子系统4.不能控但能观子系统能控能观分解(614)q定
13、理4-22可直接由能控分解定理(定理4-20)和能观分解定理(定理4-21)证明。q一般直接确定能控能观分解的变换阵Pco比较困难一般情况下可采取如图4-8所示的通过逐次能控、能观分解过程中的变换阵确定。因此能控能观分解的变换阵Pco为式中Pc为先进行的能控分解的变换阵；Pco和Pnco分别为对能控分解所得的能控与不能控子系统进行的能观分解的变换阵。能控能观分解(714)类似地能控能观分解的变换阵Pco也可为式中Po为先进行的能观分解的变换阵；Poc和Pnoc分别为对能观分解所得的能观子系统和不能观子系统进行的能控分解的变换阵。能控能观分解(814)例4-17q例4-17已知系统是状态不完全能
14、控和不完全能观的试将该系统按能控性和能观性进行结构分解。q解(1)先对系统进行能控分解。按照能控分解方法可构造能控分解矩阵为能控能观分解(914)经变换后系统按能控性分解为由上式可见不能控子空间仅1维且是能观的故无需再进行分解为系统分解所得的不能控但能观的子系统。能控能观分解(1014)(2)将如下能控子系统c按能观性进行分解。按照能观分解方法可构造能观分解矩阵及其逆矩阵为则可将能控子系统c按能观性分解为能控能观分解(1114)(3)综合以上两次变换结果系统按能控和能观分解为表达式式中状态空间分解为所示的3个子空间:能控又能观子系统能控但不能观子系统不能控但能观子系统；相应的变换矩阵为能控能观
15、分解(1214)若按顺序排列分解后各子系统的状态变量则变换后的状态方程可以变换为如定理所示的状态方程。q由于线性变换不改变系统的传递函数阵所以由变换后的系统状态空间模型可得如下传递函数阵能控能观分解(1314)能控能观分解(1414)因此由上式可归纳出一结论:状态不完全能控又不完全能观系统的传递函数阵等于其能控能观分解后能控又能观子系统的传递函数阵。由于状态不完全能观系统的传递函数阵等于其能观子系统的传递函数阵则其极点必少于n个即系统存在零极点相消现象。由于系统不能控和不能观测的部分不会出现在传递函数中所以传递函数仅是系统的部分描述。而状态空间描述则既包含能控、能观测部分也包含不能控、不能观测
16、部分所以是系统的完全描述。系统传递函数中的零极点相消定理(111)4.5.4系统传递函数中的零极点相消定理q由上述系统的三种结构分解可知对状态不完全能控或不完全能观的系统其传递函数阵等于分解后能控能观子系统的传递函数阵其极点数少于原系统状态变量的个数n即系统的传递函数阵中存在零极点相消现象。究竟状态空间模型的状态能控性与能观性与系统的传递函数阵之间有何关系下面的定理就揭示了这一点。系统传递函数中的零极点相消定理(211)极点相消定理q定理4-20SISO线性定常连续系统状态空间模型的传递函数中没有零极点相消的充要条件为该表达式的状态既完全能控又完全能观。q证明由于线性变换不改变能控性和能观性亦不改变传递函数而且每个状态空间模型都可变换成特征值标准型(对角线约旦标准型)因此不失一般性下面仅对特征值标准型完成证明过程。证明过程的思路为:利用块矩阵计算方法计算特征值标准型的传递函数阵计算该传递函数阵中各特征值对应的因子式
