生物统计学3概率定义解读

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1、二 、 概 率 （一）概率的统计定义 研究随机试验，仅知道可能发生哪些随机 事件是不够的，还需了解各种随机事件发生的 可能性大小，以揭示这些事件的内在的统计规 律性，从而指导实践。这就要求有一个能够刻 划事件发生可能性大小的数量指标，这指标应 该是事件本身所固有的，且不随人的主观意志 而改变，人们称之为概率（probability）。 事件A的概率记为P（A）。 概率的统计定义 在相同条件下进行n次重 复试验，如果随机事件A发生的次数为m，那么 m/n称为随机事件A的频率（frequency）； 当试验重复数n逐渐增大时，随机事件A的频率 越来越稳定地接近某一数值 p ， 那么 就 把 p 称

2、为随机事件A的概率。 这 样 定 义 的 概 率 称 为 统 计 概 率（ statistics probability），或者称后验概率 （posterior probability）。 在一般情况下，随机事件的概率p是不可能 准确得到的。通常以试验次数n充分大时随机事 件A的频率作为该随机事件概率的近似值。 即 P（A）=pm/n （n充分大）（4-1） （二）概率的古典定义 对于某些随机事件，用不着进行多次重复试 验来确定其概率 ， 而是根据随机事件本身的特 性直接计算其概率。 有很多随机试验具有以下特征： 1、试验的所有可能结果只有有限个，即样 本空间中的基本事件只有有限个； 2、各

3、个 试验的可能结果出现的可能性相 等，即所有基本事件的发生是等可能的； 3、试验的所有可能结果两两互不相容。 具有上述特征的随机试验，称为古典概型 （classical model）。对于古典概型，概率 的定义如下： 设样本空间由 n 个等可能的基本事件所构 成，其中事件A包含有m个基本事件，则事件A 的概率为m/n，即 P（A）=m/n (4-2) 这样定义的概率称为古典概率(classical probability)或先验概率(prior probability)。 【例4.1】在编号为1、2、3、10的十 头猪中随机抽取1头，求下列随机事件的概率。 （1）A=“抽得一个编号4”； （2

4、）B=“抽得一个编号是2的倍数”。 因为该试验样本空间由10个等可能的基本 事件构成，即n=10,而事件A所包含的基本事 件有4个，即抽得编号为1，2，3，4中的任何 一个，事件A便发生，于是mA=4，所以 P(A)=mA/n=4/10=0.4 同理，事件B所包含的基本事件数mB=5， 即抽得编号为2，4，6，8，10中的任何一个， 事件B便发生，故 P(B)=mB/n=5/10=0.5。 【例4.2】 在N头奶牛中，有M头曾有流产 史，从这群奶牛中任意抽出n头奶牛，试求: (1)其中恰有m头有流产史奶牛的概率是多少？ (2)若N=30，M =8，n =10，m =2，其概 率是多少？ 我们把

5、从有M头奶牛曾有流产史的N头奶 牛中任意抽出n头奶牛 ，其中恰有m头有流产 史这一事件 记为A ， 因为 从 N 头 奶 牛 中 任 意 抽 出 n 头 奶牛 的基本事件总数为 ； 事件A所包含的基本事件数为 ； 因此所求事件A的概率为： 将N=30，M =8，n =10，m =2代入 上式，得 = 0.0695 即在30头奶牛中有8头曾有流产史，从这 群奶牛随机抽出 10 头奶牛其中有2头曾有流 产史的概率为6.95%。 例 ： 在电话号码薄中任取一个电话号码,求后面4 个数全不相同的概率.(设后面4个数中的每一个数 都等可能地取自0,1.2,8,9). 例 ：历史上有名的“生日问题” 某班

6、级有n个人（n365）问至少有两 个人的生日在同一天的概率是多大？ 表所列出的答案足以引起大家的惊奇，因为“一个班 级中至少有两个人生日相同”这个事件发生的概率并不如 发多数人想象的那样小，而是足够大，从表中可以看出 ，当班级人数达到23时，就有半数以上的班级会发生这 件事情，而当班级人数达到50人时，竟有97 的班级 会发生上述事件，当然这里所讲的半数以上，有97 都 是对概率而言的，只是在大数次的情况下（就要求班级 数相当多），才可以理解为频率。从这个例子告诉我们“ 直觉”并不可靠，从而更有力的说明了研究随机现象统计 规律的重要性。 n （）0.120.410.510.710.890.97

7、 P(A) 如下表： （三）概率的定义及性质 在随机试验样本空间 上对每个时间A都有对应的实数P（A ），如果这样的P（A）满足： 1、对于任何事件A，有0P（A）1； 2、必然事件的概率为1，即P（）=1； 3、不可能事件的概率为0，即P（）=0。 4、A1，A2，Ai为互斥事件，则P（A1+A2+Ai）= P（A1）+ P（A2）+ P（Ai） 则称P（A）为事件A的概率 （四）概率的几何概型 在古典概型中，利用等可能性的概念,成功地计算了某一类问题的 概率;不过,古典概型要求可能场合的总数必须有限。因此历史上有不 少人企图把这种做法推广到有无限多结果而又有某种等可能性的场合 。这类问题一

8、般可以通过几何方法来求解。 【例1】某人午觉醒来,发觉表停了,他打开收音机,想听电台报时, 假定电 台每小时报时一次，求他等待的时间短于10分钟的概率。 【例2】约会问题 两人相约8点到9点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就 可离去，试求这两人能会面的概率 【例3】蒲丰(Buffon)投针问题 在平面上画有等距为a的一些平行线，今向 此平面任意投一长为b（ba）的针，试求 此针与平行线相交的概率。 概率的困惑:有无限多结果而又不具有等可能性 （五）概率的一般运算 5.1加法原理 定理1 两个互不相容事件的和的概率， 等于这两个事件的概率之和： 由此定理推广得下面定理2 定理2 有限个

9、互不相容事件的和的概率， 等于这些事件的概率之和： 推论1 如果一组事件构成互不相容的完 备事件组，则这些事件的概率之和为 1. 推论2 对立事件的概率之和为一 定理3 任意二事件的和的概率，等于这二 事件的概率的和减去这二事件的积的概率. 定理4 任意有限个事件的和的概率可按下面的公式计算： 注:特别是只有三个事件A、B、C时，有 5.2 条件概率 AB AB 性质 例2 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个 20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是 多少? 例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问 “掷出点数之和不小于

10、10”的概率是多少? 5.3. 乘法定理 练习:exer5-2-3; 注：独立事件 定义 对于两个事件A和B，若P（AB）=P（A）P（B）， 则称A、B为相 互独立事件 等价于：P（A|B）=P（A），即B的发生对A没有任何影响 独立与互斥的关系 两事件相互独立 两事件互斥 二者之间没 有必然联系 性质 必然事件 及不可能事件与任何事件A相互独立. 若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立. 例1：甲, 乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中敌机的概率为 0.6, 乙击中敌机的概率为0.5, 求敌机被击中的概率. 例2：设某型号的高射炮发射一发炮弹击中敌机的概率为 0.6，现用此型号的炮若

11、干门同时各发射一发炮弹. 问至 少需要设置多少门，才能以不小于0.95的概率击中敌机. 例3：加工某一零件共需经过三道工序.设第一、二、三道工 序的次品率分别是2%、3%、5%.假定各道工序是互 不影响的,问加工出来的零件的次品率是多少？ Exer6-1.19 注：生物学问题中，还可以根据实验条件及生物学知识判断 事件的独立性。如发烧和白细胞增多不独立，长疖子和患胃 病相互独立 1. 样本空间的划分 5.4 全概率公式 2. 全概率公式 全概率公式 称此为贝叶斯公式. 5.5 贝叶斯公式 BayesBayes公式的意义是：公式的意义是：假设导致事件A发生的“原因 ”有Bi(i=1,2,n)。它

12、们互不相容，现已知事件A确 已经发生了，若要估计它是由“原因”Bi所导致的概 率，则可用Bayes公式求出.即可从结果分析原因. 比如医生诊断病人所患何病(A1,A2,Ai中的某 一个),他确定某种症状B(如体温,某种化验指标等等) 出现,现在实际就是求P(Ai|B),通过比较它们的大小就 可对疾病作出诊断,此时Bayes公式显然是很有用的,在 这里,P(Ai)是人患各种疾病可能性大小,这可以从资料 中获得,而P(B|Ai)确定则要依靠医学知识,有了它,就可 求P(Ai|B),如果综合从多个症状所得到的条件概率 P(Ai|B),诊断会更准确些. 举例:吃不下饭(群众容貌,伙食,环境不好) 例1：有朋友自远方来,他坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机的概率 分别是0.3、0.2、0.1和0.4,而他坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机 迟到的概率分别是0.25、0.3、0.1和0,实际上他迟到了,请推测他 坐哪种交通工具来的可能性最大. 例2：临床诊断记录表明，利用某种试验检查癌症具有如下的效 果，对癌症患者进行试验结果呈阳性反应者占95%,对非癌症患 者进行试验结果呈阴性反应者占96%。现在用这种试验对某市 居民进行癌症普查,如果该市癌症患者数约占居民总数的0.4% ，求: (1) 试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌症的概率； (2) 试验结果呈阴性反应的被检查者确实未患癌症的概率.