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1、数学建模的结构主义方法 孟大志 北京工业大学 dzhmeng07 Tel: 13701377108 一、数学建模为什么火起来？ 数学建模确实火起来： 数学建模成为大学普遍开设的课程； 数学建模已经在社会生活与生产建设中普 遍应用； 数模竞赛参赛队每年增长20%，去年1.5 万个队，近30万学生参加各级竞赛！ 吉尼斯纪录！ 1、二十一世纪的特征 芯片和网络 是二十一实际最广泛的物质特征； 作用：数据信息的收集、存储、处理和传输。 数据爆炸 是最普遍的社会现象； 导致：数据处理方法成为社会的最大需求。 计算与数学建模 （二十一世纪的应用数学） 计算与数学建模已经形成新世纪的最广 泛的特征。海量数据
2、源：Web与Internet数据 、社会管理数据、全球化经济数据、环境与 资源数据、个人信息数据、科学研究数据、 多媒体型数据，等等。 下一个核心产业是什么？ “奔驰和车上的人哪个值钱？” IT to DI（data information）？ 海量数据是最大的资源：数据信息产业！ 数据处理：数据 信息 知识 数据处理法统称为：计算！ 因此，计算将成为二十一世纪最普遍的时代 特征！ 海量数据首先需求：数据处理目的是 获取信息与知识。 数据信息知识： 数据+结构信息， 信息+结构知识。 计算的变迁 以应用问题为核心的计算传统的计算，应用问 题求解：数学模型计算。 多因素关系模型：线性方程组，线性
3、拟合，线性逼 近；非线性和随机分布等等。 动态模型：微分方程组，离散动力系统，迭代格式 和随机过程等等。 多因素综合评估与分类模型：模糊数学，神经网络 ，层次分析、机器学习等等。 优化问题模型：有约束与无约束数学规划，遗传算 法和蚁群算法，分类与聚类，随机模拟等等。 微软亚洲研究院“二十一世纪的计算”大型国际学 术研讨会在一年一次的例会上，明确提出了二十 一世纪的计算将从以应用为核心的计算理念转变 为以数据为核心的计算。 从海量数据中发掘数据的应用价值和应用方法 以数据为核心的计算，即没有或不清楚数据中 隐含的信息与知识，通过计算与建模发现数据的 应用数据挖掘。 计算应用建模计算 例子：IC卡
4、数据有什么用？ 2.1科学中心转换生物学方法的需求 2、二十一世纪的社会需求 生物学与所有其他学科，如物理学、化学、地 理学，有完全不同的特质：编码的信息，因此 ，生物学以外的学科都只能通过类比的方式（ analog）进行分析。而生物学特质的核心是数字 化的，因此生物学是可以通过破译而解读的。 导致数学方法和数学模型化方法的不同。 二十世纪是物理学世纪：理论力学、电动力学（ 场论）、统计力学、量子力学与相对论。形成理 论物理，同时推动了数学的发展。 流形上的函数及其场方程的模型：代数方程组和微 分方程组。 理论力学的 Lagrange和Hamilton方程组； 电动力学的 Maxwell方程组
5、； 统计物理的 热力学基本方程和统计分布函数； 量子力学的 Shrdinger、Dirac、Heisenberg方程； 相对论的 爱因斯坦的引力场方程。 二十一世纪形成以生物为核心的多中心： 生物学 能源 信息 社会 经济 二十一世纪的中心学科转变，生物学世纪： 数学模型是什么？ 数学方法是什么？ 计算方法是什么？ 是方程与方程的计算吗？ 这种全新的模型、计算和数学需求刺激了数学 家们重新关注：什么是数学模型？什么是生物 的计算？什么是新的数学？ 系统生物学将推动现代数学的发展！ 陈省身：二十世纪的数学家要关注物理，二十一 世纪的数学家要关注生物学。 杨振宁：我们应该关注生物学，生物学还没有理
6、 论，但是积累了大量的数据，期待理论的建立。 数据、信息、知识是解决问题的基础，解决问题的 方法是数学建模和计算：应用数学。 经济模型：金融政策、股票、市场、价格策略与 超市，等等。 社会模型：社会冲突与政策、预警、社会心理学、 政策评估、犯罪学、发展与可持续问题，资源与环 境，等等。 个人生活模型：婚姻评估与预测、家庭理财、个人 活动优化、人生规划评估、高考志愿填报、朋友圈 子设计与评估、保险与个人风险，等等。 2.2 社会与经济的需求 科学研究中的模型化方法：物理学、化学、生物、 工程技术、经济管理、考古与历史、人文与社会学 、美学与艺术、心理学，数学本身的建模等等。 一个成熟的科学标志：
7、公理化体系与数学形式化。 管理问题模型：生产统筹、多因素评估（绩效评 估等）、流程优化（物流与配送）、资金优化与 效益评估、ERP模型等等。 网络建模：Web与Inter网的稳定性、路由策略、 带宽分布、网络鲁棒性与安全、网络上节点的信 息集成与分析等等。 3 结构主义的催化 美国科学周刊登载了系统生物学专集。该专集 导论中的第一句话这样写道：“如果对当前流行的、 时髦的关键词进行一番分析，那么人们会发现，系 统高居在排行榜上。” 3.1 系统成为最基本的研究对象 系统的结构：系统中所有元素之间关联的总和 其数学模型是结构的数学表示网络。 利用皮亚杰的结构主义理论，可以对系统的 结构进行可程序
8、化的分析。 3.2结构主义与数学 定义：结构是一个由种种转换规律组成的体系，包 括三个特性： 整体性、转换性和自身调整性。 结构应该是可以形式化（公式化）的。 布尔巴基学派法国年轻人的数学团体 数学原本基础数学的经典论著 结构主义布尔巴基数学思想 v三大结构：序结构、代数结构和拓扑结构 布尔巴基的数学结构主义 最早被研究的结构是在数学中，这就是伽罗 华（Calois）的群结构，此后数学结构的研究就 逐步蔚然成风，产生了布尔巴基学派。 结构数学从本质上支持了数学建模的方法、能力与 普适性。 二、数学建模的三个方面 1、科学研究 建模应用研究：各个领域的问题建模和模型求解， 当前最热的建模领域是经
9、济和生物。金融与保险模 型，股票模型，市场的博弈模型，经济趋势模型， 等等。 系统生物学是以建模为核心的生物学，成为生物学 世纪的标志性学科。 应用数学的基本方法：数学建模+计算。 建模理论研究：仿真、模拟和数学模型， 类比的数学建模方法，结构主义数学建模 的理论与实践。 仿真、模拟：既是建模的工具，也是模型 检验的方法。 类比：最初等也是最常用的建模方法，但 不是本质的方法知其然方法。 结构主义数学建模：一种本质的方法，是 基于数学结构的基本方法。 2、教学 数学建模方法融入数学主干课程 这是叶其效教授提出并倡导的数学教学改革重要方 向。目前在微积分、高等代数、微分方程等课程中 都取得大量的
10、教学成果。 数学来源于对于现实世界的抽象建模；数学的发展 本身也是不断地抽象建模过程；数学的应用仍然是 建模的过程。 数学建模方法在：方法学、应用和数学体系的教学 中，都可以“融入”！ 功能数学与结构数学的思想与教学方法 传统的数学教学是功能数学，目的是解决 三个问题：这个数学是什么？它有什么用？它 如何应用？ 结构主义数学是回答：这个数学德本质是 什么结构？它适用于什么结构的实际问题？如 何表示这种结构？ 结构主义数学教学将有益于数学建模能力的培 养。 3、竞赛与培训 传统的数模培训： 应用工具（统计软件和Matlep）、 案例分析与写作方法、 合作性经验。 李大潜在7月7日数模组委会上提出
11、： 目前的培训是如何在竞赛中建模和写论文，缺少让 学生和老师理解为什么建模？建模的应用与意义？ 没有对于建模的深入理解无法提高数模水平和质量 ，无法建立用数学思考世界的素质。 教给学生什么？数学建模的意义、内容和方法。 实际建模 问题 课程学习与培训中 的数学建模案例 引用案例 借鉴案例 类比、引用和借鉴是很有效的方法：现状！ 数学建模方法= 创造性的本质方法 + 模型类比方法 数学建模 数学荐模+数学引模一种初步实用 的，基于类比与经验的方法： 非普适的、非创造性的和非本质的！ 三、结构主义建模方法的引出： 建模=引模？ 例一、Web中的问题 网络已经成为现代人的一种生活方式 。在网上，每天
12、有成千上万的多媒体文件 在传输（例如，路透社每天收到网上文本 文件达20万）。试建立数学模型，使得可 以对这些文件进行自动分类，以便人们阅 读和使用。 能引用的案例是什么？没有可用案例时怎么办？ 例二、中国菜系研究 中国是一个美食及其文化非常丰富的国 家，因为国土辽阔，人口众多。中国著名的 菜系：苏菜、闽菜、川菜、鲁菜、粤菜、湘 菜、浙菜、徽菜。 请用数学建模方法研究这些菜系的特点 。 如何建模是方法的研究性问题： 数学建模本质上是一个创造性的过程， 如何“创造”是一个科学研究课题。 四、从定义引出的方法 从基本概念的理解出发： 模型？+ 数学？ 数学模型？ 如何建模？ 问题：如何从数学模型的
13、概念出发构造方法 ？ 结构化数学建模方法： 基于创造的本质性的方法。 1）社会科学模型 经济与管理科学模型、军事模型（越战）、政治模 型、社会学模型等等。 1、概念：什么是模型 这是一个通过举例或指认回答的简单问题。 例 项目管理科学中的甘特图模型 反映了在项目管理中各个过程的受控运行状态， 是项目各部分关联结构的动态表示。 例 选举模型 多数选举法、累计选举法等等，是特种社会 活动的模型。 这些模型共同特点是： 表达方式易于理解，抽象度低。 例 经济学模型： 市场模型、竞争模型、企业战略模型、股票模 型、金融模型，等等。 建筑模型 ，交通模型，电路模型，服装模型 等等。 表达：建筑设计图、交
14、通网络、电路图、服装模版等。 2）工程技术模型 3）生命科学模型 新陈代谢模型、光合作用模型、血液循环模型、 DNA双螺旋模型 、蛋白质结构模型等等。 用专业理论抽象出的结构： 并用专业语言表示的模型。 5）物理模型 基本粒子、原子模型、晶体模型 、光学的衍射等等。 4）化学模型 苯环 、化学健理论、反应平衡等等； 2、模型是什么？定义！ 模型：以特定目的对事物原型抽象出结构并适当表示。 抽象出结构：不是一般概念的抽象，而是结 构的抽象； 适当的表示：使用不同知识与方法，需要不同 的语言表示。 特定目的：目的不同，关注的结构（事物的内部 联系）不同； 原型 抽象出结构 模型 例. 飞机模型目标
15、不同，模型不同 目的：空气动力学研究 抽象结构：外型结构，除去内部构造； 目的：机舱设计 抽象结构：内部空间结构，除去外部结构； 不同目的关注的内容不同，抽象的结构不同。 表示：专业图形和航空语言表示。 3、核心是结构 理解原型的结构，抽象并表示结构是核心问题。 什么是结构？ 抽象的数学语言：集合的结构是集合的子集族 。 例 图书馆 字符集：中文字、英文字母、数字等等各种字符的全体。 书、文章、多媒体文本等形成子集族集合的文本 结构。 文本按知识类型分类，形成不同层次的子集族 国际图书分类法图书馆的藏书结构专业模型。 结构是核心： 同一个集合，不同结构原型的意义不同。 例 语言 下雨天 留客天 留我不留 下雨天留客 天留我不留 语言的结构不同，含义不同（数据同）。 例.语言的不同结构产生不同的文学信息 唐诗 清明时节雨纷纷 路上行人欲断魂 借问酒家何处有 牧童遥指杏花村 宋词 清明时节雨 纷纷路上行人 欲断魂。 借问酒家何处 有牧童 遥指杏花村。 剧本(元曲) 清明时节 雨纷纷 路上 行人（欲断魂）： 借问酒家何处有？ 牧童 （遥指）: 杏花村。 时间 环境 地点 人物 语言 另人物 动作 语言 抽象出结构: 七言唐诗 比较规整,适于言志 “诗言志” 宋词 错落有序,用语活跃 ,适
