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1、第七章 不可压缩流体动力学基础 本章讨论三元流动，主要内容是有关流体运动的基本概念和基本原理， 以及不可压缩流体流动的基本方程。 积分形式的基本方程用于解决控制面上的流动参数问题。 微分方程可用于解决流 动参数在流场中的分布问题。 平移运动 旋转运动 线变形、 变形运动 角变形 dx A B D C E F M uy ux dy 7-1 流体微团运动的分析 一、运动形式 1、流体微团：指体积微小，随流体一起运动的一团流体物质。与流体质点不 同，虽体积微小，但包含无数个流体质点。各质点间存在着相对位置的变化。 2、基本运动形式 二、运动分析 以二元流动的情况为例，研究几种 基本运动形式的速度表达
2、式。 如图，方形流动微团 MABCD 各侧边中点A、B、C、D的流速分量分别为 1、平移运动速度 2、线变形速度 X方向线变形速度 A、C两点速度差值： 差值为正，发生伸长变形。 A B D C E F M x z y 3、旋转角速度 逆时针为正 对角线EMF的旋转角速度定义为 整个流体微团在oxy平面上的旋转角速度。 方向：右手定则 4、角变形速度 直角边AMC（或BMD）与对角线EMF的夹角的变形速度定义 为流体微团的角变形速度，记为 ，表示在xoy平面上的角变形速度。 三元流动： 的下标表示发生角变形的所在平面的法线方向。 三、亥姆霍兹速度分解定理 （了解） 设流体微团内某点M0(x,y
3、,z),速度为 、 、 ， 则邻边M0的另一点M (x+dx,y+dy,z+dz)的速度为 展开 .，变换整理得 平移旋转线变形 角变形 涡量场 7-2 有旋流动 无旋流动： （详见第8章） 有旋流动 ： 、 、 至少有一个不等于零。 涡量： 涡线，涡线方程，涡量连续性方程 涡通量：斯托克斯方程，汤姆逊定理 1、涡量 ：哈米尔顿算子，矢性微分算子 3、涡线， 涡线方程 涡线：表示某一瞬时流体质点旋转角速度向量方向的曲线。 2、涡量连续性微分方程 二、涡通量 涡量在 投影为 ，则 为涡通量。 1、定义： A1 A2 A 对有旋转流动，在同一瞬间，通过同一涡管的各截面的涡通量相等。 2、涡通量的计
4、算 （1）速度环量：流速沿封闭曲线s的积分。s正向为逆时针方向。 斯托克斯公式： s为流场中任意封闭曲线 A是S所围成的曲面 是曲面A的外法线单位向量。 结论：沿任意封闭曲线S的速度环量等于通过以该曲线 为边界的曲面A的涡通量。 斯托克斯定理 （2）汤姆逊定理 （了解） 在理想流体的涡量场中，如果质量力具有单值的势函数，那么沿 由流体质点所组成的封闭曲线的速度环量不随时间而变。即： 推论：质量力具有单值势函数的理想流体的流动，如果在某一 时刻是有旋流，那么此前、此后也是有旋流。如果为无旋流， 那么此前、此后也是无旋流。 自学：P186例7-2 7-3 不可压缩流体连续性微分方程 净流体体积=流
5、出流入 2、分析推导：微元分析法 依据质量守恒定律，取微小平行六面体，中心M（x,y,z)， ux、uy、uz， x方向，dt时间 （柱面坐标形式） 1、方程： 同理y方向： z方向： 根据不可压缩连续性条件，dt时间内，x、y、z方向 流出-流入=0 柱面坐标系： 柱面坐标与直角坐标换算关系：190 图7-7 3、应用 （1）方程对恒定流、非恒流都适用，是判断流动连续性的条件。 （2）是以后运动微分方程求解的一个条件。 例1：p1907-6 例2：判断下列流场是否满足不可压缩流体的连续性方程 （1） （2） 解： 满足。 （3）此式给出了流体通过某固定点时，流体的三个速度分量之间的关系。 表
6、明对不可压缩流体，单位时间内流入与流出某空间点的流体体积之差为 零，即体积（质量）守恒。 3个压应力 6个切应力 x y z 7-4 粘性流体的运动微分方程 纳维斯托克斯方程 一、粘性流体的内应力 粘性流体运动时，所受表面应力包括法向应力和切应力。 流场内任一点的应力可表示为 二、以应力表示的运动微分方程（根据牛顿第二定律） （7-4-1） 讨论：加上连续性方程，4个方程，12个未知量，无法求解。 需找其它关系式，这些其它关系即是应力与变形速度的关系。 1、切应力与角变形速度的关系 因此三元流动的牛顿内摩擦定律可以写成如下形式： 由牛顿内摩擦定律： xoy平面上: 三、应力与变形速度的关系 式
7、（7-5-1） 式（7-5-1） 即广义牛顿摩擦定律，使式（7-4-1）中的12个未知数消去6个。 2、法向应力和线变形速度的关系 在流体微团的法线方向上的线变形速度，使法向应力（压应力）的大 小与理想流体相比有所改变，产生附加压应力。 可以证明，对于不可压缩流体，附加法应力与线变形速度的关系: （1） (7-5-3) （2）平均压应力 定义点压强： (7-5-4) 式中， 、 、 表示法向应力， 表示压强， 表示理想流体压强。 （3）(7-5-5) 代入（7-5-4） （4） （7-5-6） a）对于理想流体 b）不可压缩流体 c ） 对于均匀流 流速沿流线是常数 d ）对于粘性流体方程 、
8、 、 三个未知数变为一个 ，原则上方程已可求解了 。 （7-5-6）式讨论： 四、 N-S方程 把（7-5-1）式和（7-5-6）式代入（7-4-1）式，消去应力 对不可压缩流体有 代入得 展开 当地加速度 位移加速度 （7-6-1） （7-6-3） 1、N-S方程 柱坐标系：P1977-6-4式 2、讨论： （1）与连续性方程联立，4个未知数、4个方程，原则上可求解速 度分量和压强。 N-S方程是不可压缩流体最普遍的运动微分方程。 （2）二阶非线性非齐次的偏微分方程组，难以求出精确解。只对 一些较简单的情况求出精确解。大多数问题是借助计算机技术求 出近似解。 P198例7-7 自学 例：已知
9、流速场 试求t=0.5时空间点（2,5,3）处的流体质点的加速度。 解： 7-5 理想流体运动微分方程及其积分 分析N-S方程 1、理想流体 （7-7-1） 2、静止时 得流体平衡微分方程（2-7-1a） 3、变换（7-7-1）式，在方程中第一式的加速度项加 之后， 整理得： 同理变换第二式、第三式，得： （7-7-2） 恒定流： ，并设质量力有势函数W，则 分别乘以dx、dy、dz，相加得 若 ， ，则 ，理想恒定流能量方程。 所以 是导出理想恒定流能量方程的条件。 行列式等于零，则任一行全等于零或任两行成比例。 讨论： （1） 流体静止。 （2） 流线方程 同一条流线上 （3） 无旋流 无
10、旋流空间各点，处处满足能量方程。 （4） 涡线方程 涡线上满足理想流体能量方程。 元流能量方程 （5） 螺旋流动 （涡线与流线相重合） 螺旋流动中，全部流动均满足理想流体能量方程。 7-6 流体运动的初始条件和边界条件 解二阶偏微分方程，需确定方程的定解条件（初始条件和边界条件） 。 目前，计算流体力学已广泛应用于解决工程中的流动问题，如何正确 合理给出初始条件和边界条件尤为重要。具体条件依赖于具体的流动 。 以粘性不可压缩流体流动为例 1、初始条件 若恒定流动，不必给出。 2、边界条件 边界包括固体壁面，两种流体介质的分界面，管道的出入口等。 （1）固体壁面静止 固壁无滑移条件 （2）不同液
11、体的分界面 ， 两侧液体的速度、压强保持连续 ，即 （3）自由液面 （4）进出口 考虑进出口速度分布和压强分布。 结论：合理的给出流动问题的初始条件和边界条件，对于确定简捷的 计算方法和获得准确的解是至关重要的。 实际工程作研究时，结合实际，反复验证，建立符合实际的流动 模型。 7-7 不可压缩粘性流体紊流运动的基本方程及封闭条件 （了解） 第7章小结 1、基本概念 1流体微团的运动形式及速度表达式； 2有旋、无旋流动；判断条件 3不可压缩流体连续性微分方程。 2、有旋流动 1涡量连续性方程； 2涡线方程； 3斯托克斯定理，汤姆逊定理。 3、N-S方程 1含义 2简化方程。 4、流动的初边界条件 习题7-9 p205 N-S方程应用 解：1
