第7章 线性回归模型的扩展

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1、第七章 线性回归模型的扩展 第一节 变量非线性回归模型 第二节 参数非线性回归模型* 第三节 虚拟解释变量回归模型 第四节 虚拟被解释变量回归模型* 机动 目录 上页 下页 返回 结束 *山东财经东财经 大学统计统计学院计计量经济经济教研 室 第2页页 前几章所讨论的，都是基于横截面数据的线性回 归模型，涉及的变量均是数值变量。实际上，许多经 济变量之间并不存在线性关系，建模中涉及的许多变 量也不直接表现为数值，而是属于分类变量的范畴。 为了扩大计量经济建模方法的适用范围，本章 拟将横截面数据的线性回归建模方法扩展到对非线 性关系的分析，并将计量经济模型的变量类型从数 值变量扩展到分类变量。

2、机动 目录 上页 下页 返回 结束 *山东财经东财经 大学统计统计学院计计量经济经济教研 室 第3页页 线性回归分析的前提是作为被解释变量的经济变量与作为 解释变量的经济变量之间存在着线性关系。这里所说的线性是 指解释变量线性并且参数线性。但是，在众多的经济现象中， 分析经济变量之间的关系，根据某种经济理论和对实际经济问 题的分析，所建立的经济模型往往不符合上面的线性要求，即 模型是非线性的，称为非线性模型(Non-linear Model)。 非线性模型包括两种情况：（1）解释变量非线性，但是参 数线性。（2）参数非线性。尤其参数非线性是对古典假定 SLR.1和MLR.1的违背，对回归分析影

3、响很大。 本节针对第一种情况进行讨论，常用的变量非线性回归模型 包括对数函数模型、双曲线模型和多项式模型。这类模型有一个 共同特点，可以利用变量转换等处理方法将模型线性化，线性化 后的模型即可采用OLS方法进行参数估计。这类非线性模型被称 为内蕴线性模型，或广义线性模型。 第一节 变量非线性回归模型 机动 目录 上页 下页 返回 结束 *山东财经东财经 大学统计统计学院计计量经济经济教研 室 第4页页 一、对数函数模型 （一）双对数函数模型 回归分析经常使用的对数模型是双对数函数模型 (Double-log Model)，考虑如下形式的需求收入模型 (7.2) (7.2）中的参数是以线性形式出

4、现在模型中的，虽然 (7.1)中原变量x和y之间是非线性的，但因变量与自变量 的对数形式是线性的，因而称双对数函数模型。 对数函数模型的自变量和因变量中，至少有一种 是原始变量的对数形式。具体分为以下两种类型： 两边取对数，模型可变换为: (7.1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 *山东财经东财经 大学统计统计学院计计量经济经济教研 室 第5页页 实际工作中，双对数模型应用非常广泛， 其原因在于，如果忽略误差项,(7.2)是一条直线 （y和x都是对数形式），所以它的斜率（1） 为一常数,是y相对于x的弹性系数: 所以弹性为一常数。由于这个特殊的性质， 双对数模型又称为不变(固定)弹性模型

5、。 对这类模型可作如下代换，令 双对数模型可化为标准线性模型 在古典假定满足的情况下，可以使用OLS对模型进行估计。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 *山东财经东财经 大学统计统计学院计计量经济经济教研 室 第6页页 对于多个解释变量的情形，（7.2）式可以扩展为 （7.3） 称为偏弹性系数。它度量了在其他变量不变的条件 下，被解释变量y对于解释变量 的弹性系数。 如著名的柯布道格拉斯（CobbDouglas）生产函 数模型 ，就是这类模型的一个典型，我 们下面举例说明。 例7-1 表7-1列出了抽样调查得到的某市19个规模以上 制造业企业的投入产出数据。试用回归分析法分析企 业产出中各要

6、素的贡献及其特点。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 *山东财经东财经 大学统计统计学院计计量经济经济教研 室 第7页页 企业产值Q（万元）职工数L（人） 固定资产K（万元） 大华1291.878742051.92 麒麟1347.058952151.3 双剑1399.69172250.21 衡麓1505.119572370.26 六合1578.979532488.97 春风1652.869662606.61 联华1784.9110332754.66 太岳1994.5710982953.78 东海2123.2311753157.15 荷佳2269.7711523376.42 博世2411.94

7、11543635.99 科维2608.8112073918.47 梅花2774.9812304223.82 绿源2965.312964550.49 人和3067.1213344846.77 花都3290.313745205.33 金鼎3540.5715925615.31 谦祥3749.7714156098.25 表71 某市19个规模以上制造业企业的投入产出数据 机动 目录 上页 下页 返回 结束 *山东财经东财经 大学统计统计学院计计量经济经济教研 室 第8页页 用EViews建立双对数模型，回归结果如下： 样本回归方程为： Dependent Variable: LOG(Q) Method

8、: Least Squares Included observations: 19 after adjustments VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C-1.5452110.590710-2.6158550.0187 LOG(L)0.3397010.1889871.7974790.0912 LOG(K)0.8419100.0951418.8491220.0000 R-squared0.994499 Mean dependent var7.651499 Adjusted R-squared0.993811 S.D. dependent

9、 var0.365836 S.E. of regression0.028780 Akaike info criterion-4.114328 Sum squared resid0.013253 Schwarz criterion-3.965206 Log likelihood42.08611 F-statistic1446.223 Durbin-Watson stat0.432115Prob(F-statistic)0.000000 机动 目录 上页 下页 返回 结束 *山东财经东财经 大学统计统计学院计计量经济经济教研 室 第9页页 对样本回归方程解释如下：斜率系数0.3397表示 产出对劳

10、动投入的弹性，即表明在资本投入保持不变 的条件下，劳动投入每增加一个百分点，平均产出将 增加0.3397个百分点。同样地，在劳动投入保持不变 的条件下，资本投入每增加一个百分点，产出将平均 增加0.8419个百分点。两个弹性系数相加为规模报酬 系数，其数值大于1，表明该市经济的特征很可能是 规模报酬递增的（如果数值等于1，属于规模报酬不 变；小于1，则属于规模报酬递减）。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 *山东财经东财经 大学统计统计学院计计量经济经济教研 室 第10页页 根据单边检验的结果，这两个系数各自均是统 计显著的（这是用单边检验，即 ，因为我 们预期劳动力和资本对产出影响都是正向

11、的），模 型的F值也是高度显著的（因为prob=0.0000），因 此能够拒绝零假设：劳动力与资本对产出无影响。 R2值为0.995，表明劳动力和资本（对数）的变动解 释了大约99.5%的产出（对数）的变动，说明了模 型很好地拟合了样本数据。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 *山东财经东财经 大学统计统计学院计计量经济经济教研 室 第11页页 （二）半对数函数模型 线性模型与对数函数模型的混合就是半对数模型(Semi-log Models) 。 因变量是对数形式（对数线性模型）： （7.4） 解释变量是对数形式 （线性对数模型）： （7.5） 这两个模型的参数是以线性形式出现的，虽然原变量

12、 之间是非线性的，但被解释（解释）变量的对数与解释（ 被解释）变量之间是线性关系，因此，半对数函数模型可 以很容易地转换成线性模型，并使用OLS估计参数。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 *山东财经东财经 大学统计统计学院计计量经济经济教研 室 第12页页 对于半对数模型（7.4），显然有 可见， 表示x每变化一个相对单位（变动率）对 应的y的平均绝对变动量，所以，半对数函数模型又称增 长率模型。（7.4）常用于度量由解释变量相对变动率导 致的被解释变量平均变动的绝对数量；（7.5）常用于度 量由解释变量绝对量变化导致的被解释变量的平均相对 变动率。两个模型中的斜率系数 又被称为半弹性(S

13、emi -elasticity)系数。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 *山东财经东财经 大学统计统计学院计计量经济经济教研 室 第13页页 二、双曲线模型 形如 的模型，称为双曲线模型(Double-curve Model)。该模型刻 画了 y与x的反向变动关系,其显著特点是随着 x的无限增大( 即 1/x接近于零)， y趋近于 。 令 ，原模型可化为线性形式 即可用OLS的方法进行估计。 菲利普斯曲线（Phillips Curve）就是这个模型在经济 分析中应用的典型体现。菲利普斯曲线刻画了通货膨胀率 与失业率的反向变动关系，如图7-1。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 *山东财经

14、东财经 大学统计统计学院计计量经济经济教研 室 第14页页 失业率与通货膨胀率负向相关，同时通货膨胀率变化 有一个渐近底限 。当失业率x趋于无穷大时，通货膨胀率y 将取渐近值 。 0 失业率 菲利普斯曲线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 *山东财经东财经 大学统计统计学院计计量经济经济教研 室 第15页页 三、多项式函数模型 多项式回归模型（Polynomial Regression Model）在 生产与成本函数分析中被广泛地使用。 如果用y表示成本，x表示产出，则可以建立以下多 项式模型，体现微观经济分析中的二者关系： 总成本（TC）： 边际成本（MC）和平均成本（AC）的 PRF为：

15、 （7.8） 即总体回归函数（PRF）为： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 *山东财经东财经 大学统计统计学院计计量经济经济教研 室 第16页页 产出x 成本y 产出x 成本y MC TC AC 成本曲线 如果模型的解释变量为时间变量t，多项式函数模型 又称为曲线回归模型，常常用于对非线性长期趋势的拟 合。 有时为了反映自变量之间的交互影响，也需要用到多项 式回归模型。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 *山东财经东财经 大学统计统计学院计计量经济经济教研 室 第17页页 如以y、x、z分别表示单位面积上的粮食产量、施肥量 和灌溉用水量。由于施肥量和灌溉用水量对粮食产量的效 应之间存在交

16、互影响，所以，可以建立以下模型： 施肥量x对粮食产量y的总边际影响是： 是施肥量对粮食产量的直接效应（假定灌溉用水量不 变）， 是施肥量对粮食产量的间接效应，随灌溉用水量的 不同而变化，说明肥效的发挥取决于灌溉用水的多少。同样 ，灌溉用水z对粮食产量y的总边际影响也可以这样分解。显 然，该模型比单纯的二元回归模型 更符 合实际情况。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 *山东财经东财经 大学统计统计学院计计量经济经济教研 室 第18页页 例7-2 表7-3给出了某市16个企业的产品产量（x）与单位产 品成本（y）的抽样调查数据。试研究二者的依存关系。 企业序号产品产量 （吨）x 单位产品成 本 （元/吨）y 企业序号 产品产量 （吨）