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1、 高等数学电子教案 第二章 导 数 与 微 分 我们已经研究了函数即变量之间相互依存关系, 现在我们进一步研究当自变量变化时，函数变化的 快慢程度，即变化率问题.这就产生导数和微分的 概念。 高等数学电子教案 第一节 导 数 概 念 1.速度的概念 某一质点沿直线作变速运动,质点所经过的路程S和时间 t的函数关系为S=f(t), 现在我们研究质点在某一时刻t0的瞬 时速度.取t0到t0+t这一段时间间隔,在这段时间内，质点 走的路程为 s=f(t0+ t)- f(t0) 这一段时间的平均速 度为 当t0时,对两边取极限,如果极限存在,我们称为时刻 t0的 瞬时速度,在高等数学中把瞬时速度称为路
2、程对时间的导数。 一、引例 高等数学电子教案 2 切线问题 有很多实际问题与曲线的切线有关, 例如有关运动的方 向问题, 有关光线的入射角和反射角问题等. 我们知道圆的 切线可定义为“与圆只有一个交点的直线”，对于更复杂的 曲线, 我们把曲线的切线定义为“与曲线只有一个交点的直 线”就不合适. 过p点的直线L是曲线C上的切线, 但不符合 上面的 定义. 下面我们给出切线的定义. c p L L 高等数学电子教案 设曲线C 是函数y=f(x)的图形, M0(x0,y0) 是曲线C上的一点 y0=f(x0)，在曲线C上 任取一点M(x,y), 连接这两点的直线称 为曲线的割线, 此割线的斜率为 M
3、0 M x0 x C 令M点沿曲线C趋向M0点,这时xx0,如果极限存在, 我们把过点M0而以k为斜率的直线称为曲线C在点M0的切线. 高等数学电子教案 3. 现在我们来研究收益对销售量的变化率-边际收益 若某商品的总收入(收益)R是销售量q的函数, 即 R=R(q) (q0) ，求当销售量为q0个单位时总收益的变化率？ 若销售量q由q0改变到q0+q,则总收益R取得相应的改变量 存在,则称此极限值为销售量是q0个单位时总收入的变化率. 类似地, 若某产品的总成本C是产量q的函数C(q), 则在产 量为q0时的边际成本为 于是总收入的平均变化率为 若极限 高等数学电子教案 二、 导数的定义 由
4、此，我们可以归纳出导数的定义 定义1 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义, 点 x0+x也在该邻域内，当自变量在 x0 处取得增量x时, 相应地函数获得增量y=f(x0+x)-f(x0), 如果增量之比 y/ x, 当x0时的限存在, 则称函数y=f(x)在点x0处 可导, 或称为f(x)在点x0存在导数, 并称此极限值为函数 y=f(x)在点x0处的导数, 记为 即 高等数学电子教案 如果上述极限不存在, 就说函数在点x0处不可导, 或说没 有导 数， 如果上述极限为无穷大, 虽然也是极限不存在，但有时说 函数 f(x) 在点x0的导数为无穷大, 即有广义导数。 相应地, 如果将上
5、述极限过程为x0+, 就是单侧导数, 点x0的右导数与左导数,分别为 高等数学电子教案 显然, 存在的充分必要条件是 都存在, 且 都可导(在I的端点上为单侧可导),则称f(x)在区间I上可导。 此时，在I上每一个确定的x值，都有函数f(x)的一个确定的 导数值与它相应, 这样构成的新函数叫做原函数f(x)在区间 I上的导函数，有时称为f在 I 上的导数,记作 如果函数y=f(x)在某区间I上的每一点 高等数学电子教案 即有 可见函数在x0处的导数值f(x0)就是导函数f(x)在点x=x0的 函数值 有了导数的定义后,可以说变速运动的瞬时速度v 是路 程函数 s=f(t)对于时间的导数,即v=
6、ds/dt, 导数的实质是 平均变化率的极限, 它反映当自变量变化时,函数变化的 快慢程度，导数大，函数的变化 快；导数小，函数的 变化慢。 高等数学电子教案 例1 试按定义取函数 的导数。 解: 一般由定义求导数按下面三个步骤进行; (1)求出函数y的增量y; (2)写出增量比y/ x; (3)使x0,求增量比的极限. 高等数学电子教案 在理解导数的概念和用导数的定义来求导数时，我们通 过上述例子应该明确下面几点. 高等数学电子教案 (1) 函数y=f(x)的改变量y=f(x+x)-f(x); 当x固定时, y 是随x的变化而变化的，即是x的函数,当x发生变化 时, y也是x的函数，故y是x
7、, x两者的函数。同样, 它们的变化率一般说来也是两者的 函数， 这说明函 (2) 若函数y=f(x)在x0点处连续，则当x0时,y0。 这样求增量 比y/x的极限过程，也就是研究两个 无穷小量y， x之比 y/x的过程， 数在不同点的变化率也不同. 高等数学电子教案 函数f(x)在点x0处可导即表示y和x是同价无 穷小量 或者y比x高价的无穷小量.这表示导数必须依赖于极限. (3) 导数f(x)是x的函数,它和x没有关系. (4) 令x0+x=x,则x=x0-x,当x0时,xx0,导数有如下 的表示法. 高等数学电子教案 例2 设 存在,求下列各极限 解： 解题思路就是应用公式 高等数学电子
8、教案 高等数学电子教案 例3 设f(x)在x=1处连续,且求f (1) 高等数学电子教案 导数不存在 例4 设f(x)在(-,+)内有定义，对任意x，恒有 f(x+1)=2f(x),当0x1时,f(x)=x(1-x2),试判断在x=0处, f (x)是否存在. 高等数学电子教案 (1) 常数y=C的导数 常数的导数为0，常数在任意一点的变化率为0. 1. 求导数举例: 高等数学电子教案 在下一讲中我们可以知道这个导数公式对于任意实数 也是成立的，有 (2) 幂函数y=xn(nN)的导数 高等数学电子教案 （3）指数函数y=ax(a0,a1)的导数 P68例7， 证明如下 高等数学电子教案 下面
9、证明 高等数学电子教案 上面我们讨论了导数的定义,从定义上看导数是两个无 穷小之比的极限.如果导数存在,则y和x这两个无穷小分 别是等阶, 同阶的，低阶的。 从上面导数的举例中,我们得到下列的求导公式 （4） 正(余)弦函数的导数 设y=sinx则 高等数学电子教案 (1)常数C的导数. ( C )=0. (2)幂函数f(x)=xn (xn )=nxn-1 (3)指数函数f(x)=ax (ax )= ax lna 特别是f(x)=ex (ex)= ex (4)对数函数f(x)=logax (logax)=1/(xlna). 特别是f(x)=lnx (lnx)=1/x (5)三角函数f(x)=s
10、inx (sinx)=cosx f(x)=cosx (cosx)= - sinx. 在今后的计算中我们不用定义求导数而直接使用上面的公式. 高等数学电子教案 例5 下面的求导验算正确否？如有错误，则改正之。 解：1 0 第二项是常数， 常数的导数为0 20 ln2的导数是0,且1/x不是简单的倒数问题. 有些抽象函数如果在某点可导,只能用定义计算该函数 在该点 的导数. 例如 高等数学电子教案 例6 设f(x)=(x3-a3)(x),其中(x) 在x=a处连续, 求f(a). 解: 因不知道f(x)在x=a处可导,只能用定义求 高等数学电子教案 证明: 因f (x)为偶函数,f(x)=f(-x
11、), 由导数定义,有 例7 如果f(x)为偶函数且 存在, 证明 =0 高等数学电子教案 用导数定义求可导函数的差值与其自变量为无穷小之比 的极限 解：如果此函数极限存在,则它的倒数为 则原极限等于1 例8 已知f(x0)= -1,求 高等数学电子教案 三. 导 数 的 几 何 意 义 设M0(x0,y0) 是曲 线 y=f(x)上的一点， 在M0的邻域内取一 点M(x0+x,y0+y), 固定M0，当x0时，割线MM0绕M0转动到极限位M0T， 称M0T为曲线在点M0的切线 x M0 M 0 T y x x0x0+ x y y MM0的斜率 高等数学电子教案 导数的几何意义是曲线在该点的切线
12、的斜率. 由点斜式方程可知 曲线 y=f(x) 在M0(x0,y0)的切线方程 是 高等数学电子教案 我们知道,法线和切线相互垂直,它们斜率的乘积为-1, 平面曲线的法线方程为 如果函数在x0点处的导数为无穷大，这时切线垂直于x轴， 法线平行于x轴，切线方程为 x = x0，法线方程为 y = y0. 高等数学电子教案 例9 求曲线 y=x2 在点 (3,9) 处的切线方程和法线方程 高等数学电子教案 四、 函数可导性与连续性的关系 设函数y=f(x)在点x处可导，即存在极限 这说明函数y=f(x)在点x连续，即可导必连续，但函数 连续不一定可导。我们可举出反例来. 高等数学电子教案 例10
13、函数 y=|x|在(-,+ )内处处连续,但它在x=0处却不可导. 导数为曲线的斜率，在图中 可见当x=0时它的左右极限不 相等。所以函数在该点不可 导，就是在该点没有切线。 y y=|x| 高等数学电子教案 例11 函数 在(-,+ )内处处连续，但它在 x=0处却不可导 解：在x=0处 表示在x=0处的极限为无穷大， 即该点的切线垂直于x轴。 高等数学电子教案 可导的函数一定连续，连续的函数一定有极限， 所以f(x) 在x0处可导就一定有极限. 可导 连续有极限 不一定不一定 高等数学电子教案 例12 讨论 函数 f(x) = 在点x=0，x=1及x=2处的 连续性和可导性 解: (1)在x=0点处 (2)在x=1点处 高等数学电子教案 例12 讨论 函数 f(x)= 在点x=0，x=1及x=2处的 连续性和可导性 高等数学电子教案 (3)在点x=2处 例12 讨论 函数 f(x)= 在点x=0，x=1及x=2处的 连续性和可导性 高等数学电子教案 X-1 2x X2+1 X/2+1 x y 12 -1 例12 讨论 函数 f(x)= 在点x=0，x=1及x=2处的 连续性和可导性
