常微分方程(14)

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1、5.1 非线性方程研究的例子和概念 我们在前面两章中系统地学习了线性微分方程 和现行微分方程组，其理论、方法、结果对于解决实 际问题是非常重要的，但对于绝大部分实际问题，这 些知识是远远不够的，因为实际问题中所研究的对象 往往是非常复杂的，单纯靠线性微分方程是无法描述 这种复杂性的。线性模型往往是复杂问题的简化结果 。那么，这种简化是否揭示了实际问题的本质属性呢 ？如果不能时问题往往归结为非线性微分方程，非线 性方程能求出解析解的很少，需要进行数值计算或理 论分析。 微分方程的研究内容 求解：解析解、近似解、数值解 基本理论：解的存在惟一性、连续性 定性稳定性：时间趋于无穷时解的性态 分支理论

2、：解性态发生改变的一些参数值 本章的主要内容就是介绍非线性微分方程的基 本研究办法，其出发点是在无法求出解析解的情 况下通过方程本身的形式来分析时间趋于无穷时 解的性态。 不求解微分方程而通过方程右端函数的信息 探讨时间趋于无穷时解的性态 例 满足 的解为 ， (称为内禀增长率)，模型的简单解释就是说 时刻 例5.1.1 早期研究生态问题的一个简单的 微分方程模型时Malthus模型 (5.1.1 ) 其中 代表t时刻种群的数量， 为一个常数 种群的数量的变化率和种群数量成正比，这时一个 线性模型，加上初始条件 5.1 非线性方程研究的例子与概念 5.1.1 例子 可以容易地求得其解为 由解的

3、形式可以得出当 这种描述明显的与实际问题不符。因为任何生物的 数量都受生态环境的影响不会无限制的增长， 这就是线性化所引起的问题，它改变了实际现象的 时 变化规律，这就导出了对其改进的 Logisitic模型 这里的 及 的意义同(5.1.1), 是一个 常数，通常称为环境容纳量这是一个非线性的 问题，不过由于方程简单也利用初等积分可以 得到其解为： (1) 如果 ,则 ； (2) 如果 ,则 ； (3) 如果 ,则 当 时 ，从解的形式看出 (5.1.2)克服了(5.1.1)中种群数量无限增长的缺陷, 在一定程度上能更好的刻画实际问题的变化规律 对(5.1.1)和(5.1.2)这样能求出其解

4、的具体形 式的问题.当然可以用前面所学的知识来讨论其解 在 时的性态，而当我们求不出方程解时, 又该如何研究解的性态呢？ 事实上，对一些方程可从它的形式得到当 的性态。例若将方程(5.1.1)满足 初始值 的解记为 , 则从方程的形式可以看出， 当 ， 时 则 , 单调减 ; 当 则 , 单调增。 所以，当 时 ， 时 且单调减 必有极限 再由(5.1.1)看出 于是, ，即当 满足 同理可以得到 当 没有求解方程，通过解的形式得出了当 时， 时，(5.1.1)的解 这样我们 时， (5.1.1)所有的解满足 同理，当 时，对(5.1.2)的解 有： 当 时， 当 时， 当 时， 于是不同的

5、我们可以得到(5.1.2)解的性态如下： 例5.1.2 讨论当时下面方程组解的性态. （5.1.3） 解 由于(5.1.3)是一个非线性方程组，无法求出其 故我们用定性分析法来讨论(5.1.3)当 时解的性态.将(5.1.3)满足 的解记为 在时刻 ，该解在平面上的点为： 点随着时间t而变化， 点到坐标原点 由于 利用解满足的方程(5.1.3)得 于是， 随时间单调减少，再利用反证法可以得到。 得到 。我们得结论是 即设有求解方程组(5.1.3)，我们也成功地解决了 解的性态分析问题。 本章就是要给出通过方程的形式来分析解的 法。接下来先给出一些基本概念。 利用Maple观察解的变化情况(改变

6、 a) restart: a:=2; DEtoolsphaseportrait (diff(x(t),t)=-y(t)-x(t)*(x(t)4+(y(t)4), diff(y(t),t)=x(t)-y(t)*(x(t)4+(y(t)4), x(t),y(t), t=0100, x(0)=a,y(0)=0,x(0)=0,y(0)=a, x(0)=0,y(0)=-a,x(0)=-a,y(0)=0, x=-aa,y=-aa, dirgrid=17,17, stepsize=0.1, linecolor=blue, arrows=SLIM); 利用极坐标将方程组 （5.1.3） 化为 最一般的 阶非线

7、性微分方程可以表示为 : (5.1.4) 且 关于 的隐函数是存在的，即(5.1.4)可以 表示为 如果做变换 5.1.2 自治微分方程与非自治微 分方程,动力系统 则该方程可以表示为如下的一阶微分方程组: 因此，我们只要考虑如下更一般的 : （5.1.5） 方程组（5.1.5）可以记为向量形式 其中: 如果还有初始值条件 : (5.1.7) (5.1.6)和(5.1.7)就是一个初始值问题。 我们称向量函数为初始值问题(5.1.6)，(5.1.7)的 解。如果它满足: 和 关于初始值问题(5.1.6)，(5.1.7)也有解的存在惟 一性定理 若 在开区域 中满足： (1) 在 内连续 (2)

8、 关于 满足局部Lipschitz条件，即对于点 存在: 和依赖于 点的常数 使得对于任意的 ,不等式 成立其中 表示欧氏范数。 则初值问题(5.1.6),(5.1.7)在区间 上存 在唯一的解.这里: 微分方程(5.1.6)在 维空间 中确定了一个向量场，而满足(5.1.6),(5.1.7)的解 就是向量场中的一条积分曲线。 当(5.1.6)中的 函数满足解的存在惟一性条件 时，向量场中的任一点只有一条积分曲线经过。 如果把 t 理解为时间参量而只考虑空间变量 所在的空间,即 构成的 空间 相空间的投影曲线称为方程组的轨线。 一般地方程组(5.1.6)中的函数 这时的(5.1.6)就称为非自

9、治微分方程组,如果 数中不显含 (5.1.8) 是与 相关的, 函 ,即 称之为方程组(5.1.6)的相空间,积分曲线在 (5.1.8)就称为自治微分方程组。 可以从运动的观点来解释方程(5.1.6)或(5.1.8), 即把 理解为时间(不管它在实际问题中是否确为 时间), 理解为 维空中点的坐标.因而在任 意时刻 ,(5.1.6)在空间中定义了一个速度场 即为 时刻点 这时 处的第 个速度分量,方程的解 即给出了质点的运动规律.因而称之为一个运动。 在以上的意义下,我们称方程(5.1.6)为一个动力系 统。相应的(5.1.6)称为非自治系统，(5.1.8)称 等。常记为常记为 为自治系统。

10、5.1.3 基本定义 一般情况下方程(5.1.6)是无法用初等积分的方 法求解的，这当然为研究带了不便。但正因为这样 才使得非线性问题的研究更加丰富多彩。在许多应 场合没必要求出其精确解的具体形式。我们更感兴 趣的是方程(5.1.6)的解的定性性态，在应用中比较 重要的问题包括: 使得 (1)是否存在常数值 解 。（5.1.2）的常数解是 及 ) (2)设 解， 是(5.1.6)的解, 是(5.1.6)的另一个 与很接近时，对于一切是否有 是(5.1.6)的解,(如方程(5.1.1)的常数 有 与 都很接近? 这个问题就是后边涉及到的稳定性问题。 例如方程(5.1.2)中的常数解 ,若另有一解

11、 不难计算只要 与 很接近,即 很小， 就有: 很小，既是后边要定 义的稳定解。相应的(5.1.1)的解 , 无论 多么小，(5.1.1)的解 与 也不能保证对于一切 很接近，对于 (5.1.1)， 既是后边要定义的稳定解。 (3) (5.1.6)是否有解 ，满足 此即后边要定义的周期为 的周期解。 (4)当 时(5.1.6)任一解 有何趋向？ 它是否趋向于常数解或周期解? 本章将着重解决这些问题，下边是几个基本定义: 定义5.1 系统（5.1.6）的常数解 系统的平衡点(奇点或驻点)，常数解 称为 满足： 例5.1. 求下列系统的平衡点： 解 由定义，令 解得 所以方程组有惟一的平衡点。 如

12、果系统(5.1.6)的某个解 满足对一切 均有 其中 为一个常数，则称此解 为(5.1.6) 的一个周期解。 c2:=2; plot(-c2*exp(-t)+sin(t)/2,c2*exp(-t)+cos(t)/2, t=05*Pi,scaling=CONSTRAINED); 这些Maple语句依x=x(t),y=y(t)为参数在x-y平 面画出了 x=-c2*exp(-t)+sin(t)/2, y=c2*exp(-t)+cos(t)/2, 的图形 ,这个解趋于周期解 c2:=2; plot(-c2*exp(-t)+sin(t)/2,c2*exp(-t)+cos(t)/2, sin(t)/2,

13、cos(t)/2, t=05*Pi); 例5.1.5 用Maple命令画出下边捕食被捕食系统的 方向场及一些轨线图 (图5.1) 用Maple命令画出的图形 从计算机的模拟看出系统有多个周期解。 取t的变化范围 -100t0) restart: with(plots); ode1:=diff(x1(t),t)=-8*x1(t)+y1(t); ode2:=diff(y1(t),t)=-3*x1(t); dsolve(ode1,ode2,x1(0)=10,y1(0)=2,x1(t),y1(t); assign(%); t1:=fsolve(x1(t)=0,t); x10:=evalf(subs(t

14、=t1,x1(t); y10:=evalf(subs(t=t1,y1(t); plot(x1(t),y1(t),t=0t1); plot1:=(%): 分别画图(-1x0) ode3:=diff(x2(t),t)=4*x2(t)+y2(t); ode4:=diff(y2(t),t)=-3*x2(t); dsolve(ode3,ode4,x2(0)=x10,y2(0)=y10,x2(t),y2( t); assign(%); t2:=fsolve(x2(t)=-1,t); x20:=evalf(subs(t=t2,x2(t); y20:=evalf(subs(t=t2,y2(t); plot(x

15、2(t),y2(t),t=0t2); plot2:=(%): 分别画图(x-1) ode5:=diff(x3(t),t)=-x3(t)+y3(t)-5; ode6:=diff(y3(t),t)=-3*x3(t); dsolve(ode5,ode6,x3(0)=x20,y3(0)=y20,x3 (t),y3(t); assign(%); t3:=1.3697159924; x30:=evalf(subs(t=t3,x3(t); y30:=evalf(subs(t=t3,y3(t); plot(x3(t),y3(t),t=0t3); plot3:=(%): display(plot1,plot2,plot3); 分别画图(-1x0) with(plots); ode9:=diff(x5(t),t)=-8*x5(t)+y5(t); ode10:=diff(y5(t),t)=-3*x5(t); dsolve(ode9,ode10,x5(0)=x20,y5(0)=y20,x5(t),y 5(t); assign(%); plot(x5(t),y5(t),t=010); plot5:=(%): display(plot1,plot2,plot3,plot4,plot