《理论力学12_动力学_3.动量矩定理(精)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《理论力学12_动力学_3.动量矩定理(精)（60页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第1212章章 动量矩定理动量矩定理 几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题 动量矩定理动量矩定理 结论与讨论结论与讨论 相对于质心相对于质心( (平移系平移系) )的质点系动量矩定理的质点系动量矩定理 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 质点和质点和质点系动量矩质点系动量矩 刚体绕定轴转动的微分方程刚体绕定轴转动的微分方程 ？ 几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题 谁最先到谁最先到 达顶点达顶点 ？ 几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题 直升飞机如果直升飞机如果 没有尾翼将发生没有尾翼将发生 什么现象什么现象 ？ 几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题 为什么二者为什么二
2、者 转动方向相反转动方向相反 ？ 几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题 航天器是航天器是 怎样实现姿怎样实现姿 态控制的态控制的 1. 1. 质点的动量矩质点的动量矩 13-1 13-1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩 Mo(mv) O A(x,y,z) B r mv h y x z MO(mv) =mvh=2OAB MO(mv)定位矢量 2. 2. 质点系的动量矩质点系的动量矩 O ri vi y x z m1 mi m2 质点系中所有质点对于点质点系中所有质点对于点O O的的 动量矩的矢量和，称为质点系动量矩的矢量和，称为质点系 对点对点O O的动量矩。的动量矩。 v v i
3、 i ri mi y y x x z z 令 ： J J z z 刚体对刚体对 z z 轴的转动惯量轴的转动惯量 绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转 轴的转动惯量与转动角速度的乘积。轴的转动惯量与转动角速度的乘积。 定轴转动刚体对转轴的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩 13-2 13-2 动量矩定理动量矩定理 1. 1. 质点的动量矩定理质点的动量矩定理 Mo(F) Mo(mv) O A(x,y,z) B r mv y x z F 质点对某质点对某定点定点 的动量矩对时间的导数，等于的动量矩对时间的导数，等于 作用力对同一点的力矩。作用力对同一
4、点的力矩。 2. 2. 质点的动量矩守恒定律质点的动量矩守恒定律 r mv F M O h 有心力作用下的运动问题有心力作用下的运动问题 有心力作用下的运动轨迹是平面曲线。有心力作用下的运动轨迹是平面曲线。 3. 3. 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理 其中： 质点系对某质点系对某定点定点 的动量矩对时间的导数，等于作用于的动量矩对时间的导数，等于作用于 质点系的质点系的外力外力 对同一点的矩的矢量和。对同一点的矩的矢量和。 4. 4. 质点系动量矩守恒定律质点系动量矩守恒定律 如果外力系对于定点的主矩等于如果外力系对于定点的主矩等于 0 0，则质点系对这一点的动则质点系对这一点的动 量矩
5、守恒量矩守恒。 如果外力系对于定轴之矩等于如果外力系对于定轴之矩等于 0 0，则质点系对这一轴的动则质点系对这一轴的动 量矩守恒量矩守恒。 解：解：取系统为研究对象取系统为研究对象 例题例题12-112-1 均质圆轮半径为均质圆轮半径为R R、质量为质量为m m，圆轮对转轴的转动圆轮对转轴的转动 惯量为惯量为J JO O。圆轮在重物 。圆轮在重物P P带动下绕固定轴带动下绕固定轴O O转动，转动， 已知重物重量为已知重物重量为WW。 求求：重物下落的加速度：重物下落的加速度 O O P WW v v m mg g F F OxOx F F OyOy 应用动量矩定理应用动量矩定理 例题例题12-
6、212-2 水流通过固定导流叶片进入叶水流通过固定导流叶片进入叶 轮，入口和出口的流速分别为轮，入口和出口的流速分别为v v 1 1 和和v v 2 2 ，二者与叶轮外周边和内周二者与叶轮外周边和内周 边切线之间的夹角分别为边切线之间的夹角分别为 1 1 和和 2 2 ，水的体积流量为，水的体积流量为q q V V 、密度为密度为 ，水流入口和出口处叶轮的半径水流入口和出口处叶轮的半径 分别为分别为r r 1 1 和和r r 2 2 ，叶轮水平放置。叶轮水平放置。 求：求：水流对叶轮的驱动力矩。水流对叶轮的驱动力矩。 解：解：在在 d td t 时间间隔内，水流时间间隔内，水流 ABCDABC
7、D段的水流运动到段的水流运动到abcdabcd时，时， 所受的力以及他们对所受的力以及他们对O O轴之矩：轴之矩： 重力重力 由于水轮机水平由于水轮机水平 放置，重力放置，重力对对O O轴之矩等于轴之矩等于0 0 ； 相邻水流的压力相邻水流的压力 忽略忽略 不计；不计； 叶轮的反作用力矩叶轮的反作用力矩 与与 水流对叶轮的驱动力矩大小水流对叶轮的驱动力矩大小 相等，方向相反。相等，方向相反。 a b c d a b c d 应用动量矩定理应用动量矩定理 MM z z 例题例题12-312-3 求求：此时系统的角速度：此时系统的角速度 z aa ll AB C D o o z AB C D 解：
8、解：取系统为研究对象取系统为研究对象 m mg g m mg g 强与弱不分胜负强与弱不分胜负 13-3 13-3 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程 刚体刚体z z轴的转动惯量轴的转动惯量 v v i i ri mi F F1 1 F F2 2 F Fn n F F i i y y x x z z 刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用 于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。 转动惯量转动惯量是刚体转动时惯性的度量是刚体转动时惯性的度量 a C m mg g O 解：解：取摆为研究对象取摆为研究
9、对象 例题例题12-512-5 求求： 微小摆动的周期。微小摆动的周期。 已知已知：m m，a a，J J O O 。 摆作微小摆动，有：摆作微小摆动，有： 此方程的通解为此方程的通解为 周期为周期为 0 0 OFN F 例题例题12-512-5 求求： 制动所需的时间。制动所需的时间。 已知已知： J J O O ， 0 0 ，F FN N ， ，f f 。 解：解：取飞轮为研究对象取飞轮为研究对象 解得解得 例题例题12-612-6 求求： 轴轴的角加速度。的角加速度。 已知已知： J J 1 1 ， J J 2 2 ， R R 1 1 ， R R 2 2 ，i i12 12 = = R
10、R 2 2 / / R R 1 1 M M 1 1 ， MM 2 2 。 M1 M2 M2 M1 1 1 2 2 F Fn F Fn 解：解：分别取轴分别取轴和和为研究对象为研究对象 解得：解得： 13-4 13-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 刚体对刚体对 转转 轴的转动惯量轴的转动惯量 转动惯量转动惯量是刚体转动时惯性的度量是刚体转动时惯性的度量 。 转动惯量的大小不仅与质量的大小有转动惯量的大小不仅与质量的大小有 关，而且与质量的分布情况有关。关，而且与质量的分布情况有关。 其单位在国际单位制中为其单位在国际单位制中为kgmkgm 2 2 1. 1. 简单形状物体的转动惯量的计
11、算简单形状物体的转动惯量的计算 （1 1）均质细直杆）均质细直杆 CBA l xdx x z （2 2）均质圆环）均质圆环 R O z （3 3）均质圆板）均质圆板 R d d O 2. 2. 惯性半径（或回转半径）惯性半径（或回转半径） 2. 2. 平行轴定理平行轴定理 两轴必须是相互平行两轴必须是相互平行 J JZC ZC 必须是通过质心的 必须是通过质心的 CB A zCz l O C d m1 m2 O C 例题例题12-612-6 求求：O O 处动约束反力。处动约束反力。 已知已知： m m ，R R 。 解：解：取圆轮为研究对象取圆轮为研究对象 mg FOy FOx 解得：解得：
12、 由质心运动定理由质心运动定理 13-5 13-5 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理 mi ri O y x z ri y x z C vi rC 质点系相对于质心质点系相对于质心 ( ( 平移系平移系 ) ) 的动量矩对时间的导数的动量矩对时间的导数 ，等于作用于质点系的外力对质心的主矩，等于作用于质点系的外力对质心的主矩 ，这就是，这就是质点质点 系相对于质心系相对于质心 ( ( 平移系平移系 ) ) 的动量矩定理的动量矩定理。 这一表达式只有将质心取为定点才是正确的。这一表达式只有将质心取为定点才是正确的。 当外力对质心的主矩为当外力对质心的主矩为0 0时，时，
13、mi ri O y x z ri y x z C vi rC 由质心坐标公式，有由质心坐标公式，有 13-6 13-6 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程 O y x x y C D F1 F2 Fn 由质心运动定理和相对于质由质心运动定理和相对于质 心的动量矩定理，有：心的动量矩定理，有： 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 例题例题12-712-7 已知已知： m m ，R, fR, f ， 。 就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。 C FN mg ( (a a) ) 斜面光滑斜面光滑 aC 解：
14、解：取圆轮为研究对象取圆轮为研究对象 圆盘作平动圆盘作平动 ( (b b) ) 斜面足够粗糙斜面足够粗糙 C FN aC mg F 由 得： 满足纯滚的条件： ( (c c) ) 斜面介于上述两者之间斜面介于上述两者之间 C FN aC mg F 圆盘既滚又滑圆盘既滚又滑 F C 例题例题12-812-8 已知已知： m m 1 1 , , m m 2 2 , , R, fR, f , , F F 。 求：求： 板的加速度。板的加速度。 F C F1 FN1 FN2 F2 FN2 F2 m1g m2g a aCar 解：解：取板和圆轮为研究对象取板和圆轮为研究对象 对板：对板： 对圆轮：对圆轮
15、： 解得： 关于突然解除约束问题关于突然解除约束问题 O O F F OxOx F F OyOy WW= =m mg g O O F F OyOy F F OxOx WW= =m mg g 解除约束前：解除约束前： F FOx Ox= =0 0, , F FOyOy= =mg mg/2/2 突然解除约束瞬时：突然解除约束瞬时： F FOx Ox= =？ ？, ,F FOy Oy = = ？ 关于突然解除约束问题关于突然解除约束问题 例例 题题 9 9 突然解除约束瞬时，突然解除约束瞬时， 杆杆OAOA将绕将绕O O轴转动，轴转动， 不再是静力学问题。不再是静力学问题。 这时，这时， 0 0， 0 0。 需要先求出需要先求出 ，再确定再确定 约束力。约束力。 应用定轴转动微分方程应用定轴转动微分方程 应用质心运动定理应用质心运动定理 O O F F OxOx F F OyOy WW= =m mg g 解除约束的前、后瞬时，速度与角速度连续，解除约
