最适合初学者看的能带理论讲解

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1、前言 第 八 章 晶体的能带结构 从STM得到的硅晶体 表面的原子结构图 物理学前言之一 材料的性质 大规模集成电路 半导体激光器 超导 人工微结构 1 8.1 晶体的能带 一. 电子共有化 晶体具有大量分子、原子或离子有规则 排列的点阵结构。 电子受到周期性势场的作用。 a 按量子力学须解定态薛定格方程。 2 解定态薛定格方程(略）， 可以得出两点重要结论： 1.电子的能量是分立的能级; 2.电子的运动有隧道效应。 原子的外层电子(高能级)， 势垒穿透概率 较大， 电子可以在整个晶体中运动, 称为 共有化电子。 原子的内层电子与原子核结合较紧,一般 不是 共有化电子。 3 二. 能带 (en

2、ergy band) 量子力学计算表明，晶体中若有N个 原子，由于各原子间的相互作用，对应于 原来孤立原子的每一个能级,在晶体中变 成了N条靠得很近的能级,称为能带。 晶体中的电子能级 有什么特点？ 4 能带的宽度记作E ，数量级为 EeV。 若N1023,则能带中两能级的间距约10-23eV。 一般规律： 1. 越是外层电子，能带越宽，E越大。 2. 点阵间距越小，能带越宽，E越大。 3. 两个能带有可能重叠。 5 离子间距 a 2P 2S 1S E 0 能带重叠示意图 6 三 . 能带中电子的排布 晶体中的一个电子只能处在某个能带中的 某一能级上。 排布原则： 1. 服从泡里不相容原理（费

3、米子） 2. 服从能量最小原理 设孤立原子的一个能级 Enl ，它最多能容 纳 2 (2 +1)个电子。 这一能级分裂成由 N条能级组成的能带后， 能带最多能容纳 2N(2l +1)个电子。 7 电子排布时，应从最低的能级排起。 有关能带被占据情况的几个名词： 1满带（排满电子） 2价带（能带中一部分能级排满电子） 亦称导带 3空带（未排电子） 亦称导带 4禁带（不能排电子） 2、3能带，最多容纳 6N个电子。 例如，1、2能带，最多容纳 2N个电子。 2N(2l+1) 8 一. 布洛赫定理 一个在周期场中运动的电子的波函数应 具有哪些基本特点？ 在量子力学建立以后，布洛赫（F.Bloch）

4、和布里渊（Brillouin）等人就致力于研究 周期场中电子的运动问题。他们的工作为 晶体中电子的能带理论奠定了基础。 布洛赫定理指出了在周期场中运动的电子 波函数的特点。 8.2（补充） 布洛赫定理 空间 9 在一维情形下，周期场中运动的电子能量E(k) 和波函数 必须满足定态薛定谔方程 k -表示电子状态的角波数 V( x ) -周期性的势能函数，它满足 V( x ) = V( x + n a ) a - 晶格常数 n -任意整数 10 布洛赫定理： 式中 也是以a为周期的周期函数， 即 * 注*：关于布洛赫定理的证明，有兴趣的读者 可以查阅固体物理学黄昆原著 韩汝琦改编 （1988）P1

5、54 具有(2)式形式的波函数称为布洛赫波函数, 或布洛赫函数。 满足（1）式的定态波函数必定具有如下的 特殊形式 11 布洛赫定理说明了一个在周期场中运动的电子 波函数为：一个自由电子波函数 与一个具有 晶体结构周期性的函数 的乘积。 只有在 等于常数时，在周期场中运动的 电子的波函数才完全变为自由电子的波函数。 这在物理上反映了晶体中的电子既有共有化的 倾向，又有受到周期地排列的离子的束缚的特点。 因此，布洛赫函数是比自由电子波函数 更接近实际情况的波函数。 它是按照晶格的周期 a 调幅的行波。 12 实际的晶体体积总是有限的。因此必须 考虑边界条件。 设一维晶体的原子数为N,它的线度为

6、L=Na, 则布洛赫波函数 应满足如下条件 此式称为周期性边界条件。 二 . 周期性边界条件 采用周期性边界条件以后，具有 N 个晶格点的 晶体就相当于首尾衔接起来的圆环： 在固体问题中，为了既考虑 到晶体势场的周期性，又考虑到晶体是有限 的，我们经常合理地采用周期性边界条件： 13 由周期性边界条件可以推出:布洛赫波函数 的 波数 k 只能取一些特定的分立值。 a a 周期性边界条件对波函数中的波数是有影响的。 图 2 周期性边界条件示意图 14 左边为 右边为 所以 由周期性边界条件 即周期性边界条件使 k 只能取分立值： 证明如下: 按照布洛赫定理： 15 k 是代表电子状态的角波数,

7、n 是代表电子状态的量子数。 对于三维情形, 电子状态由一组量子数(nx、 ny、nz)来代表。 它对应一组状态角波数（kx、 ky、 kz）。 一个 对应电子的一个状态。 16 我们以 为三个直角坐标轴，建立 一个假想的空间。这个空间称为波矢空间、 空间，或动量空间*。 kx、 ky、 kz 由于德布洛意关系 ，即 ， 所以 空间也称为动量空间。 注： 在 空间中，电子的每个状态可以用 一个状态点来表示，这个点的坐标是 三. 空间 17 ky kx 0-112-23-3 1 -1 2 -2 -3 3 上式告诉我们，沿 空间的每个坐标轴方向， 电子的相邻两个状态点之间的距离都是 。 图 3 表

8、示二维 空间每个点所占的面积是 。 因此， 空间中每个状态点所占的体积为 。 图 3 二维 空间 示意图 18 8.3 克朗尼格- 朋奈模型 能带中的能级数目 一 . 克朗尼格- 朋奈模型 能带理论是单电子近似理论。 布洛赫定理指出，一个在周期场中运动的电子， 其波函数一定是布洛赫函数。 下面我们通过一个最简单的一维周期场- 克朗尼格- 朋奈（Kroning-Penney）模型来说明 晶体中电子的能量特点。 周期性边界条件的 引入,说明了电子的状态是分立的。 它把每个电子的 运动看成是独立地在一个等效势场中的运动。 现在再来说明电子的能量有什么特点？ 回顾： 19 克朗尼格- 朋奈模型是把图1

9、的周期场简化为 图 4 所示的周期性方势阱。假设电子是在这样的 周期势场中运动。 在 0 x a 一个周期的区域中，电子的势能为 0 ca U0 U(x) x b 图 4 克朗尼格 - 朋奈模型 20 按照布洛赫定理，波函数应有以下形式 式中 即可得到 满足的方程 将波函数 代入定态薛定谔方程 21 利用波函数应满足的有限、单值、连续等物理 （自然）条件，进行一些必要的推导和简化， 最后可以得出下式 注*：有兴趣的读者可参阅固体物理基础 蔡伯熏编（1990）P 268。 式中 而 是电子波的角波数*。 （4）式就是电子的能量 E 应满足的方程,也是电子 能量 E与角波数 k 之间的关系式。 2

10、2 (4)式的左边是 能量E 的一个较复杂的函数，记作 f(E)； 由于 ， 所以使 的 E 值 都不满足方程。 下图5 为 给出了一定的 a、b、U0 数值后的 f(E)： 右边是角波数 k 的函数。 23 由图看出，在允许取的 E值（暂且称为能级）之间， 有一些不允许取的 E值（暂且称为能隙）。 下面 的图 6 为E k 曲线的某种表达图式。 图 5 f(E)函数图 f(E) E 24 E2 E3 E5 E4 E6 E7 E1 0 E 图 6 E k 曲线的表达图式 25 两个相邻能带之 间的能量区域称 为禁带。 晶体中电子的能量 只能取能带中的数 值，而不能取禁带 中的数值。 图中 为

11、“许可的能量”， 称为能带*。 E2 E3 E5 E4 E6 E7 E1 0 E 图 6 E k 曲线的表达图式 26 E k 曲线与 a 有关、与 U0b 乘积有关。 乘积 U0b 反映了势垒的强弱。 由于原子的内层电子受到原子核的束缚较大， 与外层电子相比，它们的势垒强度较大。 计算表明： U0b 的数值越大所得到的能带越窄。 所以，内层电子的能带较窄。 外层电子的能带较宽。 27 从 E k 曲线还可以 看出： k 值越大， 相应的能带越宽。 由于晶体点阵常数 a 越小，相应于 k 值越大。 因此，晶体点阵常数 a 越小，能带的宽度就越大。 有的能带甚至可能出现重叠的现象。 这些都与 8

12、.1 节“概述”中介绍的结论是一致的。 E2 E3 E5 E4 E6 E7 E1 0 E 图 6 E k 曲线的表达图式 28 二 . 能带中的能级数 晶体中电子的能量不能取禁带中的数值， 只能取能带中的数值。由 图 5 可以看出： 第一能带 k 的取值范围为 第二能带 k 的取值范围为 第三能带 k 的取值范围为 每个能带所对应的 k 的取值范围都是 * 。 注* ：我们把以原点为中心的第一能带所处的 k 值 范围称为第一布里渊区;第二、第三能带所处的 k值范围称为第二、第三布里渊区，并以此类推 。 29 所以，晶体中电子的能带中有 N 个能级。 电子在晶体中按能级是如何排布的呢？ 电子是费

13、密子，它的排布原则有以下两条： （1） 服从泡里不相容原理 （2） 服从能量最小原理 而在 空间每个状态点所占有的长度为 ， 因此，每一能带中所包含的（状态数）能级数为 每个能带所对应的 k 的取值范围都是 。 30 对于孤立原子的一个能级 Enl 按照泡里不相容原理 ，最多能容纳 2（2 l +1）个电子。 在形成固体后，这一能级分裂成 由 N 条能级组成 的能带了，它最多能容纳的电子数为 2N(2l+1)个。 例如，对孤立原子的1S、2S能级,在形成固体后相应 地成为两个能带。它们最多能容纳的电子数为 2N个。 对孤立原子的 2P、3P能级, 在形成固体后也相应地 成为两个能带。它们最多能

14、容纳的电子数为 6N个。 电子排布时还得按照能量最小原理 从最低的能级排起。 31 孤立原子的最外层电子能级可能填满了电子也 可能未填满了电子。若原来填满电子的， 在形成固体时，其相应的能带也填满了电子。 若孤立原子中较高的电子能级上没有电子， 在形成固体时，其相应的能带上也没有电子。 若原来未填满电子的， 在形成固体时，其相应的能带也未填满电子。 孤立原子的内层电子能级一般都是填满的， 在形成固体时，其相应的能带也填满了电子。 32 排满电子的能带称为满带； 排了电子但未排满的称为未满带（或导带）； 未排电子的称为空带； （有时也称为导带）； 两个能带之间的禁带是不能排电子的。 33 8.4

15、 导体和绝缘体 （conductor insulator） 它们的导电性能不同， 是因为它们的能带结构不同。 晶体按导电性能的高低可以分为 导体 半导体 绝缘体 34 导体 导体 导体 半导体 绝缘体Eg Eg Eg 35 在外电场的作用下，大量共有化电子很 易获得能量，集体定向流动形成电流。 从能级图上来看，是因为其共有化电子 很易从低能级跃迁到高能级上去。 E 导体 36 从能级图上来看，是因为满带与空带之间 有一个较宽的禁带（Eg 约36 eV）， 共有化电子很难从低能级（满带）跃迁到 高能级（空带）上去。 在外电场的作用下，共有化电子很难接 受外电场的能量，所以形不成电流。 的能带结构,满带与空带之间也是禁带， 但是禁带很窄（E g 约0.12 eV )。 绝缘体 半导体 37 绝缘体与半导体的击穿 当外电场非常强时，它们的共有化电子还是 能越过禁带跃迁到上面的空带中的。 绝缘体 半导体 导体 38