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1、12-2 多元函数的极值 0 多元函数的极值和最值 一、多元函数的极值和最值 一、 多元函数的极值 定义: 若函数 则称函数在该点取得极大值(极小值).极大值和极小值 统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 的某邻域内有 (1) (2) (3) 例1 例 例 说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如, 定理12-6 (必要条件)函数 偏导数, 证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. 取得极值 , 取得极值 取得极值 但驻点不一定是极值点. 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 且在该点取得极值 , 则有 存在 故 2、多元函数取得极值的条件 几何解释 曲面z=f(
2、x,y)在极值点处切平面平行于坐标面xoy 证： z - z0= fx(x0,y0) (x-x0)+fy(x0,y0) (y-y0) (*) 若 fx(x0,y0) =0 fy(x0,y0)=0 切平面z = z0 =fx0,y0) 平行于坐标面xoy (1) 注：1）极值点处的切平面平行于xoy平面； 2）使一阶偏导数同时为零的点，称为 函数的驻点. 驻点极值点 如何判定驻点是否为极值点？ 注意： 与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外， 偏导数不存在的点也可能是极值点。 例如，显然函数 不存在。 在点（0，0）处处，=0， f(0,0)=0是否为为极值值对对足够够小的正数，有 f(，0)
3、=2（2-1）0 在点（0，0）的任一邻邻域内，既有函数值值大于 f(0,0)的点，又有函数值值小于f(0，0)的点，故 f(0，0)非极值值. 例2.讨论函数 及 是否取得极值. 解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 在(0,0)点邻域内的取值 , 因此 z(0,0) 不是极值. 因此为极小值. 正 负 0 在点(0,0) 并且在 (0,0) 都有 可能为 求最值的一般方法： 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上 的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值， 最小者即为最小值. 3、多元函数的最值 实际问题中当驻点唯一时，该驻点就是要 求的最值点。 例1. 解: 设水箱长
4、,宽分别为 x , y m ,则高为 则水箱所用材料的面积为 令得驻点 某厂要用铁板做一个体积为2 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 的有盖长方体水 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省? 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 高为 时, 水箱所用材料最省. 例2. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成 解: 设折起来的边长为 x cm,则断面面积 x 24 一个断面为等腰梯形的水槽, 倾角为 , 积最大. 为 问怎样折法才能使断面面 令 解得: 由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有 一个驻点, 故此点即为所求. 解 例(P1
5、12) 求表面积为 2a 而体积为最大的长方体的体积. 设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为 V . 目标函数 唯一驻点 第三步，比较以上两步所得各函数值，最大者为M， 最小者为m故M=25，m=9 解 (舍去x1) 解 由 x=y 二、最小二乘法 1、求不相容方程组的近似解 为最小。 不相容没有精确解，为求它的 近似解，需要（x,y)代入方程 使偏差 使得2有极小值，即x与y应满足如下条件： 由上式解出x与y 2、线性拟合 设观测数据为（xi,yi）(i=1,2,n)，未知函数 近似于线性函数，取 F(x)=ax+b 作为它的拟合曲 线，则观测数据点与拟合曲线的误差平方和为： 使得G(a,b)有极小值，即a与b应满足如下条件： 即： 由上式解出a与b，即得出拟合曲线的表达式。 例1 为了测定刀具的磨损速度，我们做这样的 实验：经过一定时间(如每隔一小时)，测量一 次刀具的厚度,得到一组试验数据如下： 解 计算得
