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1、第第1 1页页 概率论与数理统计 第二讲 王小才 主讲教师： 淮阴工学院数理学院 第一章 随机事件与概率 1.2 事件的概率与性质 1.3 条件概率 第第2 2页页 * 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 随机试验样本空间 子集 随机事件 随机事件 基本事件 必然事件 不可能事件 复合事件 2. 随机试验、样本空间与随机事件的关系 复习： 1.1 1.1 随机事件随机事件 随机现象的特征: 1. 概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科. 条件不能完全决定结果. 第第3 3页页 * 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 符号集合含义事件含义 全集样本空间，必然事件 空集不可能事件
2、 集合的元素样本点 单点集 基本事件 A 一个集合一个事件 A B A的元素在B中 A发生导致B发生 A=B 集合A与B相等 事件A与B相等 AB A与B的所有元素A与B至少有一个发生 AB A与B的共同元素A与B同时发生 A的补集A的对立事件 A-B 在A中而不在B中的元素 A发生而B不发生 AB= A与B无公共元素A与B互斥 第第4 4页页 * 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 1. 频率 (波动) 概率(稳定). 2. 概率的主要性质 1.2 1.2 事件的概率与性质事件的概率与性质 复习： 第第5 5页页 (5) 加法公式：对任意两事件A、B，有 证明 由图可得 又由性质 3
3、 得 因此得 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率1.2 1.2 事件的概率与性质事件的概率与性质 第第6 6页页 推广 三个事件和的情况 n 个事件和的情况 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率1.2 1.2 事件的概率与性质事件的概率与性质 第第7 7页页 例 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答出甲、乙 二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能 答出的概率为0.1. 求小王 解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题”， 该题转化为：已知 (1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率 第一章第一章 随
4、机事件与概率随机事件与概率1.2 1.2 事件的概率与性质事件的概率与性质 求 第第8 8页页 例、设 求 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率1.2 1.2 事件的概率与性质事件的概率与性质 注意注意: : 对任意个事件 对任意个事件A,BA,B, ,都有都有 P P( (A A-B B) )=P=P( (A A-ABAB) )=P=P( (A A) ) -P P( (ABAB) ) (1) (2) (3) 第第9 9页页 例 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何条件下， P(AB) 取得最大(小)值？最 大(小)值是多少？ 解 最小值在
5、时取得 最小值 最大值 最大值在 时取得 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率1.2 1.2 事件的概率与性质事件的概率与性质 第第1010页页 例 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何条件下， P(AB) 取得最大(小)值？最 大(小)值是多少？ 解 最小值在 时取得 最小值 思考 若回答当 AB时，P(AB)取得最 小值，是否正确? 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率1.2 1.2 事件的概率与性质事件的概率与性质 第第1111页页 加法原理加法原理 完成某件事情有完成某件事情有 n n 类途径，类途径， 在第一类途径中在第一类途
6、径中 有有mm 1 1 种方法，在第二类途径中有种方法，在第二类途径中有mm 2 2 种方法，依种方法，依 次类推，在第次类推，在第 n n 类途径中有类途径中有mm n n 种方法，则完成种方法，则完成 这件事共有这件事共有 mm 1 1 + +mm 2 2 +mm n n 种不同的方法种不同的方法. . 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率1.2 1.2 事件的概率与性质事件的概率与性质 复习：复习：排列与组合的基本概念排列与组合的基本概念 第第1212页页 乘法原理乘法原理 完成某件事情需先后分成完成某件事情需先后分成 n n 个步骤，做第一个步骤，做第一 步有步有mm 1 1 种
7、方法，第二步有种方法，第二步有mm 2 2 种方法，依次类种方法，依次类 推，第推，第 n n 步有步有mm n n 种方法，则完成这件事共有种方法，则完成这件事共有 mm 1 1 mm 2 2 mm n n 种不同的方法种不同的方法. . 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率1.2 1.2 事件的概率与性质事件的概率与性质 第第1313页页 1.2.3 概率的古典定义 1. 定义 若某随机实验E满足 (p11) 1.有限性：有限性：样本空间只含有有限个样本点 1,2 , ,n 2.等可能性：等可能性：P(1)=P(2)=P(n). 则称E为古典概型随机实验古典概型随机实验，简称古典概型
8、古典概型 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率1.2 1.2 事件的概率与性质事件的概率与性质 第第1414页页 设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成， A 为 E 的任意一个事件，且包含 m 个样本点，则事 件 A 出现的概率记为: 2. 古典概型中事件概率的计算公式 称此为概率的古典定义. 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率1.2 1.2 事件的概率与性质事件的概率与性质 第第1515页页 (1) 古典概型的判断方法（有限性 、等概性）； 注意: (2) 古典概率的计算步骤： 弄清试验与样本点; 数清样本空间与随机事件中 的样本点数; 列出比式进行计算。 1=(正正正),
9、(反正正),(正反正), (正正反), (正反反), (反正反), (反 反正), (反反反) 此样本空间中的样本点等可能 . 2=(三正), (二正一反), (二反一正 ), (三反) 此样本空间中的样本点不等可能. 抛一枚硬币三次 抛三枚硬币一次 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率1.2 1.2 事件的概率与性质事件的概率与性质 第第1616页页 (1)A指定的n个格子中各有一粒子. (2)B恰有n个格子中各有一粒子 子都以同样的概率 落入(Nn)个格子的每 例（分房模型) 有n个不同的粒子，每个粒 N 1 一格子中，试求下述事件的概率 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率1
10、.2 1.2 事件的概率与性质事件的概率与性质 样本点总数NnA中含有样本点总数n! 指定的指定的n n个格子个格子 第第1717页页 例 (生日问题) 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天是等可能的 , 即都等于 1/365 , 求 64 个人中至少有2人生日相同的概率. 64 个人生日各不相同的概率为 故64 个人中至少有2人生日相同的概率为 解 利用对立事件 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率1.2 1.2 事件的概率与性质事件的概率与性质 有有6464个不同的粒子，同样的概率落入个不同的粒子，同样的概率落入 365365个格子个格子, ,恰有恰有6464个格子中各有一粒子
11、个格子中各有一粒子. . 第第1818页页 我们利用软件包进行数值计算. 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率1.2 1.2 事件的概率与性质事件的概率与性质 第第1919页页 常见模型 不返回抽样 有a件次品、b件合格品. (口袋中有a个白球 ， b个黑球)从中不返回任取n个. A=恰有k个不合格品 此模型又称 超几何模型超几何模型 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率1.2 1.2 事件的概率与性质事件的概率与性质 样本点总数Ca+b n A中含有样本点总数Ca k Cb n-k 第第2020页页 a种 次品 抽得的抽得的n n件产品排成一列件产品排成一列, , 次品的位置Cn
12、 k 合格品 b种 常见模型 返回抽样 有a件次品、b件合格品. 从中有返回地任取 n 个. 则此n个中有k个不合格品的概率为： 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率1.2 1.2 事件的概率与性质事件的概率与性质 第1次摸球a+b种第2次摸球a+b种第n次摸球a+b种 样本点总数样本点总数 (a+b)n A A Cnkanbn-k 第第2121页页 1.2.4 概率的几何定义 若 样本空间充满某个区域， 其度量(长度、面 积、体积)为S； 落在中的任一子区域A的概率， 只与子区域的度量SA有关， 而与子区域的位置无关 (等可能的). 则事件A的概率为: P(A)= SA /S 第一章第
13、一章 随机事件与概率随机事件与概率1.2 1.2 事件的概率与性质事件的概率与性质 第第2222页页 那么 两人会面的充要条件为 例 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预 定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t ( t0，则 P(AB) = P(B)P(A|B)； 若 P(A)0，则 P(AB) = P(A)P(B|A). (2) 若 P(A1A2 An1)0，则 P(A1A2 An) = P(A1)P(A2|A1) P(An|A1A2 An1) 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率1.3 1.3 条件概率条件概率 第第3939页页 (2) 设P(B)0，且AB，
14、则下列必然成立的是( ) P(A)P(A|B) P(A)P(A|B) (3) P(A)=0.6, P(AB)=0.84, P(B|A)=0.4, 则 P(B)=( ). 课堂练习课堂练习 牛刀小试 (1) 设P(B)0，则下列必然成立的是( ) P(AB)P(A|B) P(AB)P(A|B) 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率1.3 1.3 条件概率条件概率 第第4040页页 乘法公式的应用 乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率. 一批零件共有100个，其中10个不合格品。从中 一个一个不返回取出，求第三次才取出不合格 品的概率. 解：记 Ai=“第i 次取出的是不合格品” Bi=“第i 次取出的是合格品”,目的求P(B1B2A3) 用乘法公式 P(B1B2A3)=P(B1)P(B2|B1) P(A3|B1B2) 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率1.3 1.3 条件概率条件概率 第第4141页页 练习1.2 2,4,5,7 练习1.3 2,3 第第4242页页 第第4343页页 第第4444页页 第第4545页页 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率1.1 1.1 随机事件随机事件 结束点名
